蘇科版八年級下學期第一次月考數學試卷（含答案解析）

八年級下學期第一次月考數學試卷（考試范圍：第7-9章）一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．下列事件中，屬于必然事件的是（）A．經過有紅綠燈的路口，恰好遇到紅燈B．400人中至少有2人的生日相同C．打開電視，正在播放動畫片D．拋一枚質地均勻的硬幣，正面朝上2．下列四個圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

）3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC邊上一動點，連接AP，把線段AP繞點A逆時針旋轉60°到線段AQ，連接CQ，則線段CQ的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4．在平面直角坐標系中，點的坐標是，將點繞點順時針旋轉90°得到點．若點的坐標是，則點的坐標是（）A． B． C． D．5．如圖，在矩形ABCD中，E是AB的中點，動點F從點B出發(fā)，沿BC運動到點C時停止，以EF為邊作?EFGH，且點G、H分別在CD、AD上．在動點F運動的過程中，?EFGH的面積（）A．逐漸增大 B．逐漸減小C．不變 D．先增大，再減小6．如圖，四邊形ABCD中，E，F分別是邊AB，CD的中點，則AD，BC和EF的關系是（）A．AD＋BC＞2EF B．AD＋BC≥2EF C．AD＋BC＜2EF D．AD＋BC≤2EF二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）7．在空氣的成分中，氮氣約占78%，氧氣約占21%，其他微量氣體約占1%．若要表示以上信息，最合適的統(tǒng)計圖是_______．8．一個樣本的50個數據分別落在5個小組內，第1、2、3、4組的數據的個數分別為2、8、15、5，則第5組的頻率為______．9．如圖，中，，，，將繞原點O順時針旋轉，則旋轉后點A的對應點的坐標是______．10．在平面直角坐標系中，，，，以A，B，C三點為頂點畫平行四邊形，則第4個頂點D的坐標是_____________．11．如圖，在正方形中，在上，在的延長線上，，連接、、，交對角線于點，為的中點，連接，下列結論：①為等腰直角三角形；②；③直線是的垂直平分線；④若，則；其中正確結論的有______．12．如圖，將寬為的長方形紙片沿折疊，，則折痕的長為______．13．平面直角坐標系中，平行四邊形的邊在軸的正半軸，點，，直線以每秒1個單位的速度向下平移，經過____________秒，該直線將平行四邊形面積平分．第13題圖第14題圖14．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分線交AD于點E，交CD的延長線于點F，則DF＝_____cm．15．如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AB、CD上的點，AF與DE相交于點P，BF與CE相交于點Q，若，，則陰影部分的面積為_______。第15題圖第16題圖16．如圖，在等邊三角形中，，P為上一點（與點A、C不重合），連接，以、為鄰邊作平行四邊形，則的取值范圍是_______．三、解答題（本大題共10小題，共68分。請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．某校學生在勞動技能培訓后參加了一次考核，考核成績分為“不合格”、“合格”、“優(yōu)秀”三個等級．隨機抽取其中若干名學生的考核成績并制成如下的統(tǒng)計圖，已知培訓后成績“不合格”的人數和成績“優(yōu)秀”的人數相等．請回答下列問題：(1)本次抽樣調查的樣本容量是______；(2)將圖①補充完整；(3)估計該校900名學生中，培訓后考核成績?yōu)椤昂细瘛钡膶W生人數．18．如圖是一個可以自由轉動的轉盤，它被分成了6個面積相等的扇形區(qū)域．（1）轉動轉盤，當轉盤停止轉動時，記錄下指針所指區(qū)域的顏色，則下列說法錯誤的是______（填寫序號）①轉動6次，指針都指向紅色區(qū)域，說明第7次轉動時指針指向紅色區(qū)域；②轉動10次，指針指向紅色區(qū)域的次數一定大于指向藍色區(qū)域的次數；③轉動60次，指針指向黃色區(qū)域的次數正好為10．（2）怎樣改變各顏色區(qū)域的數目，使指針指向每種顏色區(qū)域的可能性相同？寫出你的方案．19．(1)如圖1，已知△ABC的頂點A、B、C在格點上，畫出將△ABC繞點O順時針方向旋轉90°后得到的△A1B1C1．(2)如圖2，在平面直角坐標系中，將線段AB繞平面內一點P旋轉得到線段A′B′，使得A′與點B重合，B′落在x軸負半軸上．請利用無刻度直尺與圓規(guī)作出旋轉中心P．（不寫作法，但要保留作圖痕跡）20．如圖，已知，點、是邊上的兩點，且，用兩種方法畫出平行四邊形（與示例方法不同）．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖痕跡，寫出作圖的依據．示例：依據：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．方法一方法二依據：____________；

