2022-2023學(xué)年河北省石家莊市高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題1【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省石家莊市高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

?.PA+BC-BA=()

A.PBB.CPC.ACD.PC

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得PA+BC—BA=PA+AC=PC?

故選：D.

2.已知向量C2不共線，向量機(jī)=2e∣+4,n=et+λe2,且加〃”，則/1的值為()

A.1B.-1C.1或-1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)向量平行的定理可知，m=μn,即可列式求解.

【詳解】因?yàn)椋?7〃〃，所以，〃=〃〃，

/Ul+e2=∕z(e1+λe1~)=μex+λμe2,所以得2=〃=1，或2=〃=T,

故選：C

3.在JIBC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若α=4√L6=12,8=60。，則A=()

A.30oB.30°或150°C.60oD.60°或120°

【答案】A

【分析】運(yùn)用正弦定理求出SinA,從而得到A=30?；?50。，結(jié)合三角形大邊對大角的性質(zhì)即可得到

A=30°.

【詳解】因?yàn)棣?4λ∕J,6=12,8=60。，

AA小

所以由正弦定理可得..asinB45/3xT1,

b122

oo

因?yàn)樵贏ABC中,0<Λ<180,所以A=30。或150。.

又因?yàn)閎>α,所以8>A,所以A=30。.

故選：A

4.復(fù)數(shù)4*2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，若z∣=3-2i,i為虛數(shù)單位，則Z2=()

A.3+2iB.-3-2iC.-3+2iD.2+3i

【答案】B

【分析】根據(jù)Zl在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)寫出馬對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出答案.

【詳解】zl=3-2i對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,-2）,

因?yàn)?,N在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，

所以Z2對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,-2）,

故Zz=-3-2i.

故選：B.

5.在JIBC中，已知向量AB與AC滿足嚕+*/C=O且卷.孤==,則一ABC為（）

[?AB??AC?）∣BA∣∣BC∣2

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】C

a

【分析】根據(jù)∏表示“方向上的單位向量，由條件得出/84C的角平分線與BC垂直，再根據(jù)向量

H

的數(shù)量積公式得CoSNABC=",從而得出結(jié)果.

2

（ΛΠΛΓt、

【詳解】因?yàn)锽C=O,故的角平分線與BC垂直，

{?AB?IACU

即-ABC為以A為頂點(diǎn)的等腰三角形，

UUUUU_

又感=COSNABC=—二，而8為三角形內(nèi)角，底角NABC=45,

IBAlIBel2

故.ABC為等腰直角三角形.

故選：C

6.在一ΛBC中，角A,B,C所對的邊分別為4,b,c,且sinA:sin8:SinC=3:4:5,則下列結(jié)論錯(cuò)

誤的是（）

A.a:b:c=3:4-.5B...ABC為直角三角形

C.若b=4,則JIBC外接圓半徑為5D.若P為一.4BC內(nèi)一點(diǎn)，滿足尸A+2P8+PC=O，則

AAPB與八BPC的面積相等

【答案】C

【分析】AB選項(xiàng)，由正弦定理得到a:6:c=3:4:5,并判斷出三角形為直角三角形；C選項(xiàng)，由正

弦定理求解外接圓半徑；D選項(xiàng)，經(jīng)過分析得到尸點(diǎn)在三角形的中線AC上，得到答案.

【詳解】A選項(xiàng)，由正弦定理得sinA:sin5:SinC=a:b:c=3:4:5,A正確;

B選項(xiàng)，由A知a:b:c=3:4:5,故故一ABC為直角三角形，B正確；

42R=b=4=5

C選項(xiàng)，由B知，SinB=-,因?yàn)?=4,由正弦定理得SinB一4一°,

55

故.ABC外接圓半徑為R=∣,C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，取AC的中點(diǎn)E,則PA+PC=2PE,

因?yàn)棣?+2PB+PC=0,所以PE=-P8，

即P點(diǎn)在三角形的中線AC上，故ZW>B與ABPC的面積相等，D正確.

