結(jié)構(gòu)位移和剛度-圖乘法（建筑力學(xué)）

圖乘法1主要內(nèi)容圖乘法的公式和適用條件圖乘計(jì)算中的常見(jiàn)問(wèn)題圖乘法一、

圖乘法1、圖乘法的公式和適用條件

用單位荷載法求梁或剛架的位移時(shí)，其積分計(jì)算過(guò)程往往比較繁雜。如果結(jié)構(gòu)滿足以下兩個(gè)條件：就可以用圖乘法代替積分運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化計(jì)算工作。(1)桿件（或桿段）為等截面直桿，且EI為常數(shù)；

（2）在M和兩個(gè)彎矩圖中至少由一個(gè)是直線圖形。圖乘法設(shè)桿件的M圖與圖已知（如圖），且EI為常數(shù)，其中ab段的圖為直線圖形。取圖的延長(zhǎng)線與x軸交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)。則(a)，dA=Mdx，利用位移計(jì)算公式有圖乘法代入式(a)，得

(b)

又因?yàn)閥C=xCtan

，則有(c)

式中，稱為M圖的面積對(duì)y軸的靜矩，它等于M圖的面積乘以其形心C的坐標(biāo)xC，即圖乘法式中，yC為M圖的形心C下相應(yīng)的圖中的豎標(biāo)。

對(duì)于多根桿件組成的結(jié)構(gòu)，只要將每段桿圖乘的結(jié)果相加，即=

用圖乘法計(jì)算位移時(shí)，需要確定彎矩圖的圖形面積及其形心位置。下圖給出幾種簡(jiǎn)單圖形的面積和形心位置，以備查用。式(c)表明，積分式之值等于M圖的面積A乘以其形心所對(duì)應(yīng)的圖(直線圖形)中的豎標(biāo)yC，再除以桿的彎曲剛度EI。當(dāng)A與yC在桿的同一側(cè)時(shí)，兩者乘積取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。這就是圖乘法。圖乘法簡(jiǎn)單圖形的面積和形心位置圖乘法

2.圖乘計(jì)算中的常見(jiàn)問(wèn)題下面對(duì)圖乘計(jì)算中將可能會(huì)遇到的一些問(wèn)題加以討論。

(1)兩個(gè)彎矩圖都為三角形。當(dāng)兩個(gè)三角形的高在同一邊時(shí)(如圖)有圖乘法當(dāng)兩個(gè)三角形的高在兩邊時(shí)(如圖)，有圖乘法(2)復(fù)雜圖形分解為簡(jiǎn)單圖形

①當(dāng)其中一個(gè)彎矩圖為梯形時(shí)，可將其分解為兩個(gè)三角形（如圖）。設(shè)兩個(gè)三角形的面積分別為A1和A2，該兩面積形心下相應(yīng)的圖的豎標(biāo)分別為yC1和yC2，則有圖乘法

②當(dāng)兩個(gè)彎矩圖都是梯形時(shí)，可將彎矩圖都分解為兩個(gè)等高的三角形(如圖)。計(jì)算時(shí)A1、A2要分別與圖中的兩個(gè)三角形相乘，然后再相加，即圖乘法

③當(dāng)兩個(gè)彎矩圖都是直線圖形，但都含有不同符號(hào)的兩部分時(shí)(如圖)，可將其中一個(gè)圖形分解為ABC和ABD兩個(gè)三角形，分別與另一個(gè)圖形相乘并求和，即圖乘法

④當(dāng)M圖如圖a、b所示圖形時(shí)，可將其分解為三角形（或梯形）和拋物線形，分別與圖相乘，然后再求和。圖乘法

(3)豎標(biāo)yC必須在直線圖形上取得。當(dāng)兩個(gè)彎矩圖都是直線圖形時(shí)，yC可取自任意一個(gè)彎矩圖。

(4)每個(gè)面積只能對(duì)應(yīng)一條直線圖形。當(dāng)M圖對(duì)應(yīng)的不是一條直線圖形時(shí)(如圖)，則要將其分割成幾個(gè)面積，使每個(gè)面積對(duì)應(yīng)一條直線圖形，分別進(jìn)行圖乘再相加，即圖乘法二、應(yīng)用圖乘法計(jì)算求位移解：例1圖示一懸臂梁，已知EI，求B端截面的撓度yB和轉(zhuǎn)角

B1、畫(huà)MP圖BA

lFFl

2、求yB

在B端加單位力F1=1，得虛擬狀態(tài)F1=11

C

面積A=Fl2/22l/3=2l/3BAMP圖3、

求

B

在B端加單位力M2=1，得虛擬狀態(tài)畫(huà)圖BA圖BA圖M2=1=1l

畫(huà)圖

由圖乘法得：

由圖乘法得：圖乘法

例2試用圖乘法求圖示簡(jiǎn)支梁跨中點(diǎn)C截面的豎向位移

CV和B截面的角位移

B。設(shè)梁的彎曲剛度EI為常數(shù)。圖乘法正號(hào)表示

CV的方向與所設(shè)=1的方向相同，即鉛直向下。=1，繪出圖(圖c)。解：(1)求豎向位移

CV

。繪出荷載作用下M圖(圖b)在C截面虛加一豎向單位力因M圖和圖都為折線，故必須分AC、CB兩段圖乘后相加，得圖乘法將兩圖相乘，得（逆時(shí)針）

（2）求角位移

B。在B截面虛加一單位力偶=1，繪出圖（圖d）負(fù)號(hào)表示

B的轉(zhuǎn)向與所設(shè)=1的轉(zhuǎn)向相反，即逆時(shí)針?lè)较颉D乘法

例3試用圖乘法求圖示外伸梁C截面的豎向位移

CV。設(shè)梁的彎曲剛度EI為常數(shù)。

圖乘法解：繪出荷載作用下的M圖（圖b）。

在C截面虛加一豎向單位力=1，繪出圖(圖c)。應(yīng)分AB、BC兩段圖乘，并將AB段的M圖分解為三角形和拋物線形。分段圖乘后相加，得：正號(hào)表示

CV的方向與所設(shè)=1的方向相同，即鉛直向下。圖乘法三、應(yīng)用圖乘法計(jì)算求位移圖乘法計(jì)算位移的解題步驟是:1)畫(huà)出結(jié)構(gòu)在實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP；2)根據(jù)所求位移選定相應(yīng)的虛擬狀態(tài)，畫(huà)出單位荷載作用下的彎矩圖；3)分段計(jì)算一個(gè)彎矩圖形面積及形心C對(duì)應(yīng)的另一彎距圖豎標(biāo)yC；4)將A、yC代入圖乘法公式計(jì)算所求位移。圖乘法圖乘法2主要內(nèi)容6-8圖乘法2出鏡利用圖乘法計(jì)算結(jié)構(gòu)位移圖示剛架，已知EI，求結(jié)點(diǎn)B的水平位移

BX和角位移

B。

c)BCA圖解：2.求

Bx

在B端加水平單位力F1=1得虛擬狀態(tài)a)llBCAqIIFAxFAyFC=ql/2=ql/2=0F1=11111.畫(huà)MP圖畫(huà)圖b)BCAMP圖ql2/8

由圖乘法得：ll圖示剛架，已知EI，求結(jié)點(diǎn)B的水平位移

BX和角位移

B。

a)llBCAqIIFAx