依據：____________．21．如圖，在?ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE＝CF，EF、BD相交于點O，求證：OE＝OF．22．如圖1，在△ABC中，點D是AB的中點，DE∥BC交AC邊于點E．用兩種方法證明：點E是AC的中點．證法1：如圖，延長ED至點F，使得FD=DE，連接BF．∵點D是AB的中點，∴．又∵，FD=DE，∴△ADE≌△BDF．∴BF=AE，，∴BF∥AE．又∵DE∥BC，∴四邊形FBCE是平行四邊形，∴，∴AE=EC．請把證法1補充完整，并用不同的方法完成證法2。證法2：23．已知：如圖，E、F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．（1）求證：△AFD≌△CEB．（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．24．如圖，D是△ABC邊BC上的點，連接AD，∠BAD＝∠CAD，BD＝CD．用兩種不同方法證明AB＝AC．25．已知：如圖，在平行四邊形中，G、H分別是、的中點，，，垂足分別為E、F。(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，，當四邊形是矩形時的長為．26．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，連接CF，(1)觀察猜想：如圖1，當點D在線段BC上時，①BC與CF的位置關系為；②BC，CD，CF之間的數量關系為；（將結論直接寫在橫線上）(2)數學思考：如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，結論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明．(3)拓展延伸：如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GE，若已知AB＝2，，請求出GE的長。參考答案一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1、B【分析】根據事件發(fā)生的可能性大小判斷．【詳解】A、經過有紅綠燈的路口，恰好遇到紅燈，是隨機事件，不合題意；B、400人中至少有2人的生日相同，是必然事件，符合題意；C、打開電視，正在播放動畫片，是隨機事件，不合題意；D、拋一枚質地均勻的硬幣，正面朝上，是隨機事件，不合題意；故選B．【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，熟練掌握概念是本題的關鍵．2、D【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義判斷即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱圖形即沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分完全重合；中心對稱圖形繞某點旋轉180°與原圖形完全重合；熟練掌握定義是解題的關鍵．3、D【分析】在AB上取一點E，使AE＝AC＝，連接PE，過點E作EF⊥BC于F，由旋轉的性質得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，證明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性質得出CQ＝EP，則當EF⊥BC（點P和點F重合）時，EP最小，然后由含30°角的直角三角形的性質求解即可．【詳解】解：如圖，在AB上取一點E，使AE＝AC＝，連接PE，過點E作EF⊥BC于F，由旋轉知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠EAC＝60°，∴∠PAQ＝∠EAC，∴∠EAP＝∠CAQ，又∵AE＝AC，AP＝AQ，∴△CAQ≌△EAP（SAS），∴CQ＝EP，要使CQ最小，則有EP最小，而點E是定點，點P是BC上的動點，∴當EF⊥BC（點P和點F重合）時，EP最小，即點P與點F重合，CQ最小，最小值為EF，在Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝，∴AB＝，∵AE＝AC＝，∴BE＝AB?AE＝，在Rt△BFE中，∠B＝30°，∴EF＝BE＝，故線段CQ長度的最小值是，故選：D．【點睛】此題主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，含30°角的直角三角形的性質等，找出點P和點F重合時，EQ最小，最小值為EF的長度是解本題的關鍵．4、A【分析】設點的坐標為，由旋轉的性質可得，，列出等式，把每個選項的橫坐標代入驗證即可．【詳解】解：設點的坐標為，∵點的坐標是，點的坐標是，∴由旋轉的性質可得，，即，整理得，當時，，解得；當時，，解得；當時，，解得；故只有選項A的坐標滿足題意，選項B、C、D都不滿足題意，故選：A【點睛】本題考查了旋轉的性質，理解掌握對應點到旋轉中心的距離相等是解題的關鍵．5、C【分析】設AB=a，BC=b，BE=c，BF=x，根據S平行四邊形EFGH=S矩形ABCD-2()=，由E是AB的中點可得,即可得出判斷．【詳解】解：設AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，連接EG，∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠FEG＝∠HGE，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∴∠BEG＝∠DGE，∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，∴∠BEF＝∠HGD∵EF＝HG，∠B＝∠D，∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），同理Rt△AEH≌Rt△CGF，∴S平行四邊形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH)＝ab﹣2[cx+(a﹣c)(b﹣x)]＝ab﹣(cx+ab﹣ax﹣bc+cx)＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx＝(a﹣2c)x+bc，∵E是AB的中點，∴a＝2c，∴a﹣2c＝0，∴S平行四邊形EFGH＝bc＝ab，故選：C．【點睛】本題考查矩形和平行四邊形的性質，解題關鍵是掌握矩形和平行四邊形的性質．6、B【分析】連接AC，取AC的中點G，連接EF，EG，GF，根據三角形中位線定理求出，，再利用三角形三邊關系：兩邊之和大于第三邊，即可得出AD，BC和EF的關系．【詳解】解：如圖，連接AC，取AC的中點G，連接EG，GF，∵E，F分別是邊AB，CD的中點，∴EG，GF分別是和的中位線，∴，，在中，由三角形三邊關系得，即，∴，當時，點E、F、G在同一條直線上，∴，∴四邊形ABCD中，E，F分別是邊AB，CD的中點，則AD，BC和EF的關系是：．