故選：C

7.若向量)=(1,2),?=(2,-6),則向量α在向量6上的投影向量為()

111IΓ

A.——bB.—bC.——bD.—b

4422

【答案】A

【分析】利用投影向量公式進(jìn)行計(jì)算.

(a-b]b(1,2)?(2,-6)r1Γ

【詳解】向量α在向量6上的投影向量為+rμL=yL

?h?22+(-6)4

故選：A

8.已知銳角，ABC中，角A,B,C的對邊分別為α",C.若2(CoSACOSB+cosC)=6sin3,。=近,

be=6,則b+c=()

A.9B.8C.5D.4

【答案】C

【分析】利用誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式化簡己知條件，求得A,利用余弦定理求得。+。.

【詳解】,?*2(cosAcosβ÷cosC)=V3sinB,A+8+C=π,

2cosAcosB+2cos(π-A-B)=sinB,2cosAcosB-2cos(A+B)=Λ∕3sinB,

?*?2sin4sinB=6SinB.

為銳角三角形，...SinBwO,SinA=等.而Ae(O,5],A=].

由余弦定理可得ɑ?=從+c2-2bccos^,，7=Z?2+c2一6,∕?b1+c2=13，

則HC=J(b+c)2=揚(yáng)+c?+2歷=√13+12=5.

故選：C

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)z(l-i)=2i,則下列命題正確的是()

A.z=l+iB.復(fù)數(shù)Z的虛部為i

C.∣z∣=√2D.復(fù)數(shù)Z的共物復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為(T,T)

【答案】CD

【分析】AB選項(xiàng)，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算出Z=-l+i,判斷出AB錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)模長公式

求出答案；D選項(xiàng)，根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的概念求解.

2i2i?(l+i)/、

【詳解】A選項(xiàng)，Z=—=,,V,?=i?1+i=-l+i,故A錯(cuò)誤；

1-1z(l-ι)(l÷ι)

B選項(xiàng)，復(fù)數(shù)Z的虛部為1,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，IZI=?θ77F=√2,C正確；

D選項(xiàng)，z=-i-i,故數(shù)Z的共甑復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為D正確.

故選：CD

10.下列說法錯(cuò)誤的是()

A.若AB與CO是共線向量，則點(diǎn)A,B,C,。必在同一條直線上

B.若ɑ〃人則一定有/LeR使得α=46

C.若Gb=Gc，且α≠0,則b和C在α上的投影向量相等

D.若∣α+6∣=∣α-6∣=2∣4∣*0,則α+6與的夾角為60。

【答案】ABD

【分析】根據(jù)向量共線，數(shù)量積的幾何意義，以及向量夾角和模的公式，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】A.若AB與CO是共線向量，則AB與CD方向相同或相反，點(diǎn)A,B,C,。不一定在同一

條直線上，故A錯(cuò)誤；

B.若a"b，8=0，α*0時(shí)，不存在XeR使得。=幾。，故B錯(cuò)誤；

C.根據(jù)投影向量的定義和公式，可知C正確；

D.由Iα+匕I=Ia-Z?I,兩邊平方后得“?b=O,且Iα-bI=21α∣≠0,兩邊平方后得,

(a+b)-[a-b)_a2b2-2a2_I

b2=3a2cos(a+b,a-b]==-

∣Λ+?∣∣<7-fe4,4?2

所以α+b與α-b的夾角為120,故D錯(cuò)誤.

故選：ABD

11.如下圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與8。交于點(diǎn)。，則以下說法正確的有（）

A.恒有AC2+BO2=2（A82+A。2）成立

B.若AB=3,Ao=券，">=4,則平行四邊形ABCf）的面積為6。

C.恒有ABAo=IAOF-180『成立

D.若。0=3,AC=IO,則A3?8C=-16

【答案】ABC

【分析】利用向量的數(shù)量積公式可判定A、C、D選項(xiàng)，結(jié)合三角形面積公式可判定B項(xiàng).

