2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達標(biāo)檢測第40講直線平面平行的判定與性質(zhì)（講）

第40講直線、平面平行的判定與性質(zhì)（講）思維導(dǎo)圖知識梳理1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b題型歸納題型1直線與平面平行的判定與性質(zhì)【例11】（2020春?海淀區(qū)校級期末）如圖，三棱柱中，，，分別為棱，，中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面．【分析】（1）由已知利用三角形的中位線的性質(zhì)可證，進而利用線面平行的判定定理即可證明平面．（2）由已知可證是平行四邊形，進而證明，利用線面平行的判定證明平面，根據(jù)面面平行的判定證明平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可可證平面．【解答】證明：（1）在中，，分別為棱，中點．所以，因為平面，平面，所以平面．（2）在三棱柱中，，因為，分別為，中點，所以，所以是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，，所以平面平面，所以平面．【例12】（2019?廣東模擬）如圖，五面體，四邊形是矩形，是正三角形，，，是線段上一點，直線與平面所成角為，平面．（1）試確定的位置．（2）求三棱錐的體積．【分析】（1）連接、相交于，則為的中點，由三角形中位線定理可得，再由線面平行的判定可得平面；（2）由為的中點，得，由已知求得到平面的距離為，可得到平面的距離為．再求出三角形的面積，代入三棱錐體積公式求得三棱錐的體積．【解答】解：（1）如圖，四邊形是矩形，連接、相交于，則為的中點，取中點，連接，則，平面，平面，平面．此時為中點；（2）為的中點，．直線與平面所成角為，是正三角形，，到平面的距離為，到平面的距離為．又四邊形是矩形，且，．．三棱錐的體積為．【跟蹤訓(xùn)練11】（2020春?大興區(qū)期末）如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）若是線段上一動點，則線段上是否存在點，使平面？說明理由．【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；（Ⅱ）取的中點，連接，，利用中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及線面平行的判斷定理即可證明；（Ⅲ）取中點，連接，，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可證明．【解答】證明：（Ⅰ）在四棱錐中，平面，平面，平面平面，，（Ⅱ）取的中點，連接，，是的中點，，，又由（Ⅰ）可得，，，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．（Ⅲ）取中點，連接，，，分別為，的中點，，平面，平面，平面，又由（Ⅱ）可得平面，，平面平面，是上的動點，平面，平面，線段存在點，使得平面．【跟蹤訓(xùn)練12】（2019春?嶗山區(qū)校級期中）在正方體中，點為棱的中點．問：在棱上是否存在點，使得面？若存在，請說明點的位置；若不存在，請說明理由．【分析】取中點，中點，連結(jié)，，則，，從而平面平面，由此推導(dǎo)出在棱上存在中點，使得面．【解答】解：在棱上存在中點，使得面．理由如下：取中點，中點，連結(jié)，，在正方體中，點為棱的中點．，，，，平面平面，平面，面．【名師指導(dǎo)】1.證明線面平行有兩種常用方法：一是線面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行．2.在應(yīng)用線面平行的判定定理進行平行轉(zhuǎn)化時，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時才有直線與交線平行．題型2面面平行的判定與性質(zhì)【例21】（2019秋?金鳳區(qū)校級期末）如圖為一簡單組合體，其底面為正方形，棱與均垂直于底面，，求證：平面平面．【分析】推導(dǎo)出，，由此能證明平面平面．【解答】證明：底面為正方形，，棱與均垂直于底面，，，，，平面平面．【跟蹤訓(xùn)練21】（2020春?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，在正方體中，．（1）求異面直線與所成的角；（2）求證：平面平面．【分析】（1）通過平移先作出異面直線所成的角，進而求出即可；（2）利用線面、面面平行的判定定理即可證明．【解答】解：（1）連接、．由正方體可得，對角面是一個平行四邊形，．或其補角即為異面直線與所成的角，△是一個等邊三角形，即為異面直線與所成的角；（2）證明：由（1）可知：，而平面，平面，平面，同理可得平面，又，平面平面．【名師指導(dǎo)】證明面面平行的常用方法1．利用面面平行的定義或判定定理．2．利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)．3．利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)．題型3平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【例31】（2019秋?興慶區(qū)校級月考）如圖，已知，是平面，外的一點，直線，分別與、相交于、和、．（1）求證：；（2）已知，，，求的長．【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)即可得證；（2）由平行線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）證明：，平面，平面，；（2）由（1）可知，，即，．【跟蹤訓(xùn)練31】（2019春?青云譜區(qū)校級月考）如圖，平面，線段分別交，