安徽省桐城市重點中學2023-2024學年九年級下學期開學考數(shù)學試題(含解析)

桐城市重點中學2023—2024學年九年級下學期開學考數(shù)學卷一、選擇題(共10題；共40.0分)1．當函數(shù)是二次函數(shù)時，a的取值為（）A.a=1 B.a=±1 C.a≠1 D.a=-12．如圖，拋物線y1=ax2+bx+c與直線y2=kx+m的交點為A（1，-3），B（6，1）．當y1＞y2時，x的取值范圍是（）A.1＜x＜6 B.-3＜x＜1

C.x＜-3或x＞1 D.x＜1或x＞63．已知一個幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖是（）A.B.C.D.4.如圖，兩個反比例函數(shù)y1＝和y2＝在第一象限內(nèi)的圖象分別是C1和C2，設點P在C1上，PA⊥x軸于點A，交C2于點B，則△POB的面積為（）A.4 B.2 C.1 D.65.如圖，點E是平行四邊形ABCD中BC的延長線上的一點，連接AE交CD于F，交BD于M，則圖中共有相似三角形（不含全等的三角形）（）對．A.4 B.5 C.6 D.76.如圖，在△ABC，AB=AC=a,點D是邊BC上的一點，且BD=a,AD=DC=1，則a等于（）A. B.

C.1 D.27.若sinα＞cosα，則銳角α的取值范圍是（）A.0°＜α＜45° B.30°＜α＜45°

C.45°＜α＜60° D.45°＜α＜90°8.我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)“割圓術”：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”，即通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，…．邊數(shù)越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長．再根據(jù)“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”來計算圓周率．設圓的半徑為R，圖1中圓內(nèi)接正六邊形的周長l6=6R，則π≈=3．再利用圓的內(nèi)接正十二邊形來計算圓周率，則圓周率π約為（）

A.12sin15° B.12cos15° C.12sin30° D.12cos30°9.某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長是（）

A.cm B.cm

C.cm D.cm10.如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（5，0），與y軸交于點C，其對稱軸為直線x=2，結合圖象分析如下結論：①abc＞0；②b+3a＜0；③當x＞0時，y隨x的增大而增大；④若一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A，則點E（k,b）在第四象限；⑤點M是拋物線的頂點，若CM⊥AM，則a=．其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題(共4題；共20.0分)11．若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與拋物線y=2x2-4x-1的頂點重合，且與y軸的交點的坐標為（0，1），則拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的表達式是_____．12．如圖，等邊△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，線段AB被截成三等份．若△ABC的面積為12cm2，圖中陰影部分的面積為_____cm2．13．如圖，AB、AC是⊙O的弦，過點A的切線交CB的延長線于點D，若∠BAD=35°，則∠C=_____°．14．△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，若點D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是________．三、解答題(共9題；共90.0分)15．(8分)已知△ABC中的∠A與∠B滿足（1-tanA）2+|sinB-|=0

（1）試判斷△ABC的形狀．

（2）求（1+sinA）2-2-（3+tanC）0的值．16．(8分)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（-2，1），B（-1，4），C（-3，3）．

（1）畫出△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A1BC1．

（2）以原點O為位似中心，位似比為2：1，在y軸的左側(cè)，畫出將△ABC放大后的△A2B2C2，并寫出A2點的坐標_____．17．(8分)圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點到地面的距離；（2）若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險?請說明理由．（結果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）18．(8分)如圖，AB是⊙O的直徑，BD平分∠ABC，DE⊥BC，垂足為E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若CE=2，DE=4，求⊙O的半徑．19．(10分)為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定在一塊一邊靠墻（墻長25米）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，一邊靠墻，另三邊用總長為40米的柵欄圍住．設CD長為x米，綠化帶面積為ym2．

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍；

（2）當x為何值時，滿足條件的綠化帶面積最大是多少？

（3）若墻長是18米，當x為何值時，滿足條件的綠化帶面積最大？20．(10分)定義：如圖①，若點D在△ABC的邊AB上，且滿足∠ACD=∠B，則稱滿足這樣條件的點為△ABC的“理想點”．