故選：B．【點睛】題目主要考查三角形中位線的性質定理，三角形三邊關系，線段間的數量關系等，理解題意，結合圖形，綜合運用這些知識點是解題關鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）7、扇形統(tǒng)計圖【分析】分析三種統(tǒng)計圖的特征，根據給出的空氣成分的百分比，即可得出結論【詳解】解：∵在空氣的成分中，氮氣約占78%，氧氣約占21%，其他微量氣體約占1%，條形統(tǒng)計圖要知道具體的數目，折線統(tǒng)計圖也需要知道具體的數目，不適合，扇形統(tǒng)計圖只要知道所占百分比，為此最合適的統(tǒng)計圖是扇形統(tǒng)計圖，故答案為：扇形統(tǒng)計圖．【點睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖的應用，掌握扇形統(tǒng)計圖的特征是解題關鍵．8、0.4【分析】根據總數計算出第5組的頻數，用第5組的頻數除以數據總數就是第五組的頻率．【詳解】解：第5組的頻數：50-2-8-15-5=20，頻率為：20÷50=0.4，故答案為0.4．【點睛】本題考查頻數和頻率的求法，關鍵知道頻數=總數×頻率，從而可求出解．9、【分析】如圖（見解析），過點作軸于點，點作軸于點，根據30°角直角三角形的性質求出，然后根據勾股定理求出，再根據旋轉的性質可得，然后根據三角形全等的判定定理證出，最后根據全等三角形的性質可得，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，點作軸于點，∵，∴∴，∴，由旋轉的性質得：，，，，在和中，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理、旋轉、點坐標等知識點，畫出圖形，通過作輔助線，正確找出兩個全等三角形是解題關鍵．10、，，【分析】當是時，，利用點的平移可求D的坐標，同理可以求出當是和時點D的坐標．【詳解】解：當時，第4個頂點D的坐標是或，當時，第4個頂點D的坐標是．故答案為：，，．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，主要利用了平行四邊形對邊平行且相等的性質，運用平移的方法來判斷第三個點的坐標．11、①②③④【分析】根據正方形的性質可得AD＝CD，然后利用“邊角邊”證明△ADF和△CDE全等，根據全等三角形對應角相等可得DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，然后求出∠EDF＝∠ADC＝90°，判斷出△DEF是等腰直角三角形，判斷出①正確；由△DEF是等腰直角三角形和正方形的性質可得∠NBE＝∠DFE＝45°，利用三角形內角和為180°即可判斷②正確；連接BM、DM．根據直角三角形的性質可得BM＝EF＝MD．由垂直平分線的判定推知MC垂直平分BD，故③成立；過點M作MH⊥BC于H，則∠MCH＝45°，根據三角形中位線定理得到MH＝BF＝1，求得，故④正確．【詳解】解：正方形ABCD中，AD＝CD，在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，∴∠EDF＝∠FDC＋∠CDE＝∠FDC＋∠ADF＝∠ADC＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，故①正確；∴∠DFE＝45°，∵四邊形ABCD為正方形，BD為對角線，∴∠NBE＝45°，∵∠FDN＋∠DFN＋∠DNF＝∠NBE＋∠BNE＋∠NEB＝180°，∠NBE＝∠DFE＝45°，∠DNF＝∠BNE，∴∠FDB＝∠FEB，故②正確；連接BM、DM，如圖所示：∵M是EF的中點，△BEF、△DEF是直角三角形，∴BM＝DM＝EF，又∵BC＝CD，∴直線CM是BD的垂直平分線，故③正確；過點M作MH⊥BC于H，則∠MCH＝45°，∵M是EF的中點，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位線，∴MH＝BF＝1，∴，故④正確．綜上所述，正確的結論有①②③④．故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記各性質與定理并作輔助線是解題的關鍵．12、【分析】過點F作于H，得到四邊形是矩形，得到cm，由翻折推出cm，利用勾股定理求出的長度，進而求出的長，再利用勾股定理求出即可．【詳解】解：過點F作于H．∵四邊形是矩形，∴，，∴四邊形是矩形，，∴cm，由翻折可知，，∴，∴cm，∴，∴，∴cm，故答案為：．【點睛】本題考查矩形中的折疊問題，等腰三角形的判定和性質．熟練掌握矩形的性質，折疊的性質，利用勾股定理進行求解，是解題的關鍵．13、6【分析】首先連接，交于點D，當經過D點時，該直線可將平行四邊形的面積平分，然后計算出過D且平行直線的直線解析式，從而可得直線要向下平移，進而可得答案．【詳解】解：連接，交于點D，當經過D點時，該直線可將平行四邊形的面積平分；∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∵直線平行于，∴設的解析式為，∵過，∴，∴，∴的解析式為，∴直線要向下平移6個單位，∴時間為6秒，故答案為：6．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質以及一次函數圖象上點的坐標特征，關鍵是掌握經過平行四邊形對角線交點的直線平分平行四邊形的面積．14、3【分析】先證明CB=CF，再結合平行四邊形的性質，計算即可．【詳解】因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以BC=AD，ABCF，AB=CD，所以∠ABF=∠BFC，因為BF平分∠ABC，所以∠ABF=∠CBF，所以∠BFC=∠CBF，所以CB=CF，因為CF=CD+DF，所以AD=AB+DF，所以AB=7-4=3(cm)，故答案為：3．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，角的平分線的意義，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．15、44cm2【分析】如圖，連接EF，由題意知與同底等高，有，可知，可知，同理可得，根據計算求解即可．【詳解】解：如圖，連接EF，∵與同底等高，∴，∴，∴，同理可得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線間垂線段相等，平行四邊形的性質，等面積法．解題的關鍵在于根據同底等高表示出三角形的面積．16、【分析】由平行四邊形的性質可得：，，當點P與點C重合時，此時OP有最大值，當時，此時OP有最小值，即可求解．【詳解】如圖，設AB與PD交于點O，連接OC，∵四邊形ADBP是平行四邊形∴，∵是等邊三角形，∴，∴∴當點P與點C重合時，此時OP有最大值∴DP的最大值為當時，此時OP有最小值∵∴∴DP的最小值為∵P為AC上一點（與點A、C不重合）∴故答案為：【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、等邊三角形的性質、垂線段最短等知識點，靈活運用這些性質是解決問題的關鍵．