大學(xué)物理課后習(xí)題答案第四章

第四章機(jī)械振動4．1一物體沿x軸做簡諧振動，振幅A=0.12m，周期T=2s．當(dāng)t=0時(shí)，物體的位移x=0.06m，且向x軸正向運(yùn)動．求：（1）此簡諧振動的表達(dá)式；（2）t=T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度；（3）物體從x=-0.06m，向x軸負(fù)方向運(yùn)動第一次回到平衡位置所需的時(shí)間．[解答]（1）設(shè)物體的簡諧振動方程為x=Acos(ωt+φ)，其中A=0.12m，角頻率ω=2π/T=π．當(dāng)t=0時(shí)，x=0.06m，所以cosφ=0.5，因此φ=±π/3．物體的速度為v=dx/dt=-ωAsin(ωt+φ)．當(dāng)t=0時(shí)，v=-ωAsinφ，由于v>0，所以sinφ<0，因此：φ=-π/3．簡諧振動的表達(dá)式為：x=0.12cos(πt–π/3)．（2）當(dāng)t=T/4時(shí)物體的位置為;x=0.12cos(π/2–π/3)=0.12cosπ/6=0.104(m)．速度為；v=-πAsin(π/2–π/3)=-0.12πsinπ/6=-0.188(m·s-1)．加速度為：a=dv/dt=-ω2Acos(ωt+φ)=-π2Acos(πt-π/3)=-0.12π2cosπ/6=-1.03(m·s-2)．（3）方法一：求時(shí)間差．當(dāng)x=-0.06m時(shí)，可得cos(πt1-π/3)=-0.5，因此πt1-π/3=±2π/3．由于物體向x軸負(fù)方向運(yùn)動，即v<0，所以sin(πt1-π/3)>0，因此πt1-π/3=2π/3，得t1=1s．當(dāng)物體從x=-0.06m處第一次回到平衡位置時(shí)，x=0，v>0，因此cos(πt2-π/3)=0，可得πt2-π/3=-π/2或3π/2等．由于t2>0，所以πt2-π/3=3π/2，可得t2=11/6=1.83(s)．所需要的時(shí)間為：Δt=t2-t1=0.83(s)．方法二：反向運(yùn)動．物體從x=-0.06m，向x軸負(fù)方向運(yùn)動第一次回到平衡位置所需的時(shí)間就是它從x=0.06m，即從起點(diǎn)向x軸正方向運(yùn)動第一次回到平衡位置所需的時(shí)間．在平衡位置時(shí)，x=0，v<0，因此cos(πt-π/3)=0，可得πt-π/3=π/2，解得t=5/6=0.83(s)．[注意]根據(jù)振動方程x=Acos(ωt+φ)，當(dāng)t=0時(shí)，可得φ=±arccos(x0/A)，（-π<φ<=π），初位相的取值由速度決定．由于v=dx/dt=-ωAsin(ωt+φ)，當(dāng)t=0時(shí)，v=-ωAsinφ，當(dāng)v>0時(shí)，sinφ<0，因此φ=-arccos(x0/A)；當(dāng)v<0時(shí)，sinφ>0，因此φ=arccos(x0/A)π/3．可見：當(dāng)速度大于零時(shí)，初位相取負(fù)值；當(dāng)速度小于零時(shí)，初位相取正值．如果速度等于零，當(dāng)初位置x0=A時(shí)，φ=0；當(dāng)初位置x0=-A時(shí)，φ=π．4．2已知一簡諧振子的振動曲線如圖所示，試由圖求：（1）a，b，c，d，e各點(diǎn)的位相，及到達(dá)這些狀態(tài)的時(shí)刻t各是多OtxaOtxabcdeA/2A圖4.2（2）振動表達(dá)式；（3）畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖．[解答]方法一：由位相求時(shí)間．（1）設(shè)曲線方程為x=AcosΦ，其中A表示振幅，Φ=ωt+φ表示相位．由于xa=A，所以cosΦa=1，因此Φa=0．由于xb=A/2，所以cosΦb=0.5，因此Φb=±π/3；由于位相Φ隨時(shí)間t增加，b點(diǎn)位相就應(yīng)該大于a點(diǎn)的位相，因此Φb=π/3．由于xc=0，所以cosΦc=0，又由于c點(diǎn)位相大于b位相，因此Φc=π/2．同理可得其他兩點(diǎn)位相為：Φd=2π/3，Φe=π．c點(diǎn)和a點(diǎn)的相位之差為π/2，時(shí)間之差為T/4，而b點(diǎn)和a點(diǎn)的相位之差為π/3，時(shí)間之差應(yīng)該為T/6．