（1）如圖①，若點D是△ABC的邊AB的中點，AC=2，AB=4，試判斷點D是不是△ABC的“理想點”，并說明理由；

（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若點D是△ABC的“理想點”，求CD的長．21．(12分)“基礎學科拔尖學生培養(yǎng)試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應“錢學森之問”而推出的一項人才培養(yǎng)計劃，旨在培養(yǎng)中國自己的杰出人才．已知，，，，五所大學設有數(shù)學學科拔尖學生培養(yǎng)基地，并開設了暑期夏令營活動，參加活動的每名中學生只能選擇其中一所大學．某市為了解中學生的參與情況，隨機抽取部分學生進行調(diào)查，并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)整理后，繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．（1）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，所在的扇形的圓心角的度數(shù)為_________；若該市有中學生參加本次活動，則選擇大學的大約有_________人；（3）甲、乙兩位同學計劃從，，三所大學中任選一所學校參加夏令營活動，請利用樹狀圖或表格求兩人恰好選取同一所大學的概率．22．(12分)如圖，拋物線y=-x2+x+2交y軸于A點，交x軸于點B、C．

（1）求直線AB的表達式；

（2）當點M在線段AB上方的拋物線上移動時，求四邊形AOBM的面積的最大值；

（3）將該二次函數(shù)圖象向下平移，若平移后的圖形恰好與坐標軸有兩個公共點，直接寫出平移距離．23．(14分)在正方形ABCD中，點M是邊AB的中點，點E在線段AM上（不與點A重合），點F在邊BC上，且，連接EF，以EF為邊在正方形ABCD內(nèi)作正方形EFGH．（1）如圖1，若，當點E與點M重合時，求正方形EFGH的面積，（2）如圖2，已知直線HG分別與邊AD，BC交于點I，J，射線EH與射線AD交于點K．①求證：；②設，和四邊形AEHI的面積分別為，．求證：．答案解析1．【答案】D【解析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列出不等式和方程，解方程和不等式得到答案．

解：∵y=（a-1）x+2x+3是二次函數(shù)，

∴a-1≠0，a2+1=2，

解得，a=-1，

故選：D．2．【答案】D【解析】根據(jù)兩函數(shù)的圖象和A、B的坐標得出即可．

解：∵二次函數(shù)y1=ax2+bx+c與一次函數(shù)y2=kx+m的交點A、B的坐標分別為（1，-3）、（6，1），

∴當y1＞y2時，x的取值范圍是x＜1或x＞6，

故選：D．3．【答案】B【解析】根據(jù)解答幾何體的三視圖的定義，畫出從左面看所得到的圖形即可．

解：這個幾何體的左視圖為，

故選：B．4．【答案】C【解析】根據(jù)反比例函數(shù)y=（k≠0）系數(shù)k的幾何意義得到，然后利用進行計算即可．解：∵PA⊥x軸于點A，交于點B，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)y=（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y=（k≠0）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|．5．【答案】B【解析】根據(jù)平行四邊形的對邊平行，再根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似找出相似三角形即可得解．

解：在?ABCD中，

∵AB∥CD，

∴△ABM∽△FDM，△ABE∽△FCE，

∵AD∥BC，

∴△ADM∽△EBM，△FDA∽△FCE，

∴△ABE∽△FDA，

∴圖中相似三角形有5對．

故選：B．6．【答案】A【解析】利用相似三角形的性質(zhì)構建方程求解即可．

解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵DA=DC，

∴∠DAC=∠C，

∴∠DAC=∠B，

∵∠C=∠C，

∴△CDA∽△CAB，

∴=，

∴CA2=CD?CB，

∵CA=a,BD=a,CD=1，

∴CB=1+a,

∴a2=1?（1+a），

∴a2-a-1=0，

∴a=或（舍棄），

故選：A．7．【答案】D【解析】利用cosα=sin（90°-α），載根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性，即可求出α的取值范圍．

解：∵cosα=sin（90°-α），sinα＞cosα，

∴sinα＞sin（90°-α），

∴α＞90°-α，

∴α＞45°，

又∵α為銳角，

∴45°＜x＜90°，

故選：D．8.【答案】A【解析】利用圓內(nèi)接正十二邊形的性質(zhì)求出A6A7=2A6M=2R×sin15°，再根據(jù)“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”，即可解決問題．

解：在正十二邊形中，∠A6OM=360°÷24=15°，

∴A6M=sin15°×OA6=R×sin15°，

∵OA6=OA7，OM⊥A6A7，

∴A6A7=2A6M=2R×sin15°，

∴π≈=12sin15°，

故選：A．9．【答案】A【解析】如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得的角度，進而可得所對的圓心角，根據(jù)弧長公式進行計算即可求解．解：如圖，

PA，PB分別與所在圓相切于點A，B．，∠P＝40°，，該圓半徑是9cm，cm，故選：A．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，求弧長，牢記弧長公式是解題的關鍵．10．【答案】D【解析】①正確，根據(jù)拋物線的位置判斷即可；

