時平行四邊形的對角線的特征

1811平行四邊形的性質(zhì)第十八章平行四邊形

導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)學(xué)練優(yōu)八年級數(shù)學(xué)下（RJ）教學(xué)課件第2課時平行四邊形的對角線的特征學(xué)習(xí)目標1掌握平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)；（重點）2經(jīng)歷對平行四邊形性質(zhì)的猜想與證明的過程，滲透轉(zhuǎn)化思想，體會圖形性質(zhì)探究的一般思路（難點）導(dǎo)入新課一位飽經(jīng)滄桑的老人，經(jīng)過一輩子的辛勤勞動，到晚年的時候，終于擁有了一塊平行四邊的土地，由于年邁體弱，他決定把這塊土地分給他的四個孩子，他是這樣分的：當(dāng)四個孩子看到時，爭論不休，都認為自己分的地少，同學(xué)們，你認為老人這樣分合理嗎為什么情景引入講授新課平行四邊形的對角線的性質(zhì)一我們知道平行四邊形的邊角這兩個基本要素的性質(zhì)，那么平行四邊形的對角線又具有怎樣的性質(zhì)呢ABCDO如圖，在□ABCD中，連接AC,BD,并設(shè)它們相交于點OOA與OC,OB與OD有什么關(guān)系猜一猜OA=OC,OB=OD怎樣證明這個猜想呢？已知：如圖,□ABCD的對角線AC、BD相交于點O求證：OA=OC，OB=OD證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC,∴∠1=∠2，∠3=∠4,∴△AOD≌△COB（ASA）,∴OA=OC，OB=ODACDBO3241證一證ACDBO平行四邊形的對角線互相平分平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用格式：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD歸納總結(jié)例1已知ABCD的周長為60cm，對角線AC、BD相交于點O，△AOB的周長比△DOA的周長長5cm，求這個平行四邊形各邊的長．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC∵△AOB的周長比△DOA的周長長5cm，∴AB－AD＝5cm又∵ABCD的周長為60cm，∴AB＋AD＝30cm，則AB＝CD＝,AD＝BC＝平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形的周長之差等于鄰邊邊長之差．歸納【變式題】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，平行四邊形ABCD的周長是100cm，△AOB與△BOC的周長的和是122cm，且AC:DB=2:1，求AC和BD的長．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，OB=OD，∴ABBC=50∵△AOB與△BOC的周長的和是122cm，∴OAOBABOBOCBC=122，即ACBD=122-50=72又∵AC:DB=2:1，∴AC=48cm，BD=24cm．例2如圖,平行四邊形ABCD中，AC、BD交于O點，點E、F分別是AO、CO的中點，試判斷線段BE、DF的關(guān)系并證明你的結(jié)論．解：BE＝DF，BE∥DF理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD,∴OE＝OF在△OFD和△OEB中，OE＝OF，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△OFD≌△OEB，∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，∴BE∥DF例3

如圖，ABCD的對角線AC,BD交于點O.點O作直線EF,分別交AB,CD于點E，F(xiàn).求證：OE=OF.ABCDFEO證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠ODF=∠OBE,∠DFO=∠BEO,∴△DOF≌△BOE（AAS）,∴AB∥CD,OD=OB,∴OE=OF思考改變直線EF的位置，OE=OF還成立嗎ABCDOEFABCDOEFABCDOEF請判斷下列圖中，OE=OF還成立么？議一議同例3易證明OE=OF還成立過平行四邊形的對角線交點作直線與平行四邊形的一組對邊或?qū)叺难娱L線相交，得到線段總相等歸納1如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，若AD=16，AC=24，BD=12，則△OBC的周長為（）A26B34C40D52練一練B2如圖，在?ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，△AOB的周長為15，AB=6，則對角線AC、BD的長度的和是（）A9B18C27D36BABCDO解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)勾股定理得∴BC=AD=8,CD=AB=10是直角三角形.又∵OA=OC,例4如圖，在ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的長，以及ABCD的面積．平行四邊形的面積二例5如圖，平行四邊形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四邊形ABCD的周長為48，DE=5，DF=10，求平行四邊形ABCD的面積解：設(shè)AB=，則BC=24-根據(jù)平行四邊形的面積公式可得5=1024-，解得=16．則平行四邊形ABCD的面積為5×16=80．已知平行四邊形的高DE，DF，根據(jù)“等面積法”及平行四邊形的性質(zhì)列方程求解歸納問題平行四邊形的對角線分平行四邊形ABCD為四個三角形，它們的面積有怎樣的關(guān)系呢？解：相等理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD∵△ADO與△ODC等底同高，∴S△ADO=S△ODC同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB還可結(jié)合全等來證喲平行四邊形的對角線分平行四邊形為四個面積相等的三角形，且都等于平行四邊形面積的四分之一相對的兩個三角形全等歸納ABCDOFE例6如圖，AC,BD交于點O，EF過點O,平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等嗎？MN解：設(shè)直線EF交AD,BC于點N,M∵AD∥BC,∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO又∵AO=CO,∴△NAO≌△MCO，∴S四邊形ANMB=S△NAOS△AOBS△MOB=S△MCOS△AOBS△MOB=S△AOBS△COB=∴S四邊形ANMB=S四邊形CMND,即平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等典例精析ABDOEFABCDOEFCABCDOEF思考如圖，AC,BD交于點O，EF過點O,平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等嗎？過對角線交點的任一條直線都將平行四邊形分成面積相等的兩部分歸納同例5易求得平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等1把一個平行四邊形分成3個三角形，已知兩個陰影三角形的面積分別是9cm2和12cm2，求平行四邊形的面積．解：（912）×2=21×2=42（cm2）答：平行四邊形的面積是42cm2．練一練2如圖，歡歡看到平行四邊形的草地中間有一水井，為了澆水的方便，歡歡建議我們經(jīng)過水井修小路，一樣可以把草地分成面積相等的兩部分，同學(xué)們，你知道聰明的歡歡是怎么分的嗎？BMC●DAO解：如圖所示．當(dāng)堂練習(xí)1如圖，□ABCD的對角線AC、BD相交于點O,且ACBD=16,CD=6,則△ABO的周長是（）A10B14C20D22BBCDAO2如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．∠ABO=∠CDOB．∠BAD=∠BCDC．AO=COD．AC⊥BDBCDAOD3在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m,則m的取值范圍是A24<m<39B14<m<62C7<m<31D7<m<12BCDAOC4如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于O，EF過點O與AD，BC分別相交于E，F(xiàn)，若AB=4，BC=5，OE=15，那么四邊形EFCD的周長為（）A16B14C12D10ADCBFEOC5如圖，平行四邊形ABCD的面積為20，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，且AE=DF，則圖中陰影部分的面積為_______．56如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，則BD的長是7如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，且AB≠AD，過O作OE⊥BD，交BC于點E若△CDE的周長為10，則平行四邊形ABCD的周長是多少？解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，BC=AD，OB=OD∵OE⊥BD，∴BE=DE∵△CDE的周長為10，∴DECECD=BECECD=BCCD=10，∴平行四邊形ABCD的周長為2×BCCD=20．8如圖，已知O是平行四邊形ABCD的對角線的交點，AC=24，BD=18，AB=16，求△OCD的周長及AD邊的取值范圍．解：由題意得OA=OC=12，OB=OD=9，CD=AB=16,∴△OCD的周長為12916=37在△ACD中，24-16＜AD＜2416，∴8＜AD＜40；在△ABD中，18-16＜AD＜1816，∴2＜AD＜34；在△AOD中，12-9＜A