因?yàn)閎點(diǎn)的位移值與O時(shí)刻的位移值相同，所以到達(dá)a點(diǎn)的時(shí)刻為ta=T/6．到達(dá)b點(diǎn)的時(shí)刻為tb=2ta=T/3．到達(dá)c點(diǎn)的時(shí)刻為tc=ta+T/4=5T/12．到達(dá)d點(diǎn)的時(shí)刻為td=tc+T/12=T/2．到達(dá)e點(diǎn)的時(shí)刻為te=ta+T/2=2T/3．（2）設(shè)振動表達(dá)式為：x=Acos(ωt+φ)，當(dāng)t=0時(shí)，x=A/2時(shí)，所以cosφ=0.5，因此φ=±π/3；由于零時(shí)刻的位相小于a點(diǎn)的位相，所以φ=-π/3，因此振動表達(dá)式為．另外，在O時(shí)刻的曲線上作一切線，由于速度是位置對時(shí)間的變化率，所以切線代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取負(fù)值，從而可得運(yùn)動方OxOxaAbcdeφ（3）如圖旋轉(zhuǎn)矢量圖所示．方法二：由時(shí)間求位相．將曲線反方向延長與t軸相交于f點(diǎn)，由于xf=0，根據(jù)運(yùn)動方程，可得OtxaOtxabcdeA/2Af顯然f點(diǎn)的速度大于零，所以取負(fù)值，解得tf=-T/12．從f點(diǎn)到達(dá)a點(diǎn)經(jīng)過的時(shí)間為T/4，所以到達(dá)a點(diǎn)的時(shí)刻為：ta=T/4+tf=T/6，其位相為：．由圖可以確定其他點(diǎn)的時(shí)刻，同理可得各點(diǎn)的位相．4．3有一彈簧，當(dāng)其下端掛一質(zhì)量為M的物體時(shí)，伸長量為9.8×10-2m．若使物體上下振動，且規(guī)定向下為正方向．（1）t=0時(shí)，物體在平衡位置上方8.0×10-2m（2）t=0時(shí)，物體在平衡位置并以0.60m·s-1速度向上運(yùn)動，求運(yùn)動方程．[解答]當(dāng)物體平衡時(shí)，有：Mg–kx0=0，所以彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為：k=Mg/x0，物體振動的圓頻率為：=10(rad·s-1)．設(shè)物體的運(yùn)動方程為：x=Acos(ωt+φ)．（1）當(dāng)t=0時(shí)，x0=-8.0×10-2m，v0=0，因此振幅為：=8.0×10-2(m)；由于初位移為x0=-A，所以cosφ=-1，初位相為：φ=π．運(yùn)動方程為：x=8.0×10-2cos(10t+π)．（2）當(dāng)t=0時(shí)，x0=0，v0=-0.60(m·s-1)，因此振幅為：=|v0/ω|=6.0×10-2(m)；由于cosφ=0，所以φ=π/2；運(yùn)動方程為：x=6.0×10-2cos(10t+π/2)．4．4質(zhì)量為10×10-3kg的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作振動，式中t以秒(s)計(jì)，x以米(m)計(jì)．求：（1）振動的圓頻率、周期、振幅、初位相；（2）振動的速度、加速度的最大值；（3）最大回復(fù)力、振動能量、平均動能和平均勢能；（4）畫出這振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并在圖上指明t為1，2，10s等各時(shí)刻的矢量位置．[解答]（1）比較簡諧振動的標(biāo)準(zhǔn)方程：x=Acos(ωt+φ)，可知圓頻率為：ω=8π，周期T=2π/ω=1/4=0.25(s)，振幅A=0.1(m)，初位相φ=2π/3．Oxt=1,2,10sA（2）速度的最大值為：vm=ωAOxt=1,2,10sA加速度的最大值為：am=ω2A=6.4π2=63.2(m·s-2)（3）彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為：k=mω2，最大回復(fù)力為:f=kA=mω2A=0.632(N)振動能量為:E=kA2/2=mω2A2/2=3.16×10-2(J)平均動能和平均勢能為:=kA2/4=mω2A2/4=1.58×10-2(J)．