2023-2024屆新高考一輪復(fù)習湘教版 8-9 拋物線及其性質(zhì) 學案

第九節(jié)拋物線及其性質(zhì)

【課標標準】1.掌握拋物線的定義、幾何圖形和標準方程2掌握拋物線的簡單幾何性

質(zhì)（范圍、對稱性、頂點）.3.了解拋物線的簡單應(yīng)用.

必備知識夯實雙基

知識梳理

1.拋物線的定義

平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線/（/不經(jīng)過點用的距離的點的軌跡叫做拋物

線.點尸叫做拋物線的,直線/叫做拋物線的.

2.拋物線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)

y1-2px(p>0)J2=-2px(p>0)jc2=2py(p>0)X2=-2py(p>0)

標準方程

_______________P的幾何意義：焦點F到準線/的距離________________

府至

圖形

頂點___________________________0(0,0)___________________________

對稱軸_____________XM__________________________y?_____________

范圍x20,y∈Rx≤0,v∈Ry20,x∈Ry≤0,x∈R

焦點

離心率e=l

準線方程____________________________

夯實雙基

I.思考辨析（正確的打“，錯誤的打“X”）

（1）平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線/的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.（）

（2）拋物線只有一個焦點，一條對稱軸，無對稱中心.（）

（3）拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.（）

（4）拋物線的方程都是二次函數(shù).（）

2.（教材改編）已知拋物線的焦點坐標為（O,I）,則該拋物線的標準方程為（）

A.y1-2xB.y1-x

C.x1=2yD.x2=~2y

3.（教材改編）拋物線V=12%上與焦點的距離等于6的點的坐標是.

4.（易錯）拋物線y=-%2的焦點坐標是（）

A.（0,一2）B.（-?0）

C.（0,-1）D.（-1,0）

5.（易錯）頂點在原點，且過點P（—2,3）的拋物線的標準方程是.

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一拋物線的定義及其應(yīng)用

例1(1)動圓與定圓A：(x+2>+y2=l外切，且和直線X=I相切，則動圓圓心的軌跡是

()

A.直線B.橢圓

C.雙曲線D.拋物線

(2)［2023?河南鄭州模擬］拋物線C：V=i6x的焦點為F,點M在C上，IMFI=I2,則M

到)，軸的距離是()

A.4B.8C.IOD.12

(3)［2023?江西贛州模擬］已知直線mχ-y+l-2m=0恒過定點A,拋物線Ety2=2px(p>0)

的焦點坐標為F(l,O),P為拋物線E上的動點，則|附|+|尸網(wǎng)的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

［聽課記錄］

題后師說

拋物線定義的應(yīng)用策略

鞏固訓練1

(l)［2023?河北張家口期末］已知M(Λ?,州)是拋物線C：y2=2px(p>0)上一點，尸是C的焦

點,yo=∣M∕η=6,則p=()

A.2B.3C.6D.9

(2)［2023?廣東廣州模擬］已知點P是拋物線V=4x上的一個動點，則點P到點M(0,√3)

的距離與P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為.

題型二拋物線的標準方程

例2分別根據(jù)下列條件，求拋物線的標準方程.

(1)準線方程是4y+l=0;

⑵拋物線的焦點是雙曲線16x2-9y2=144的左頂點；

(3)拋物線的焦點F在X軸上，直線y=-3與拋物線交于點A,∣AQ=5.

［聽課記錄］

題后師說

求拋物線標準方程的常用方法

鞏固訓練2

(l)[2023?安徽蚌埠期末]設(shè)拋物線y2=2p*(p>0)上一點PQ,〃。到y(tǒng)軸的距離是到焦點距

離的一半，則拋物線的標準方程為()

A.y2=ZxB.y2-4x

C.y2=8xD.y2=16x

(2)頂點在原點，對稱軸為坐標軸，焦點為直線3x—4)，-12=0與坐標軸的交點的拋物

線的標準方程為()

A./=-12y或y2=16x

B.∕=12y或γ2=-16x

C.Λ2=9y或V=Iir

D.A2=—?9y或9=-i2x

(3)一個正三角形的兩個頂點在拋物線y2=αr上，另一個頂點是坐標原點，如果這個三

角形的面積為36g，則該拋物線的標準方程為.

