2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第二章 第一講　函數(shù)的概念及其表示 學(xué)案

第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I

第一講函數(shù)的概念及其表示

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的概念及其表示

1.函數(shù)的概念

函數(shù)

兩個(gè)集合A,B設(shè)A,B是兩個(gè)一非空數(shù)集.

如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系力使對(duì)于集合A中的上工

對(duì)應(yīng)關(guān)系/：A→B

一個(gè)數(shù)X,在集合B中都有.唯一確定一的數(shù)/U)和它對(duì)應(yīng)

稱/：AfB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)

記法函數(shù)y=∕U),XeA

2.函數(shù)的定義域、值域

(1)在函數(shù)y=y(x),XGA中，X叫做自變量，X的取值范圍A叫做函數(shù)的晏

義域；與X的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合伏X)IX∈A｝叫做函數(shù)

的值域..

(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且一對(duì)應(yīng)關(guān)系一完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)

為相等函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有一解析法一、圖象法和列表法.

知識(shí)點(diǎn)二分段函數(shù)

1.若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的

式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個(gè)函數(shù).

2.分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)

的值域的并集一.

知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的定義域

函數(shù)y=∕U)的定義域

「叩表格給出|一|表格中實(shí)縱的集合I

—I用圖象給出I」圖象布軸上的投影所I

W家給叫I覆蓋的實(shí)?x的集合

Iy=Λχ)1~

-而解析式妗出I」使解析式有意義I

叩解析式給必I的實(shí)如的集合

一1由實(shí)際問(wèn)題給回一I由實(shí)際問(wèn)題的意義確定I

1.求定義域的步驟

(1)寫出使函數(shù)式有意義的不等式(組)；

(2)解不等式(組)；

(3)寫出函數(shù)定義域.(注意用區(qū)間或集合的形式寫出)

2.求函數(shù)定義域的主要依據(jù)

(1)整式函數(shù)的定義域?yàn)镽.

(2)分式函數(shù)中分母不等于O.

(3)偶次根式函數(shù)被開方式一大于或等于0..

(4)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為B_.

(5)函數(shù)/U)=x°的定義域?yàn)椋鹸∣x≠01.

(6)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镵_.

⑺對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?0,十8).

知識(shí)點(diǎn)四函數(shù)的值域

基本初等函數(shù)的值域：

1.v=fcr+btWO)的值域是R.

4cιc—υ

2.y=0r2+∕λx+c(α≠0)的值域是：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)镠y2加一

當(dāng)“<0時(shí)，值域?yàn)閃絲薩

k

3.V=.ZWO)的值域是(y∣y≠O)..

4.y=ax?a>0且α≠l)的值域是>0,+8),.

5.y=logd(α>0且α≠l)的值域是旦_.

［延伸］

6.y=x+f(α>O)的值域?yàn)?一8,-2y∣cι)U(2y［a,+o°).

7.y=x-］α>0)的值域?yàn)?-8,+∞).

8.ad—bc≠O)的值域?yàn)?8'力Ug+8).

歸納拓展

1.判斷兩個(gè)函數(shù)相等的依據(jù)是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致.

2.分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

3.與X軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).

4.定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示，不能用“或”

連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“U”連接.

5.函數(shù)火X)與√U+a)(a為常數(shù)a≠0)的值域相同.

雙基自測(cè)

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”)

(l)y=lnx2與y=21nx表示同一函數(shù).(X)

(2)y=lnx3與y=31nx表示同一函數(shù).(√)

(3)函數(shù)的圖象與直線尤=1的交點(diǎn)只有1個(gè).(X)

Jt2+1,—1≤x≤1,

(4)Λχ)=,?/I

x-τ3,x>1Sfcx<—1,

［x2+1,—1≤x≤1,

則1―X)=4、EI(J)

1—x+3,Ql或x<—1.

Y

(5)函數(shù)y=I——7定義域?yàn)閄>L(X)

巾—1

⑹求函數(shù)尸言

的值域時(shí)有以下四種解法.判斷哪種解法是正確的.

y2_|_a______1

［解法一］(不等式法)：>==N式+2+正裝22,值域?yàn)椋?,+

8).(X)

［解法二］(判別式法)：設(shè)52+2=*√^),則y=t+:,BPr2-(y+l=0,V

f∈R,ΛJ=∕-4≥0,.?.y22或yW-2(舍去).(×)

［解法三］(配方法)：令W2+2=*的,則y=f+*(w—/2+222.(X)

［解法四］(單調(diào)性法)：易證y=t+:在/2表時(shí)是增函數(shù)，所以f=立時(shí)，>i∏

=平,故同邛,+∞j(√)

題組二走進(jìn)教材

2.(必修1P67T2改編)已知於5)=lgx,則貝2)等于(D)

A.Ig2B.Ig32

C.Ig32D.∣lg2

?