（4）如圖所示，當(dāng)t為1，2，10s等時(shí)刻時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量的位置是相同的．4．5兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)平行于同一直線并排作同頻率、同振幅的簡諧振動．在振動過程中，每當(dāng)它們經(jīng)過振幅一半的地方時(shí)相遇，而運(yùn)動方向相反．求它們的位相差，并作旋轉(zhuǎn)矢量圖表示．[解答]設(shè)它們的振動方程為OxA:x=Acos(ωt+φOxA當(dāng)x=A/2時(shí)，可得位相為:ωt+φ=±π/3．由于它們在相遇時(shí)反相，可取Φ1=(ωt+φ)1=-π/3，Φ2=(ωt+φ)2=π/3，它們的相差為:ΔΦ=Φ2–Φ1=2π/3，或者:ΔΦ`=2π–ΔΦ=4π/3．矢量圖如圖所示．4．6一氫原子在分子中的振動可視為簡諧振動．已知?dú)湓淤|(zhì)量m=1.68×10-27kg，振動頻率v=1.0×1014Hz，振幅A=1.0×10-11m．試計(jì)算：（1）此氫原子的最大速度；（2）與此振動相聯(lián)系的能量．[解答]（1）氫原子的圓頻率為:ω=2πv=6.28×1014(rad·s-1)，最大速度為:vm=ωA=6.28×103(m·s-1)．（2）氫原子的能量為:=3.32×10-20(J)．4．7如圖所示，在一平板下裝有彈簧，平板上放一質(zhì)量為1.0kg的重物，若使圖4.7平板在豎直方向上作上下簡諧振動，周期為0.50s，振幅為2.0×10-2m，求：圖4.7（1）平板到最低點(diǎn)時(shí)，重物對平板的作用力；（2）若頻率不變，則平板以多大的振幅振動時(shí)，重物跳離平板？（3）若振幅不變，則平板以多大的頻率振動時(shí)，重物跳離平板？[解答]（1）重物的圓頻率為：ω=2π/T=4π，其最大加速度為：am=ω2A合力為：F=mam，方向向上．重物受到板的向上支持力N和向下的重力G，所以F=N–G．重物對平板的作用力方向向下，大小等于板的支持力：N=G+F=m(g+am)=m(g+ω2A)=12.96(N)（2）當(dāng)物體的最大加速度向下時(shí)，板的支持為：N=m(g-ω2A)當(dāng)重物跳離平板時(shí)，N=0，頻率不變時(shí)，振幅為：A=g/ω2=3.2×10-2(m)．（3）振幅不變時(shí)，頻率為：=3.52(Hz)．4．8兩輕彈簧與小球串連在一直線上，將兩彈簧拉長后系在固定點(diǎn)A和B之間，整個(gè)系統(tǒng)放在光滑水平面上．設(shè)兩彈簧的原長分別為l1和l2，倔強(qiáng)系統(tǒng)分別為k1和k2，A和B間距為L，小球的質(zhì)量為m．k1k2k1k2mAB圖4.8（2）使小球沿彈簧長度方向作一微小位移后放手，小球?qū)⒆髡駝?，這一振動是否為簡諧振動？振動周期為多少？[解答]（1）這里不計(jì)小球的大小，不妨設(shè)L>l1+l2，當(dāng)小球平衡時(shí)，兩彈簧分別拉長x1和x2，因此得方程：L=l1+x1+l2+x2；小球受左右兩邊的彈簧的彈力分別向左和向右，大小相等，即k1x1=k2x2．將x2=x1k1/k2代入第一個(gè)公式解得：．小球離A點(diǎn)的距離為：．（2）以平衡位置為原點(diǎn)，取向右的方向?yàn)閤軸正方向，當(dāng)小球向右移動一個(gè)微小距離x時(shí)，左邊彈簧拉長為x1+x，彈力大小為：f1=k1(x1+x)，方向向左；右邊彈簧拉長為x1-x，彈力大小為：f2=k2(x2-x)，方向向右．根據(jù)牛頓第二定律得：k2(x2-x)-k1(x1+x)=ma，利用平衡條件得：，即小球做簡諧振動．小球振動的圓頻率為：，其周期為：．kMmv圖4.94．9如圖所示，質(zhì)量為10g的子彈以速度v=10kMmv圖4.9k=8×103N·m-1，木塊的質(zhì)量為4.99kg，不計(jì)桌面摩擦，試求：（1）振動的振幅；（2）振動方程．[解答]（1）子彈射入木塊時(shí)，由于時(shí)間很短，木塊還來不及運(yùn)動，彈簧沒有被壓縮，它們的動量守恒，即：mv=(m+M)v0．解得子彈射入后的速度為：v0=mv/(m+M)=2(m·s-1)，這也是它們振動的初速度．子彈和木塊壓縮彈簧的過程機(jī)械能守恒，可得：(m+M)v02/2=kA2/2，所以振幅為：=5×10-2(m)．（2）振動的圓頻率為：=40(rad·s-1)．