三、解答題（本大題共10小題，共68分。請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17、(1)30(2)見解析(3)540人【分析】（1）根據優(yōu)秀人數除以優(yōu)秀人數所占圓心角即可得到樣本容量；（2）由培訓后成績“不合格”的人數和成績“優(yōu)秀”的人數相等，得到“不合格”的人數，再得到合格人數即可補全圖形；（3）根據培訓后考核成績?yōu)椤昂细瘛钡膶W生人數所占比例乘以總數即可得到答案．【詳解】（1）樣本容量為：，故答案為：30．（2）由培訓后成績“不合格”的人數和成績“優(yōu)秀”的人數相等，不合格人數為6人，合格人數為：30-12=18人，補全圖形如下：（3）樣本中，合格人數占比為：，則該校900名學生中，培訓后考核成績?yōu)椤昂细瘛钡膶W生人數為：人【點睛】本題考查用樣本估計總體，條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖，理解條形統(tǒng)計圖得到各組所占比例是關鍵．18、（1）①②③；（2）答案見解析．【分析】（1）根據可能性的大小分別對每一項進行分析，即可得出答案；（2）當三種顏色面積相等的時候能使指針指向每種顏色區(qū)域的可能性相同．【詳解】解：（1）①轉動6次，指針都指向紅色區(qū)域，則第7次轉動時指針不一定指向紅色區(qū)域，故本選項說法錯誤；②轉動10次，指針指向紅色區(qū)域的次數不一定大于指向藍色區(qū)域的次數，故本選項說法錯誤；③轉動60次，指針指向黃色區(qū)域的次數不一定正好是10，故本選項說法錯誤；故答案為：①②③．（2）將1個紅色區(qū)域改成黃色，則紅、黃、藍三種顏色的區(qū)域各有2個，則指針指向每種顏色區(qū)域的可能性相同．【點睛】本題考查的是可能性的大?。玫降闹R點為：概率=所求情況數與總情況數之比．19、(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用旋轉變換的性質分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1，然后順次連接即可；（2）作出線段AB，的垂直平分線的交點P即可．（1）解：先作出A，B，C的對應點A1，B1，C1，然后順次連接，則即為所求作的三角形，如圖所示：（2）以點B為圓心，AB為半徑畫弧，交x軸負半軸于點，然后分別作AB、的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即為點P，如圖所示：【點睛】本題考查作圖?旋轉變換，解題的關鍵是掌握旋轉變換的性質，屬于中考?？碱}型．20、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形【分析】根據平行四邊形的判定方法畫出圖形即可．【詳解】解：方法一：依據是兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．方法二：依據是兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．故答案為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查作圖復雜作圖，平行四邊形的判定等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．21、證明見解析【分析】方法1、連接、，由已知證出四邊形是平行四邊形，即可得出結論．方法2、先判斷出，進而判斷出即可．【詳解】證明：方法1，連接、，如圖所示：四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是平行四邊形，．方法2，四邊形是平行四邊形，，，，又，，在和中，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，平行四邊形的判定與性質；通過作輔助線證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關鍵．22、AD=DB；∠ADE=∠BDF；∠DAE=∠DBF；BF=CE；證法2見解析【分析】證法1：根據全等三角形的判定和性質得出BF=AE，進而利用平行四邊形的判定和性質解答即可；證法2：根據平行四邊形的判定和性質和全等三角形的判定和性質定理解答即可．【詳解】證法1：如圖，延長ED至點F，使得FD=DE，連接BF，∵點D是AB的中點，∴AD=DB．又∵∠ADE=∠BDF，FD=DE，∴△ADE≌△BDF（SAS）．∴BF=AE，∠DAE=∠DBF，∴BF∥AE．又∵DE∥BC，∴四邊形FBCE是平行四邊形，BF=CE，∴AE=EC；故答案為：AD=DB；∠ADE=∠BDF；∠DAE=∠DBF；BF=CE；證法2：如圖，過E作EF∥AB交BC于F．∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形，∠B=∠ADE=∠CFE，∠AED=∠C，∴BD=EF，∵點D是AB的中點，∴AD=BD，∴EF=AD，∴△ADE≌△EFC（AAS），∴AE=CE，∴點E是AC的中點．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握平行四邊形的判定和性質定理是解題的關鍵．23、證明見解析【分析】（1）利用兩邊和它們的夾角對應相等的兩三角形全等（SAS），這一判定定理容易證明△AFD≌△CEB．（2）由△AFD≌△CEB，容易證明AD=BC且AD//BC，可根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．【詳解】證明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質及平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題關鍵．24、兩種不同方法證明見解析．【分析】（1）過D作DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分線的性質得DE＝DF，然后根據HL定理證Rt△BDE≌Rt△CDF，得∠B=∠C，根據“等角對等邊”即可證明AB=AC；（2）延長AD到E，使DE＝AD得四邊形ABEC是平行四邊形，利用平行四邊形的性質得AC＝BE，AC∥BE，得∠BED＝∠CAD進而有∠BED＝∠BAD，所以AB＝BE，等量代換得到AB=AC．【詳解】證法1：如圖，過D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，∵∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝90°，∠DFC＝90°，∵BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．證法2：如圖，延長AD到E，使DE＝AD．∵