②正確，利用對稱軸公式，可得b=-4a,可得結論；

③錯誤，應該是x＞2時，y隨x的增大而增大；

④正確，判斷出k＞0，可得結論；

⑤正確，設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-5）=a（x-2）2-9a,可得M（2，-9a），C（0，-5a），過點M作MH⊥y軸于點H，設對稱軸交x軸于點K．利用相似三角形的性質(zhì)，構建方程求出a即可．

解：∵拋物線開口向上，

∴a＞0，

∵對稱軸是直線x=2，

∴-=2，

∴b=-4a＜0

∵拋物線交y軸的負半軸，

∴c＜0，

∴abc＞0，故①正確，

∵b=-4a,a＞0，

∴b+3a=-a＜0，故②正確，

觀察圖象可知，當0＜x≤2時，y隨x的增大而減小，故③錯誤，

一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A，

∵b＜0，

∴k＞0，此時E（k,b）在第四象限，故④正確．

∵拋物線經(jīng)過（-1，0），（5，0），

∴可以假設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-5）=a（x-2）2-9a,

∴M（2，-9a），C（0，-5a），

過點M作MH⊥y軸于點H，設對稱軸交x軸于點K．

∵AM⊥CM，

∴∠AMC=∠KMH=90°，

∴∠CMH=∠KMA，

∵∠MHC=∠MKA=90°，

∴△MHC∽△MKA，

∴=，

∴=，

∴a2=，

∵a＞0，

∴a=，故⑤正確，

故選：D．11．【答案】y=4x2-8x+1【解析】根據(jù)題意求得拋物線的頂點坐標，進而設頂點式為y=a（x-1）2-3，代入（0，1），利用待定系數(shù)法即可求得．

解：∵y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，

∴拋物線y=2x2-4x-1的頂點坐標為（1，-3），

∵拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=2x2-4x-1的頂點重合，

∴拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（1，-3），

∴設此拋物線為y=a（x-1）2-3，

∵與y軸的交點的坐標為（0，1），

∴1=a-3，解得a=4，

∴此拋物線為y=4（x-1）2-3=4x2-8x+1，

故答案為：y=4x2-8x+1．12．【答案】4【解析】由DG∥BC證明△AHM∽△ABC，由EF∥BC證明△AKN∽△ABC，而AE=EF=FB，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可求得S△AHM=cm2，S△AKN=cm2，即可求出陰影部分圖形的面積．

解：∵DG∥BC，

∴△AHM∽△ABC，

∵AH=HK=KB，S△ABC=12cm2，

∴=（）2==，

∴S△AHM=S△ABC=×12=（cm2），

∵EF∥BC，

∴△AKN∽△ABC，

∴=（）2==，

∴S△AKN=S△ABC=×12=（cm2），

∴S陰影=S△AKN-S△AHM=-=4（cm2），

∴圖中陰影部分的面積為4cm2，

故答案為：4．13．【答案】35【解析】連接AO并延長交⊙O于點E，連接BE，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OAD=90°，從而求出∠BAE=55°，然后利用直徑所對的圓周角是直角可得∠ABE=90°，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可求出∠E的度數(shù)，最后根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即可解答．

解：連接OA并延長交⊙O于點E，連接BE，

∵AD與⊙O相切于點A，

∴∠OAD=90°，

∵∠BAD=35°，

∴∠BAE=∠OAD-∠BAD=55°，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ABE=90°，

∴∠E=90°-∠BAE=35°，

∴∠C=∠E=35°，

故答案為：35．14．【答案】①.80②.##【解析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個點在同一個圓上，當BF是圓C的切線時，即當CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時線段AF長度有最小值，據(jù)此求解即可．解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；設BF與AC相交于點H，如圖：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四個點在同一個圓上，∵點D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當BF是圓C的切線時，即當CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，∴此時線段AF長度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，過點F作FG⊥DE于點G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，∴AF=AE-FE=4-，故答案為：80；4-．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．15．【解析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出tanA及sinB的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A及∠B的度數(shù)，進而可得出結論；

（2）根據(jù)（1）中∠A及∠B的值求出∠C的數(shù)，再把各特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可．

解：（1）∵（1-tanA）2+|sinB-|=0，

∴tanA=1，sinB=，

∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，

∴△ABC是銳角三角形；

（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，

∴原式=（1+）2-2-1，

=．16．【答案】（-4，2）【解析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A、B、C以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應點，然后順次連接即可．