【詳解】?AB=a,AD=h,以其為基底，AC=a+b,DB=a-b,

則4C?2+BC/=(a+/7『+(a-〃y=2J+2d=2(4B2+A￡)2),

故A正確;

-/2

a+ba+?cι?b37,x/-r?1

由AO2==--------+-----=—=>ab=6=>cos(a,b)=-,

I2J424'/2

所以N班0=60,SA∕iORVmZ√=2S∕1OAI√Rn=AB?AD?sin/BAD=6,-73，

故B正確;

故C正確;

AC

由C項(xiàng)可得AO2—。。2=ABYD=I-DO2=?6=ABBC,

故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

12.已知-ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且“(sinA-SinB)=CSinC-Ain8,則下列

說法正確的是()

A.C=-

6

B.若一ABC的面積為√J,則C的最小值為2

C.若c=2,則ABC的周長的最大值為6

D.若6=3,c=2√∑,則滿足條件的一ABC有且僅有一個(gè)

【答案】BC

【分析】由正、余弦定理及已知得C=W,再根據(jù)選項(xiàng)綜合應(yīng)用正、余弦定理和三角形面積公式求

解.

【詳解】,**sinA-sinB)=csinC-?sinB,

22222

???由正弦定理可得〃(。一與=c-h,即a+b-c=ab，

對于A選項(xiàng)，由余弦定理可得CoSC='+'―‘2=1,

2ab2

TT

V0<C<π,-C=-,故A錯(cuò)誤；

對于B選項(xiàng)，由題可知SinC=走出?=6，.?."=4,

24

由余弦定理可得/=cr+b2-2abcosC=a2+?2-ab≥2ab-ab=ab=4,

.,.c≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=8=2時(shí)等號成立，故C的最小值為2,故B正確；

對于C選項(xiàng)，c2=O1+b1-2abcosC=a2+Z?2-ab=(a+b)2-3ab=4,

因?yàn)樗?a+6)一≤4,所以”+力44,當(dāng)a=b時(shí)等號成立，

44

因?yàn)閏=2,所以2<a+Hc≤6,則一ΛBC的周長的最大值為6,故C正確；

對于D選項(xiàng)，由余弦定理可得<?=〃+〃_2成COSC,即8=∕+9-3a,a2-3a+l=O.

解得“=也叵，則滿足條件的一ABC有2個(gè)，故D錯(cuò)誤.

2

故選：BC.

三、填空題

13.已知點(diǎn)例(1,T),N(-3,2),則與向量MN同方向的單位向量為

【答案】

MN

【分析】計(jì)算出MN=(T,3),求出府即為答案.

【詳解】的V=(-3,2)—(1,—I)=(T3),其中IMNi=J(-4f+32=5,

MN

則與向量MN同方向的單位向量為

MN

故答案為:?!)?

14.如圖，在矩形ABCQ中，BC=3AB=6,E為AB的中點(diǎn)，廠是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),

則/EG/的余弦值為

74

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，/EG尸為AROE的夾角，利用向量夾角的余弦公

式求出答案.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則Λ(0,0),β(2,0),E(l,0),F(2,2),D(0,6),

AF=(2,2),∕)E=(l,-6),A尸?DE=(2,2)?(1,-6)=2-12=-10,

/EGF為AF,OE的夾角,

∣AF∣=√4+4=2^,∣DE∣=√l+36=√37,

AF?QE_To__5肝

COSZEGF=

∣AF∣?∣Df∣^^2√2×^7-74-

74

15.如圖，照片中的建筑是某校的學(xué)生新宿舍樓，學(xué)生李明想要測量宿舍樓的高度MN.為此他進(jìn)行

了如下測量：首先選定觀測點(diǎn)4和B,測得A,B兩點(diǎn)之間的距離為33米，然后在觀測點(diǎn)A處測得

仰角/MAN=30。，進(jìn)而測得NM4fi=105。，NM?4=45。.根據(jù)李明同學(xué)測得的數(shù)據(jù)，該宿舍樓的高

度為米.

【答案】11√6

【分析】先在，河河中利用正弦定理求出4〃=33應(yīng)，再在RlAW中求解即可.