［解析］解法一：由題意知χ>0,令t=x5,則，〉0,x-r),

.?Az)=Igr5=∣lgt,即∕x)=∣lgX(X>0),

.??Λ2)=∣lg2,故選D.

解法二:令x5=2,則x=2$,.?.火2)=電25=/電2.故選口.

3.(必修1P73T11改編)函數(shù)y=∕(x)的圖象如圖所示，那么次用的定義域是上

3,0］U23］;值域是［1,5］；其中只與X的一個(gè)值對(duì)應(yīng)的y值的范圍是—2)

U(4,51.

3%,xW0,

4.（必修1P72習(xí)題Tl改編）（2023?長(zhǎng)沙質(zhì)檢）已知函數(shù)/）=（'、'C則

JOg3X,A1>0,

槌］等于(D)

A.-1B.2

?

C.√3

D.2

[解析]:娘=log3g<0,

二糙]=3*y

題組三走向高考

5.(2022?北京卷)函數(shù)")=；+、/1三的定義域是(-8,O)IJ((Ml.

?

[解析]因?yàn)閥ζx)=1+??/1—X,所以x≠0,l—x20,解得X∈(-8,0)U(0,1].

6.(2022.北京卷)已知函數(shù)7U)=j%,則對(duì)任意實(shí)數(shù)X,有(C)

A./-χ)+Λx)=O

B.β-χ)~βx)=O

c.Λ-x)+Λ%)=ι

D.β~x)~f(x)=j

19x

［解析］函數(shù)/U)的定義域?yàn)镽，人一X)=而三=］7誣，所以八一X)+/U)

τ?÷?故選c.

?互動(dòng)探究

考點(diǎn)一求函數(shù)的定義域—多維探究

角度1求具體函數(shù)的定義域

例1(2022.武漢模擬)函數(shù)HX)=舟下+尸？的定義域?yàn)?B)

A.[-2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

[解析]要使函數(shù)有意義，

jx+1>0,

則需｛x+g,

14一/NO,

解得一l<x≤2且xz≠0.

所以x∈(-1,0)U(0,2].

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?1,0）U（0,2］.

角度2求抽象函數(shù)的定義域

例2（1）已知函數(shù)/U）的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）,則函數(shù)42九+1）的定義域?yàn)椋˙）

A.（-1,1）B.（一1,-∣J

C.（-1,0）D.&1）

（2）（2022.陜西西安鐵一中濱河高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)y=Ax）的定義

域是［0,6］,則函數(shù)g（x）=鬻的定義域是（C）

A.［0,2］B.（0,2）

C.fθ,2）D.（0,3）

［分析］求抽象函數(shù)定義域的關(guān)鍵，/后面括號(hào)內(nèi)部分取值范圍相同.

［解析］（1）由函數(shù)yu）的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）,則使函數(shù)人2%+1）有意義，需滿足

-l<2x+K0,解得一la<—看即所求函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄒ?,一§.

fθ≤3x≤6,

（2）由條件可知：。一八所以0≤九<2,所以定義域?yàn)椋?,2）,故選C.

［引申1］若將本例⑴中段）與.*2x+l）互換，結(jié)果如何？

［解析］<2%+1）的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）,即一14<0,

Λ-l<2x+l<l,.,./U）的定義域?yàn)椋ㄒ?,1）.

［引申2］若將本例（D中負(fù)力改為以為一1），定義域改為［0』］，求y=A2x+l）

的定義域，又該怎么求？

［解析］?.B=∕（2L1）定義域?yàn)椋?,1］,

—l≤2χ-1≤1,要使y=∕（2x+l）有意義應(yīng)滿足-1W2X+1W1,解得一

l≤x≤0,

因此y=A2x+l）定義域?yàn)椋?1,0］.

名嬸A披MINGSHIDIANBO

函數(shù)定義域的求解策略

（1）已知函數(shù)解析式：構(gòu)造使解析式有意義的不等式（組）求解.

（2）實(shí)際問(wèn)題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式（組）求解.