取木塊靜止的位置為原點(diǎn)、向右的方向?yàn)槲灰苮的正方向，振動方程可設(shè)為：x=Acos(ωt+φ)．當(dāng)t=0時(shí)，x=0，可得：φ=±π/2；由于速度為正，所以取負(fù)的初位相，因此振動方程為：x=5×10-2cos(40t-π/2)．4．10如圖所示，在倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧下，掛一質(zhì)量為M的托盤．質(zhì)量為m的物體由距盤底高h(yuǎn)處自由下落與盤發(fā)生完全非彈性碰撞，而使其作簡諧振動，設(shè)兩物體碰后瞬時(shí)為t=0時(shí)刻，求振動方程．[解答]物體落下后、碰撞前的速度為：，kMkMmhxx1x2O圖4.10，這也是它們振動的初速度．設(shè)振動方程為：x=Acos(ωt+φ)，其中圓頻率為：．物體沒有落下之前，托盤平衡時(shí)彈簧伸長為x1，則：x1=Mg/k．物體與托盤磁盤之后，在新的平衡位置，彈簧伸長為x2，則：x2=(M+m)g/k．取新的平衡位置為原點(diǎn)，取向下的方向?yàn)檎?，則它們振動的初位移為x0=x1-x2=-mg/k．因此振幅為：；初位相為：．4．11裝置如圖所示，輕彈簧一端固定，另一端與物體m間用細(xì)繩MkT1T2RmmgXO圖4.11相連，細(xì)繩跨于桌邊定滑輪M上，m懸于細(xì)繩下端．已知彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k=50N·m-1，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量J=0.02kg·m2，半徑R=0.2m，物體質(zhì)量為MkT1T2RmmgXO圖4.11（1）試求這一系統(tǒng)靜止時(shí)彈簧的伸長量和繩的張力；（2）將物體m用手托起0.15m，再突然放手，任物體m下落而整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)入振動狀態(tài)．設(shè)繩子長度一定，繩子與滑輪間不打滑，滑輪軸承無摩擦，試證物體m是做簡諧振動；（3）確定物體m的振動周期；（4）取物體m的平衡位置為原點(diǎn)，OX軸豎直向下，設(shè)振物體m相對于平衡位置的位移為x，寫出振動方程．[解答]（1）在平衡時(shí)，繩子的張力等于物體的重力T=G=mg=15(N)．這也是對彈簧的拉力，所以彈簧的伸長為：x0=mg/k=0.3(m)．（2）以物體平衡位置為原點(diǎn)，取向下的方向?yàn)檎?dāng)物體下落x時(shí)，彈簧拉長為x0+x，因此水平繩子的張力為：T1=k(x0+x)．設(shè)豎直繩子的張力為T2，對定滑輪可列轉(zhuǎn)動方程：T2R–T1R=Jβ，其中β是角加速度，與線加速度的關(guān)系是：β=a/R．對于物體也可列方程：mg-T2=ma．轉(zhuǎn)動方程化為：T2–k(x0+x)=aJ/R2，與物體平動方程相加并利用平衡條件得：a(m+J/R2)=–kx，可得微分方程：，故物體做簡諧振動．（3）簡諧振動的圓頻率為：=5(rad·s-1)．周期為：T2=2π/ω=1.26(s)．（4）設(shè)物體振動方程為：x=Acos(ωt+φ)，其中振幅為：A=0.15(m)．當(dāng)t=0時(shí)，x=-0.15m，v0=0，可得：cosφ=-1，因此φ=π或-π，所以振動方程為：x=0.15cos(5t+π)，或x=0.15cos(5t-π)．4．12一勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)質(zhì)量為m，半徑為R，繞通過環(huán)上一點(diǎn)而與環(huán)平面垂直的水平光滑軸在鉛垂面CRmgθCRmgθO[解答]通過質(zhì)心垂直環(huán)面有一個(gè)軸，環(huán)繞此軸的轉(zhuǎn)動慣量為：Ic=mR2．根據(jù)平行軸定理，環(huán)繞過O點(diǎn)的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量為I=Ic+mR2=2mR2．當(dāng)環(huán)偏離平衡位置時(shí)，重力的力矩為：M=mgRsinθ，方向與角度θ增加的方向相反．