DE＝AD，BD＝CD，∴

四邊形ABEC是平行四邊形．∴

AC＝BE，AC∥BE．∴

∠BED＝∠CAD．又

∠BAD＝∠CAD，∴

∠BED＝∠BAD．∴

AB＝BE．∴

AB＝AC．【點睛】方法1中主要應用了角平分線的性質、HL定理、等腰三角形的判定證明線段相等，作垂線創(chuàng)造角平分線性質條件是解答的關鍵；方法2中主要利用平行四邊形的判定和性質、平行線的性質、等腰三角形的判定證明線段相等，構造平行四邊形是解答的關鍵．25．(1)見解析(2)【分析】（1）根據平行四邊形的性質得到，進而得到，再根據直角三角形斜邊上的中線推出，，得到，即可得證；（2）根據平行四邊形的性質，證明，得到，，連接，推出四邊形是平行四邊形，得到，根據矩形的性質，得到，利用和勾股定理，求出的長，進而求出長，利用進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，，∴，∵G、H分別是、的中點，∴，∴，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，在和中，，∴，∴，，連接，如圖，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，四邊形是矩形時，，設，則：，在中，，在中，，∵，∴，解得：，即：，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上的中線以及勾股定理．本題的綜合性較強，熟練掌握并靈活運用相關知識點，是解題的關鍵．26．(1)①BC⊥CF；②BC＝CF＋CD(2)BC⊥C