第3章動(dòng)量角動(dòng)量

第三章動(dòng)量角動(dòng)量力的作用總要持續(xù)一段時(shí)間,需考慮力(矩)的累積作用力對(duì)時(shí)間累積作用瞬時(shí)關(guān)系式改變動(dòng)量動(dòng)量定理力矩對(duì)時(shí)間累積作用改變角動(dòng)量力對(duì)空間累積作用平動(dòng)動(dòng)能力矩對(duì)空間累積作用改變轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能角動(dòng)量定理動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律3.13.1.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理牛頓第二定律物體的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率與所加的外力成正比，并且發(fā)生在這外力的方向上。改寫(xiě)考慮一過(guò)程，時(shí)間從t1-t2，積分質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理力對(duì)時(shí)間的積累（沖量）動(dòng)量的增量注意：1.關(guān)于沖量的理解(1)定理中的沖量指的是質(zhì)點(diǎn)所受合力的沖量,或者質(zhì)點(diǎn)所受沖量的矢量和。(2)沖量是過(guò)程量,動(dòng)量是狀態(tài)量,沖量的方向可用動(dòng)量變化的方向來(lái)確定,而不管在這一過(guò)程中動(dòng)量變化的細(xì)節(jié)如何注意：2.動(dòng)量定理的意義(1)將過(guò)程量的計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)量的變化,而不必考慮過(guò)程中復(fù)雜的具體細(xì)節(jié)。(2)動(dòng)量定理在打擊或碰撞問(wèn)題中用來(lái)求平均力。測(cè)出和，算出，由(3)動(dòng)量定理在處理變質(zhì)量問(wèn)題時(shí)很方便。習(xí)題3-3

質(zhì)量10kg的物體在t＝0時(shí)速度為零。如果物體在沿著x軸方向的力F=(3+4t)N

作用下運(yùn)動(dòng)了3s，計(jì)算3s末物體的速度和加速度。解（1）3秒內(nèi)力的沖量為由動(dòng)量定理得（2）3s末質(zhì)點(diǎn)的加速度

由相互作用著的兩個(gè)或兩個(gè)以上的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)稱為質(zhì)點(diǎn)系。3.1.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系是物理學(xué)中的基本概念，分子是由原子核和許多核外電子組成的，可將分子當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)系；氣體和固體是由許多原子或分子組成的，也可以當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)系；由許多天體構(gòu)成的星系也能視為質(zhì)點(diǎn)系。將質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的規(guī)律應(yīng)用到組成質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，就能推演出質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。因此，質(zhì)點(diǎn)系概念的提出為研究質(zhì)點(diǎn)力學(xué)向?qū)嶋H力學(xué)問(wèn)題的過(guò)渡搭建了橋梁。

順便指出，剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系，其特征是剛體內(nèi)任意兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離在運(yùn)動(dòng)中保持不變。

3.1.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成,某瞬時(shí),第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為3.1.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理因?yàn)楹褪窍嗷プ饔玫膬?nèi)力，故作用于兩質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)內(nèi)兩質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。兩式相加3.1.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系12ni設(shè)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi、初速度為

,經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，速度為,在此過(guò)程中,受到外力的矢量和為,內(nèi)力的矢量和為。對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理有對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理有考慮到所有內(nèi)力的和，為系統(tǒng)后來(lái)的總動(dòng)量，為系統(tǒng)初始狀態(tài)的總動(dòng)量。

作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量,此即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理。只有外力才能改變系統(tǒng)的動(dòng)量，而系統(tǒng)的內(nèi)力(系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用)不能改變系統(tǒng)的動(dòng)量。二、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律

在某一過(guò)程中，若合外力的沖量等于零，即則

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量保持不變,該結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律。動(dòng)量守恒定律的分量形式為當(dāng)時(shí)，常量當(dāng)時(shí)，常量當(dāng)時(shí)，常量如果系統(tǒng)沿某坐標(biāo)方向所受合外力為零,則沿此坐標(biāo)方向的總動(dòng)量分量守恒。

注意：(1)

動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量總和保持不變，但每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量可能會(huì)發(fā)生變化。(2)系統(tǒng)動(dòng)量守恒的條件是合外力為零。在碰撞、打擊、爆炸等過(guò)程，因?yàn)槲矬w相互作用時(shí)間極短，相互作用內(nèi)力很大，往往可忽略外力，即認(rèn)為系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。(3)動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系，使用時(shí)所有速度必須相對(duì)于同一慣性系。(4)動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)中最普遍、最基本的定律之一。在微觀高速范圍同樣適用。例3-3

如圖,在光滑的水平面上,有一質(zhì)量為M、長(zhǎng)為l的小車,車上一端站有質(zhì)量為m的人，起初m、M均靜止，若人從車的一端走到另一端，則人和車相對(duì)地面走過(guò)的距離為多少？選地面為參照系解、為系統(tǒng)系統(tǒng)在水平方向受的合外力為零系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒選向左的方向?yàn)檎较蚧騼蛇呁瑫r(shí)乘以時(shí)間dt，設(shè)人從A走到B所用時(shí)間為t,人與車相對(duì)于地面走過(guò)的距離分別為Sm和SM(如圖),積分得即得考慮到例3-4

如圖,靜止的物體炸裂成三塊.其中兩塊具有相等的質(zhì)量,且以相同的速率30m/s沿相互垂直的方向飛開(kāi),第三塊的質(zhì)量恰好等于這兩塊質(zhì)量的總和,試求第三塊的速度(大小和方向)。解爆炸力是內(nèi)力，遠(yuǎn)大于系統(tǒng)所受外力，認(rèn)為動(dòng)量守恒，系統(tǒng)初動(dòng)量為零。三塊碎片的動(dòng)量之和仍為零。由于、和共面，且