題型三拋物線的幾何性質(zhì)

例3(1)已知拋物線C：y2=4x的焦點為F,A為C上一點，且IAQ=5,O為坐標原點,

則AOAF的面積為()

A.2B.√5

C.2√3D.4

(2)已知拋物線y2=2pχ(p>0)的焦點為F,準線為/,尸為拋物線上一點，PALI,垂足為

A,如果aAPF是邊長為4的正三角形，那么此拋物線的焦點坐標為,點P的橫坐

標Xp-?

［聽■｛界?i≡,錄］........................................................................

題后師說

(1)涉及拋物線上的點到直線的距離或到準線的距離時，常可相互轉(zhuǎn)化.

(2)應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線

的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了用數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性.

鞏固訓練3

(1)已知拋物線C：V=4χ的焦點為F,準線為/,點尸在C上，直線PF與y軸交于點

M,且兩=2前，則點P到準線/的距離為()

A.3B.4

C.5D.6

(2)［2023?廣東佛山模擬］己知拋物線C：y2=2pχ0>0)的準線方程為X=-：,若C上有一

點A位于第一象限，且點A到拋物線焦點的距離為|,則點A的坐標為.

真題展臺

l.［2022?全國乙卷］設(shè)F為拋物線Cy2=4x的焦點，點A在C上，點8(3,0),若HQ

=?BF］,則HBI=()

A.2B.2√2

C.3D.3√2

2.［2021?新高考I卷］已知O為坐標原點，拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F,P為C

上一點，PF與X軸垂直，。為X軸上一點，且PQLOP,若尸Q∣=6,則C的準線方程為

3.［2021?新高考II卷］拋物線y2=2χ(p>0)的焦點到直線y=χ+l的距離為我，貝IJP=

)

A.1B.2

C.2√2D.4

第九節(jié)拋物線及其性質(zhì)

必備知識?夯實雙基

知識梳理

1.相等焦點準線

2.Fξ,O)F(-ξ,0)尸(0,柒F(0,-ξ)XTx=ly=~1y.

夯實雙基

?.(I)X(2)√(3)×(4)×

2.解析：由題意可設(shè)拋物線方程為f=2p)3>0),

貝咚=g,得P=1.

.?.拋物線的標準方程為f=2y.

故選C.

答案：C

3.解析：拋物線)2=12Λ的準線方程為X=—3.

?.?拋物線)2=12%上的點到焦點的距離等于6,

.?.根據(jù)拋物線上的點到焦點的距離等于點到準線的距離，可得所求點的橫坐標為3,

代入拋物線方程，可得γ2=36,

.?.y=±6,即所求點的坐標為(3,6)或(3,-6).

故答案為(3,6)或(3,-6).

答案：(3,6)或(3,-6)

4.解析：拋物線的標準方程為/=-4)，，

故拋物線開口向下，焦點在)，軸的負半軸上，

二焦點坐標為(0,-1).

故選C.

答案：C

5.解析：設(shè)拋物線的標準方程為V="或代入點尸(-2,3),解得％=一去

m-,所以yr-—∣x或

答案：y2=—$或x2-^y

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：(1)設(shè)動圓的圓心為C,則C到定圓A：(Λ+2)2+√≈1的圓心的距離等于

動圓的半徑r+l,而動圓的圓心到直線X=I的距離等于r,所以動圓圓心到直線x=2的距

離為r+l,根據(jù)拋物線的定義知，動圓的圓心軌跡為拋物線.

故選D.

(2)拋物線C:γ2=16x的準線方程為x=-4.

設(shè)M(X0,V0，由拋物線的定義知：IMFl=I2,即x0+4=12,

即冽=8,所以M到y(tǒng)軸的距離是8.

故選B.

(3)方程mχ-y+1—2?I=O可化為y—1=m(χ-2),

所以直線〃優(yōu)一>+1—2/〃=0恒過定點4(2,1).