【詳解】在，ABM中，因?yàn)镹M4B=105。，ZMBA≈45°,

A8AM

所以NAM3=30。，又AB=33,所以

SinZAMBSinZMBA

33AM

解得AM=33√2;

sin30sin45

在RtAM?V中，因?yàn)?M4N=30。，AM=33忑1，

所以MN=AM?tan30=11√6,

即該宿舍樓的高度為11#米.

故答案為：11#.

16?點(diǎn)P是正方形48CE＞外接圓圓。上的動(dòng)點(diǎn)，正方形的邊長為2,則2。2?。8+02-0(7的取值范

圍是.

【答案】[-2如,2丙

【分析】根據(jù)題意求出圓的半徑，建立如圖平面直角坐標(biāo)系My,設(shè)P(^cos"&sin。)，6e[0,2π],

利用平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得2OP?O8+OP?OC=2在Sin(Q-O),結(jié)合三角函數(shù)

的有界性即可求解.

【詳解】由題意知，圓。的半徑為√P7F=近，

建立如圖平面直角坐標(biāo)系xθy,C(1,1),B(1,-1),

得OC=(1,1),OB=(1,-1),

設(shè)P(√∑cos0,√∑sin6),6?∈[0,2π],則OP=(√∑cos(9,√Σsin6?),

所以2OP?OB+OP?OC=2(√Σcose-√Σsine)+√Σcos6>+√Σsine

=3√∑cos6>-應(yīng)Sine=2正sin(e-6),其中tanp=3,

又0≤°-6≤2π:,所以一l≤sin(°-6)<l,

則2OP?OB+OP?OC=2小sin"-Θ)e[-2√5,2√5],

即20P?08+OP?OC的取值范圍為[一2方,26].

故答案為：[-2君,2百].

四、解答題

17.當(dāng)實(shí)數(shù)，”取什么值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=(m2-5,w+6)+(∕√-3m+2)i的點(diǎn)分別滿足下列條

件：

⑴是純虛數(shù)；

⑵位于直線y=2χ上；

【答案】(l)m=3

(2)=2或"7=5

【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的特征，列方程組求解；

（2）根據(jù)點(diǎn)在直線y=2x列方程求解；

【詳解】（1）由己知得《，,。一八，解得加=3,

w^-3m+2≠0

即加=3時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)Z是純虛數(shù)；

（2）由已知得“，-3m+2=2^m'-5m+6）,

解得a=2或，”=5,

即m=2或m=5時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)Z的點(diǎn)位于直線y=2x上；

18.已知e∣,C2為單位向量，且G，4的夾角為120。，向量α=2q+e2，b=/-q?

⑴求α?6;

⑵求”與b的夾角.

、3

【答案】⑴-5

⑵IE

【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求解；

（2）先求得同料，再利用夾角公式CoSe=篇求解.

【詳解】（I）解：???q,e2為單位向量，且生，與的夾角為120。，

,?ei?e2=?×?×Cosl20°=.

?3

ab=（2q+4-4）=2q?e2-2+?-e2?ex=-1-2+l+?^?=—-.

（2）設(shè)α與力的夾角為巴

,二同=?[a^=J（2q+%）=j4-4×^+l=?/?,

W=病=J卜2-,）=Jl+2xg+l=√J,

nab311

??μ∣?∣?∣2√3×λ^2-

又?.?0∈[0,句,

?"專

r)

???〃與，的夾角為年π.

19.已知a,b,C分別為.ABC三個(gè)內(nèi)角A,B1C的對邊，acosC+?∣3asinC-6-c=0.

⑴求角A；

(2)若JlBC為銳角三角形，求cos3+cosC的取值范圍.

【答案】(嗚

(2)

【分析】(1)由正弦定理及sin5=sinAcosC+cosAsinC得到TJSinA-CoSA=1,利用輔助角公式

得到Sin(Aq)=；,結(jié)合A∈(0,π)求出答案；

⑵利用COSB=-cos(A+C)及A=化簡得到CoSB+cosC=Sin(C+J根據(jù)三角形為銳角三角形

得到Ced,從而得到cos8+cosC的取值范圍.