和相互垂直

考慮到解得角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律3.23.2.1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律一、力矩說(shuō)明：(1)力矩是矢量大小方向垂直于、所構(gòu)成的平面，滿足右手螺旋關(guān)系(2)力矩在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算

設(shè)例3-5質(zhì)量為1.0kg

的質(zhì)點(diǎn)沿著由決定的曲線運(yùn)動(dòng)。求此質(zhì)點(diǎn)在時(shí)所受的相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的力矩。

解t=1.0s時(shí)二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量(動(dòng)量矩)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量(2)角動(dòng)量是狀態(tài)量。說(shuō)明：(1)角動(dòng)量是矢量方向垂直于、所構(gòu)成的平面，滿足右手螺旋關(guān)系大小(3)角動(dòng)量是相對(duì)量，必須相對(duì)于參考點(diǎn):為和之間的夾角解例3-7

如圖，質(zhì)量為m、速度為的A粒子以瞄準(zhǔn)距離d射向B粒子（所謂瞄準(zhǔn)距離即粒子B到粒子A速度方向線的垂直距離）。試求A粒子對(duì)B粒子的角動(dòng)量的大小和方向。

A粒子對(duì)B粒子的角動(dòng)量大小

問(wèn)題3-6

如圖,兩剛性輕桿互相垂直,且在中點(diǎn)O處固結(jié),4個(gè)質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)分別固定于兩桿的4個(gè)端點(diǎn)。系統(tǒng)繞過(guò)點(diǎn)O且與兩桿均垂直的軸沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。建立圖示坐標(biāo)系，(1)寫(xiě)出圖示瞬時(shí)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量、角動(dòng)量。設(shè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω，桿長(zhǎng)均為l。(2)如系統(tǒng)作加速轉(zhuǎn)動(dòng),系統(tǒng)的動(dòng)量和角動(dòng)量變化嗎？垂直紙面向里質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（微分形式）三、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量(動(dòng)量矩)定理求導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)所受合力對(duì)點(diǎn)O的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的角動(dòng)量的時(shí)間變化率。改寫(xiě)考慮一過(guò)程，時(shí)間從t1-t2，兩端積分質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（積分形式）力矩對(duì)時(shí)間的積累(沖量矩)角動(dòng)量增量質(zhì)點(diǎn)所受合力對(duì)點(diǎn)O的沖量矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的角動(dòng)量的增量。四、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量(動(dòng)量矩)守恒定律(2)角動(dòng)量守恒定律也是自然界最基本、最普遍的守恒定律☆☆(1)力矩為零,有三種情況

(3)動(dòng)量守恒,角動(dòng)量不一定守恒;角動(dòng)量守恒,動(dòng)量也不一定守恒。若則質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律說(shuō)明：☆方向相同或相反問(wèn)題3－9

如圖，質(zhì)量為m

的小球系在繩子的一端，繩穿過(guò)水平面上一小孔O，使小球限制在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)，先使小球以速度υ0繞小孔做半徑為r0

的圓周運(yùn)動(dòng)，然后緩慢向下拉繩使圓周的半徑減為r1，求此時(shí)小球的速度？解初角動(dòng)量角動(dòng)量守恒末角動(dòng)量由解得小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受徑向拉力作用3.2.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體上任一質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量剛體上任一點(diǎn)都在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量等于剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。說(shuō)明：有正負(fù)正負(fù)與ω同二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理（1）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量（2）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定律(角動(dòng)量陳述)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體所受的對(duì)某給定軸的總外力矩等于剛體對(duì)此軸的角動(dòng)量的時(shí)間變化率。改寫(xiě)考慮一過(guò)程，時(shí)間從t1-t2，兩端積分剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理力矩對(duì)時(shí)間的積累(沖量矩)角動(dòng)量增量剛體所受合力矩的沖量矩，等于剛體在這段時(shí)間間隔內(nèi)的角動(dòng)量的增量。說(shuō)明：(1)對(duì)于剛體，它對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變(2)如果物體在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，物體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的位置發(fā)生了變化，那么物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J也必然隨時(shí)間變化三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律

(1)物體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng),如果轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變,則角動(dòng)量守恒,即角速度為常數(shù),物體勻速轉(zhuǎn)動(dòng);如果轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以改變,則物體的角速度也隨之改變，但兩者之積保持不變

若則剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒定律說(shuō)明：或(3)運(yùn)動(dòng)物體與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體碰撞時(shí),由于相互作用時(shí)間極短,有限的外力矩的沖量矩可以忽略,運(yùn)動(dòng)物體與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體組成的系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒;但由于固定轉(zhuǎn)軸可能受到很大約束力,其沖量不能忽略,所以動(dòng)量一般不守恒。(2)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)由多個(gè)物體組成,則系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒定律為

子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)角動(dòng)量守恒動(dòng)量不守恒以子彈和沙袋為系統(tǒng)動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒子彈擊入沙袋細(xì)繩質(zhì)量不計(jì)思考：角動(dòng)量守恒定律的實(shí)例選子彈和木桿為研究對(duì)象，系統(tǒng)所受外力矩為零，角動(dòng)量守恒。例3-9

如圖，長(zhǎng)為l、質(zhì)量為M

的勻質(zhì)木桿,一端掛在光滑的水平軸O上,開(kāi)始時(shí)靜止于豎直位置,現(xiàn)有一粒質(zhì)量為m

的子彈以速度υ0

從桿的中點(diǎn)未穿過(guò)，求勻質(zhì)木桿開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的