(3)抽象函數(shù)：

①若已知函數(shù)/U)的定義域?yàn)閇α,b],其復(fù)合函數(shù)∕uα)]的定義域由不等式

0Wg(X)W求出；

②若已知函數(shù)./[g(x)]的定義域?yàn)閇α,b],則凡r)的定義域?yàn)間(x)在x∈[α,h]

時(shí)的值域.

〔變式訓(xùn)練1〕

ln(l-χ)的定義域是

(1)(角度1)(2023.長(zhǎng)春質(zhì)檢)函數(shù)y=J(D)

出+1

A.[-l,0)U(0,l)B.[-l,0)U(0,l]

C.(-l,0)U(0,l]D.(-1,0)U(0,1)

(2)(角度2)已知函數(shù)y=∕U2-l)的定義域?yàn)閇一√5,√3],則函數(shù)y=∕U)的定

義域?yàn)?B)

A.[0,2]B.[-1,2]

C.[-√3,√3]D.[-√3,2]

(3)(2022.深圳市高三統(tǒng)一測(cè)試)若函數(shù)7U)的定義域?yàn)閇0,8],則函數(shù)g(x)=

器/的定義域?yàn)?3).

Γ1—x>0,

[解析](1)由題意得{x+l>0,解得一l<x<0或0<x<l.所以原函數(shù)的定義

lx≠0,

域?yàn)?一1,0)U(0,1).

(2)因?yàn)閥="r2-1)的定義域?yàn)閇一/，√3],所以x∈[-Λ∕5,y∣3],x2-1∈[-

1,2],所以y=∕(x)的定義域?yàn)閇-1,2].故選B.

fθ≤2x≤8,

(3)依題意有。解得OWX<3,

Io2，>0,

.?.g(x)的定義域?yàn)閇0,3).

考點(diǎn)二求函數(shù)的解析式——師生共研

例3求下列函數(shù)的解析式：

(1)已知二次函數(shù)7(2X+1)=4Λ2-6X+5,則/W=f—5x+9Cr∈R)

(2)已知/(x)滿足"》+《)=3x—1,貝IJf(x}=2χ-°-?x≠0).

t—1

［解析］(1)解法一(換元法)：令2x+l=D∈R),則X=-T-

(f—1?t—1

所以負(fù)。=4［亍『-6-+5=∕2-5∕+9(r∈R),

所以yU)=1—5x+9(x∈R).

解法二(配湊法)：因?yàn)?(2X+1)=4Λ2-6X+5=(2%+1)2-10Λ+4=(2X+1)2

-5(2x+l)+9,

所以?r)=X2—5x+9(XeR).

解法三(待定系數(shù)法)：因?yàn)?(x)是二次函數(shù)，所以設(shè)/(x)=0√+匕x+c(αWO),

則fi2χ-?^l)=α(2x+l)2+?(2x+l)+c=44x2+(4α+2b)x+α+b+c.

4α=4,Ia=1,

4a+2b=~6,解得{b=-5,

{a+b+c~5,lc=9,

所以fix)=Jt2—5x+9(x∈R).

以:代替①中的X(X≠O),

得〃?+?V)=I—1，②

3

①義2一②，得就X)=6x—1,

故j(x)=2r-?-∣(x≠O).

名用點(diǎn)彼MINGSHIDIANBO

求函數(shù)解析式的四種方法

涉已知條件yig(G]=f(χ),可將

?'f(χ)改寫成關(guān)于g(%)的表達(dá)式，然后

7以X替代g(%),便得/(4)的解析式，

j如本例(1)解法二.

討手形而y=∕ig(x)j的窗藪辯橋

氏令，=g(#),從中求出#=φ(l),

T然后代入表達(dá)式求出/U),再將，換成

%,得到/(4)的解析式，要注意新元的

;取值范圍，如本例(1)解法一.

沫核由杏音存荒系藪的廨濟(jì)笑:苒莉

_|用恒等式的性質(zhì),或?qū)⒁阎獥l件代入,

:建立方程(組)，通過(guò)解方程(組)求出

;相應(yīng)的待定系數(shù)，如本例(1)解法三.

:已知關(guān)于/(%)與/(})或/(一%)的表

_|達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外

一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程組

求出/(“)，如本例(2).

變式訓(xùn)練2〕

(1)(2022.哈爾濱三中月考)已知行+l)=lgx,則的解析式為血)=lg^

(Ql).