因為拋物線E：)2=2pχ(p>0)的焦點坐標為F(],0),

所以￡=1,即p=2,

所以y2=4x.

過點P作PPiL準線x=-l,垂足為丹，

則IPPll=IPf],

過點A作AAlj"準線X=-1,垂足為Al,

所以∣∕?∣+∣PQ=∣∕?∣+∣PP廬∣A4∣∣=3,當且僅當A,P,4三點共線時取等號,

所以I辦∣+∣PQ的最小值為3.

故選C.

答案：(I)D(2)B(3)C

鞏固訓練1解析：(1)由定義∣MQ=xo+^=yo=6,又箔=36=2/7向，

所以36=2p(6—",解得p=6.

故選C.

(2)

由拋物線y2=4χ可知其焦點為F(l,0),

由拋物線的定義可知IPf]=XP+1,

故點P到點M(0,6)的距離與P到y(tǒng)軸的距離之和為IPM+XP=∣PM+F川一1日MFI

-I=Jl+(√3)2-l=l,

即點P到點(0,VI)的距離與P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為1.

答案：⑴C(2)1

例2解析：⑴準線方程為尸一；，所以拋物線開口向上，且戶右

得P='所以拋物線方程是f=y?

(2)雙曲線方程9一《=1,左頂點為(一3,0),

所以拋物線的焦點為(-3,0),拋物線的開口向左，≡=3,p=6,

所以拋物線方程是y2=-12x?

(3)設(shè)拋物線方程J2=2∕ZrS>0),當產(chǎn)一3時，x=白，

IAFl=R+，=5，即p2—10p+9=0,解得P=I或p=9,

拋物線方程為y1=2x或y2=18x.

設(shè)拋物線方程)2=-2px(p>0),當產(chǎn)一3時，%=—?,

\AF\=~÷2-5)解得P=I或P=9,

拋物線方程為y2=一標或V=-18x.

綜上可知，拋物線方程為V=±2x或y2=±18x.

鞏固訓練2解析：(1)點P(2,〃。到y(tǒng)軸的距離是到焦點距離的一半，因為點尸到y(tǒng)軸

的距離為2,所以點尸到焦點距離為4,由拋物線的定義得2+9=4,所以p=4,所以拋物

線的標準方程為y2=Sx.

故選C.

(2)對于直線方程3χ-4y—12=0,令x=0,得丫=-3；令y=0,得x=4,

所以拋物線的焦點為(0,-3)或(4,0).

當焦點為(0,-3)時，設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),貝吟=3,所以p=6,

此時拋物線的標準方程為x2=-12y.

當焦點為(4,0)時，設(shè)拋物線方程為y2=2pxS>0),貝吟=4,所以p=8,

此時拋物線的標準方程為∕=16x.

故所求拋物線的標準方程為∕=-12y或y2=]6x.

故選A.

(3)設(shè)正三角形邊長為X.由三角形的面積公式得36舊=*sin60。，解得：X=I2.

由拋物線的對稱性可知，正三角形在拋物線上的兩點關(guān)于X軸對稱，則當”>0時，三角

形的一個頂點坐標為(68，6),代入y2=Οτ得。=2遮；當α<0時，三角形的一個頂點坐標

為(一6次，6),代入y2=0r得〃=—2次.

綜上，α=÷2√3.

所以拋物線的標準方程為∕=±2√3x.

答案：(I)C(2)A(3)∕=÷2√3x

例3解析I(DF(1,0),

設(shè)A(〃z,〃)，則IAfl=m+1=5,

??m=4,??n~~±4,

?'?SΔAOF~~×1X4=2.

故選A.

(2)如圖所示：

設(shè)P燎，阿，則陷欄=4.①

又在Rt?AMF中，ZAFM=ZFAP=60o,

故tanNAFM=黑=四=但②

∣MF∣p

聯(lián)立①(②式，得p=2,IM=2√5?

故焦點坐標為(1,0),點P的橫坐標為必=5=3.

答案：⑴A(2)(1,0)3

鞏固訓練3解析：(1)由拋物線C:γ2=4x,可知F(l,0),即IOFI=