（2）利用位似圖形的性質(zhì)得出對應點位置即可得出答案．

解：（1）如圖所示，△A1BC1即為所求；

（2）如圖，△A2B2C2，即為所求，A2（-4，2）；

故答案是：（-4，2）．17．【答案】（1）車后蓋最高點到地面的距離為（2）沒有危險,詳見解析【解析】（1）作，垂足為點，先求出的長，再求出的長即可；（2）過作，垂足為點，先求得，再得到，再求得，從而得出到地面的距離為，最后比較即可．【小問1詳解】如圖，作，垂足為點

在中∵，∴∴∵平行線間的距離處處相等∴答：車后蓋最高點到地面的距離為．【小問2詳解】沒有危險，理由如下：過作，垂足為點∵，∴∵∴在中，∴．∵平行線間的距離處處相等∴到地面的距離為．∵∴沒有危險．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．18．【解析】（1）連接OD，根據(jù)角平分線定義和等腰三角形性質(zhì)即可證明OD∥BE，由DE⊥BE，可得OD⊥DE，進而可得DE是⊙O的切線；

（2）連接AC，根據(jù)圓周角定理和垂徑定理證明四邊形FDEC是矩形，再利用勾股定理即可求出⊙O的半徑．

（1）證明：如圖，連接OD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

又∵OB=OD，

∴∠ABD=∠ODB，

∴∠ODB=∠DBC，

∴OD∥BE，

∵DE⊥BE，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）如圖，連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠FCE=90°，

又∵∠FDE=90°，∠DEC=90°，

∴四邊形FDEC是矩形，

∴DF=CE=2，F(xiàn)C=DE=4．

設⊙O的半徑為r,

在Rt△OAF中（r-2）2+42=r2，

∴r=5．19．【解析】（1）根據(jù)長方形的面積計算公式列函數(shù)關系式，利用邊長大于零及墻的長度求自變量的取值范圍；

（2）將函數(shù)解析式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；

（3）先確定自變量的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

解：（1）y=AB?CD=（40-2x）x=-2x2+40x,

∵，

∴7.5≤x＜20；

（2）∵y=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，

∴當x=10時，綠化帶面積最大，最大面積是200平方米；

（3）∵，

∴11≤x＜20，

∵y=-2（x-10）2+200，a=-2＜0

∴開口向下，對稱軸為直線x=10，

∴當x＞10時，y隨x的增大而減小，

∴x=11時，綠化帶面積最大，最大面積是-2（11-10）2+200=198平方米．20．【解析】（1）結論：點D是△ABC的“理想點”．由所給的條件可得：，從而可證明△ACD∽△ABC，即有∠ACD=∠B；

（2）由點D是△ABC的“理想點”可得∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，可證得∠CDB=90°，CD⊥AB，利用勾股定理可求CD的長度．

解：（1）結論：點D是△ABC的“理想點”．

理由：

∵D是AB中點，AB=4，

∴AD=DB=2，

∵AC2=（2）2=8，AD?AB=8，

∴AC2=AD?AB，

∴，

∵∠A=∠A，

∴△ACD∽△ABC，

∴∠ACD=∠B，

∴點D是△ABC的“理想點”，

（2）如圖所示，

∵點D是△ABC的“理想點”，

∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，

當∠ACD=∠B時，

∵∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠BCD+∠B=90°，

∴∠CDB=90°，

當∠BCD=∠A時，同法證明：CD⊥AB，

在Rt△ABC中，

∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，

∴BC==3，

∵?AB?CD=?AC?BC，

∴CD=．21．【答案】（1）見解析（2）；．（3）【解析】（1）根據(jù)的人數(shù)除以占比得到總?cè)藬?shù)，進而求得的人數(shù)，補全統(tǒng)計圖即可求解；（2）根據(jù)的占比乘以得到圓心角的度數(shù)，根據(jù)乘以選擇的人數(shù)的占比即可求解；（3）根據(jù)列表法求概率即可求解．【小問1詳解】解：總?cè)藬?shù)為（人）∴選擇大學的人數(shù)為，補全統(tǒng)計圖如圖所示，【小問2詳解】在扇形統(tǒng)計圖中，所在的扇形的圓心角的度數(shù)為，選擇A大學的大約有（人）故答案為：；．【小問3詳解】列表如下，甲乙共有9種等可能結果，其中有3種符合題意，∴甲、乙兩人恰好選取同一所大學的概率為．【點睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，樣本估計總體，列表法求概率，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大