(2)已知y=∕O)是二次函數(shù)，若方程"r)=0有兩個(gè)相等實(shí)根，且/'(x)=2X

+2,則?r)=f+2x+L,

2

(3)已知函數(shù)對(duì)任意的X都有兀!)一貧一幻=2%,則?r)=誓.

(4)定義在R上的函數(shù)/U)滿足/('+I)=紈%).若當(dāng)OWXWI時(shí)，“x)=x(l—

χ(χ~?~1)

元)，則當(dāng)一1≤x≤0時(shí),7U)=一=^—

2.2

［解析］(1)令;r+l=√(ρ>l),則X=-r,

?I1

2

所以/。=但二γ(r>l),

2

所以汽幻=Ig■—Γ(χ>i).

?1

(2)設(shè)“r)=0r2+∕7χ+c3≠0),

則，(x)=2ax+h,2ax+h=2x+2,

則4=l,h=2..?J(x)=x2+2x+c,

又於)=0,

即/+2x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)根.

.?.∕=4-4c=0,則C=L

故?r)=x2+2x+1.

(3)?.?χx)-2Λ-χ)=2x,①

Λ∕-X)-2∕(X)=-2X,②

2

由①②得/(x)=1x.

(4)(轉(zhuǎn)換法)當(dāng)一IWXW0,則OWX+1W1,

故/(x+l)=(x+1)(1-%-l)=-χ(x+1),

又於+1)=贄X),

所以當(dāng)一1WXWo時(shí)，危)=」&”.

考點(diǎn)三分段函數(shù)及應(yīng)用—多維探究

角度1分段函數(shù)求值問(wèn)題

-χ1+2,x≤L

例4(1)(2022?浙江卷)已知函數(shù)加)=ι1貝叮居=經(jīng)；

[七-1,x>l,M28-

若當(dāng)x∈[α,句時(shí)，lWyU)W3,則b—a的最大值是3+S.

TtX

CoSk，x≤0,

(2)Q022?長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)已知#x)=，2則負(fù)2)=

j[x—1)+1,x>0,

3.

2

[解析]⑴由題意知娟=—(，+2=/則/苣I=吁∣=(+}τ=(+A

4

1=3n7.作出函數(shù)於)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，令一/+2=1,解得x=±l;

令x+千一1=3,解得X=2±√5,又X>1,所以X=2+[5,所以出一α)max=2+小

-(-l)=3+√3.

(2)x=2時(shí)，Λ2)=χi)+1=∕0)+2=cos0+2=1+2=3.

角度2分段函數(shù)與方程的交匯問(wèn)題

2Λ,0<X<2,

例5(2023?合肥模擬)若函數(shù)∕U)=<'.滿足/(α)=A2"),則?2a)的

4—%,X孑2

值等于(A)

A.2B.0

C.-2D.-4

[解析]由題意知，T(X)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，其圖

象如圖所示.若火α)=A2"),則α,2。不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，又2">α,所以一定有

α∈(0,2),2"∈[2,+∞),所以2&=4-2",即2。=2,解得α=l,所以犬2。)=穴2)

=4—2=2.故選A.

角度3分段函數(shù)與不等式的交匯問(wèn)題

2%+1χ≤?

例6設(shè)函數(shù)於)=(若然1)]>4,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為」豈

,lθg3X十3",x>ι,

2x-1-1χ<?

[解析]因?yàn)楹瘮?shù)./(X)=I;所以7O)=2∣+1=3,所以咒/0)]

HOg3X+3",X>1,

=∕(3)=log33+3o=l+3a,因?yàn)槟?)]>4,所以l+3">4,即3。>3,解得α>l,即

實(shí)數(shù)。的取值范圍為(1,+∞).

名幃點(diǎn)被MINGSHIDIANBO

分段函數(shù)問(wèn)題的求解策略

⑴分段函數(shù)的求值問(wèn)題，應(yīng)首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，然后選定

相應(yīng)的解析式代入求解.

（2）分段函數(shù)與方程、不等式的交匯問(wèn)題，一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段

區(qū)間進(jìn)行分類討論，最后應(yīng)注意檢驗(yàn)所求參數(shù)值（范圍）是否適合相應(yīng)的分段區(qū)間.

〔變式訓(xùn)I練3〕

ex+*n2,x≤0,

（1）（角度1）（2022.棗莊二模）已知函數(shù)段）=<則024)=(A)

人犬一3),x>0,

A2

eB.2e

c?lD.2e2

2,x>0,

⑵（角度2）（2022.長(zhǎng)春模擬）已知函數(shù)式x）=<若式α)+,/U)=0,

K+1,x≤0.