【詳解】(1)由正弦定理得SinAcosC÷>∕3sinAsinC-sinB-sinC=0,

因?yàn)镾inB=Sin(A+C)=SinACOSC+cosASinC,

所以bsinASinC-Ce)SASinC-SinC=O,

因?yàn)镃∈(0l),所以SinCW0,

故Gsin4-CoSA=1,即2sin(4一7)=1,sin^A--,

因?yàn)?∈(0,τt),所以A?∈(-己*],

故4一:二工，解得A=S；

663

?

(2)cosB=-cos(A+C)=sinΛsinC-cosΛcosC=-^-si∏C--cosC,

故CoS6+cosC=2sinC+，COSC=SinlC十3]，

22I6；

因?yàn)橐沪獴C為銳角三角形，所以C且Be(O

因?yàn)?=π-g-C=f-C,βp?-C∈[θ,^,解得Ce信,等)，

333I2J163J

所以CW

故cosB÷cosC=sin

20.如圖，在平行四邊形ABC。中，ZBAD=60o,BE=^BC,CF=IFD.

⑴若EF=XA8+%。，求3x+2y的值;

⑵若k@=6,AC?EF=-18,求邊AO的長.

【答案】⑴3x+2y=-l

(2)4

【分析】(1)根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及平面向量基本定理求出X,九即可得解;

(2)設(shè)AO長為X,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程，解得即可.

【詳解】(1)在平行四邊形ABc。中，BE=^BC,CF=2FD,

1?21

所以EF=AF-AE=A。+—A3—(A3+—AO)=——AB+-AD,

3232

21

XEF=XAB÷yAD,.,.x=--,?=—,.*.3x+2γ=-l.

(2)設(shè)A。長為X,

AC-EF=(AB+AD)-^-^AB+^AD^

22121

=——AB+-AD——ABAD

326

=-∣∣AB∣2+；網(wǎng))」網(wǎng)?MCOSNBAO

I,1

=-x2——X-24=-18,

22

.?.x2-x-n=0,.?.x=4或-3(舍去)，即AD=4.

21.課本第46頁上在用向量方法推導(dǎo)正弦定理采取如下操作：如圖1,在銳角ABC中，過點(diǎn)A作

與AC垂直的單位向量j，因?yàn)锳C+CB=AB,所以∕?(AC+C8)=j?A8由分配律，得

j?AC+j?CB=j?AB,gp∣j∣∣AC∣cos→∣j∣∣CB∣cos^-cj=∣7∣∣AB∣cos^-Λj,也即

αsinC=csinA.請用上述向量方法探究，如圖2直線/與JIBC的邊AB,AC分別相交于點(diǎn)。，E.設(shè)

AB=c,BC=a,CA=b,ΛADE=Θ.則。與ΛBC的邊和角之間的等量關(guān)系下列哪個(gè)正確，并

說明理由.

(T)acos(B+θ)+hcos(A-θ)=CCOSe；(2)acos(B-θ)+hcos(A+θ}=CCOSe.

【答案】①錯(cuò)誤，②正確

DE

【分析】設(shè)〃?=——貝IJlmI=1,然后可得m?AC+機(jī)?C8="7?A8再根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)化

?DE?

簡即可.

DF

【詳解】設(shè)"=上上則∣,“l(fā)=ι,

?DE?

因?yàn)轲?+C?=Λ?,所以〃7?AC+mC8=m?A3，

B∣]∣^∣∣AC∣cos(π-(。+A))+1m∣∣CB?cos(π-(B-6>))=∣mIlABlcos(π-6),

所以-3CoS(A+，)-acos(8-0)=-ccos，，

即αcos(3-e)+bcos(A+6)=ccose,

所以①錯(cuò)誤，②正確.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：

(1)利用定義：

(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

(3)利用數(shù)量積的幾何意義.

具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用.

22.如圖，已知ΛBC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

sin。A+sin2C-Sin。B=一3叵SinA?sinBsinC.

3

⑴求B;

⑵若"+c2+3c=凡BA?BC=-J,點(diǎn)。在邊AC上，且BD在8C和班上的投影向量的模相等,

求線段8。的長.

【答案】（