根據(jù)轉(zhuǎn)動定理得：Iβ=-M，即，由于環(huán)做小幅度擺動，所以sinθ≈θ，可得微分方程：．?dāng)[動的圓頻率為：，周期為：．4．13重量為P的物體用兩根彈簧豎直懸掛，如圖所示，各彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)標(biāo)明在圖上．試求在圖k1k2k1k2kk(a)(b)圖4.13[解答]（1）前面已經(jīng)證明：當(dāng)兩根彈簧串聯(lián)時(shí)，總倔強(qiáng)系數(shù)為k=k1k2/(k1+k2)，因此固有頻率為．（2）前面還證明：當(dāng)兩根彈簧并聯(lián)時(shí)，總倔強(qiáng)系數(shù)等于兩個(gè)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)之和，因此固有頻率為．4．14質(zhì)量為0.25kg的物體，在彈性力作用下作簡諧振動，倔強(qiáng)系數(shù)k=25N·m-1，如果開始振動時(shí)具有勢能0.6J，和動能0.2J，求：（1）振幅；（2）位移多大時(shí)，動能恰等于勢能？（3）經(jīng)過平衡位置時(shí)的速度．[解答]物體的總能量為：E=Ek+Ep=0.8(J)．（1）根據(jù)能量公式E=kA2/2，得振幅為：=0.253(m)．（2）當(dāng)動能等于勢能時(shí)，即Ek=Ep，由于E=Ek+Ep，可得：E=2Ep，即，解得：=±0.179(m)．（3）再根據(jù)能量公式E=mvm2/2，得物體經(jīng)過平衡位置的速度為：=±2.53(m·s-1)．4．15兩個(gè)頻率和振幅都相同的簡諧振動的x-t曲線如圖所示，求：（1）兩個(gè)簡諧振動的位相差；t/sx/cmt/sx/cm501234-5x1x2圖4.15[解答]（1）兩個(gè)簡諧振動的振幅為：A=5(cm)，周期為：T=4(s)，圓頻率為：ω=2π/T=π/2，它們的振動方程分別為：x1=Acosωt=5cosπt/2，x2=Asinωt=5sinπt/2=5cos(π/2-πt/2)即x2=5cos(πt/2-π/2)．位相差為：Δφ=φ2-φ1=-π/2．（2）由于x=x1+x2=5cosπt/2+5sinπt/2=5(cosπt/2·cosπ/4+5sinπt/2·sinπ/4)/sinπ/4合振動方程為：(cm)．4．16已知兩個(gè)同方向簡諧振動如下：，．（1）求它們的合成振動的振幅和初位相；（2）另有一同方向簡諧振動x3=0.07cos(10t+φ)，問φ為何值時(shí)，x1+x3的振幅為最大？φ為何值時(shí)，x2+x3的振幅為最小？（3）用旋轉(zhuǎn)矢量圖示法表示（1）和（2）兩種情況下的結(jié)果．x以米計(jì)，t以秒計(jì)．[解答]（1）根據(jù)公式，合振動的振幅為：=8.92×10-2(m)．初位相為：=68.22°．（2）要使x1+x3的振幅最大，則：cos(φ–φ1)=1，因此φ–φ1=0，所以：φ=φ1=0.6π．要使x2+x3的振幅最小，則cos(φ–φ2)=-1，因此φ–φ2=π，所以φ=π+φ2=1.2π．OxφAOxφA2A3x3x2φ2OxOxA3A1x1φ1x3OxAφA2A1x1x2xφ2φ14．17質(zhì)量為0.4kg的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與互相垂直的兩個(gè)振動：，．式中x和y以米(m)計(jì)，t以秒(s)計(jì)．（1）求運(yùn)動的軌道方程；（2）畫出合成振動的軌跡；（3）求質(zhì)點(diǎn)在任一位置所受的力．[解答]（1）根據(jù)公式：，其中位相差為：Δφ=φ2–φ1=-π/2，所以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌道方程為：．（2）合振動的軌跡是橢圓．（3）兩個(gè)振動的圓頻率是相同的ω=π/3，質(zhì)點(diǎn)在x方向所受的力為Oxa=0.08Oxa=0.08yb=0.06FxFyFθ即Fx=0.035cos(πt/3+π/6)(N)．在y方向所受的力為，即Fy=0.026cos(πt/3-π/3)(N)．用矢量表示就是，其大小為，與x軸的夾角為θ=arctan(Fy/Fx)．4．18將頻率為384Hz的標(biāo)準(zhǔn)音叉振動和一待測頻率的音叉振動合成，測得拍頻為3.0Hz，在待測νν0ννν0ν1ν2ν