則實(shí)數(shù)。的值等于（A）

A.13B.-1

C.1D.3

1—yjx,x20,

（3）（角度3）（2023?江西名校聯(lián)考）設(shè)Ar）=貝4/［火一2）］=展_；

2x,x<Q,

2

[解析](1)由次X)=3)得yu+3)="r),因而γ(2024)=A3X674+2)=∕(2)

2

=∕(2-3)=χ-l)=e"ln2=-.

⑵?]l)=2i=2,.?√⑷+2=0,.,.a)=-2,

當(dāng)αW0時(shí)，y(α)=α+l=-2,'.a=-3,

當(dāng)α>0時(shí)，J(a)=2a=~2,方程無(wú)解，

綜上有α=-3.

(3)Vχ-2)=2-2=∣,

??∕W-2)]=4=2'

當(dāng)Xeo時(shí)，1—5》義，γβcwg,Λ0≤x≤^;

當(dāng)Λ<0時(shí)，2?v≥∣,-1≤x<O.

故的解集為-1,1

函教值域的求法

求函數(shù)值域的一般方法

（1）分離常數(shù)法；（2）反解法；（3）配方法；（4）不等式法；（5）單調(diào)性法；（6）換元

法；（7）數(shù)形結(jié)合法；（8）導(dǎo)數(shù)法.

例7求下列函數(shù)的值域.

⑴尸

i+∣χ∣'

(2)y=^^-2X2+Λ+3；

Λ2+X+1

⑶y=X

(4)y=x-?∕L2x;

(5)y=x+√l-Λ2;

(6)y=∣jc+l∣+∣Λ-2|,

［解析］(1)解法一：分離常數(shù)法

∣-kl2

y=ττ市1+^l+M,

?.?∣x∣20,.?.∣x∣+12,Λ0<^η-≤2.

2

.?.—1<—1+II∣≤1.

1+W

即函數(shù)值域?yàn)?—

解法二：反解法

l~∣x∣I-J

由y—1+W何況1+y?

1——y

?.?∣x∣20,二點(diǎn)20,.—l<yWl,即函數(shù)值域?yàn)?-1,1］.

（2）解法一：配方法

.?.0WyWmp,.?.值域?yàn)?,邛?]

解法二：復(fù)合函數(shù)法

y=y[t'，=—2X2+X+3,

25

由，=—2解得

2Λ+X+3,O

又'?y=3有意義，,owwg,

.?.OWy<mg,...值域?yàn)閇0,

Λ2+X+1

⑶產(chǎn)=?H?

解法一：基本不等式法

由y=χ+-+l(x≠0),得y—1=%+；.

,1,1、/Γ^

2

'?x+~=M+~^λ∕M?r=2,

?V?Λ>?l√v

?|y-1∣≥2,即yW—1或y23.即函數(shù)值域?yàn)?一8,-1]U[3,+o°).

解法二：判別式法

由尸—丁+1'得/+(1—y)x+1=0.

：方程有實(shí)根，.?.∕=(l-y)2—420.

即0—1)224,.?.y-1W—2或y—122.

得yW^~1或y23.即函數(shù)的值域?yàn)?一8,-1]U[3,+∞).

解法三：導(dǎo)數(shù)法(單調(diào)性法)

?,1(χ+l)(χ-l)

令y=11一9=------√-------<0，

得一l<%<0或0<x<1.

...函數(shù)在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，此時(shí)y23;

函數(shù)在(-1,0)上遞減，在(一8,—1)上遞增，此時(shí)y<一1.

Λγ≤—1或y》3.

即函數(shù)值域?yàn)?一8,-1]U[3,+∞).

(4)解法一：換元法

____J-z2

設(shè)^?∣1—2?X=∕(∕2O),得X=-2-，

1—∕21I

.?y=~2~'-1=-2(?+1)2+1WWeO),

.?.y∈(-8,即函數(shù)的值域?yàn)?-8,?

解法二：?jiǎn)握{(diào)性法

1-

V1—2x≥0,Λx≤^,定義域?yàn)椋ㄒ?,2-

_

又：函數(shù)y=x,y=在(一8,，上均單調(diào)遞增，Λ

1-2×∣=∣,Λγ∈(-∞,?,

(5)三角換元法

、HTCTC

設(shè)x=sinθ,O∈-2,2，

y=sin8+cos8=&sin[。+/,

?ππ^∣-,π「兀3兀

?-