國(guó)家綜合實(shí)力的數(shù)學(xué)模型

PAGE52005年美、日、法、德、中國(guó)的國(guó)家綜合實(shí)力分析組員：梅茜茜王佐奉李丹摘要一個(gè)國(guó)家的國(guó)際地位及其處理和解決國(guó)際事務(wù)的能力，主要就是看它的綜合國(guó)力。綜合國(guó)力包括政治力、經(jīng)濟(jì)力、科技力、國(guó)防力、文教力、外交力、資源力等７個(gè)方面.，其中經(jīng)濟(jì)力和科技力已經(jīng)成為決定因素。本文定量與定性相結(jié)合，設(shè)定了五個(gè)指標(biāo)，分別為：經(jīng)濟(jì)力、科技力、軍事力、資源力、社會(huì)發(fā)展。通過(guò)這五個(gè)指標(biāo)來(lái)建立層次分析模型對(duì)美國(guó)、日本、法國(guó)、德國(guó)、中國(guó)這五國(guó)的國(guó)家綜合實(shí)力進(jìn)行分析。綜合國(guó)力的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)，是一個(gè)非常復(fù)雜的問題。這是因?yàn)閲?guó)力是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，它是由許多確定的和不確定的要素決定的，實(shí)際上很難全面、準(zhǔn)確地考慮到。該模型可融合通過(guò)相互比較確定各指標(biāo)對(duì)于國(guó)家綜合實(shí)力的權(quán)重，以及五個(gè)國(guó)家對(duì)于每個(gè)指標(biāo)的權(quán)重。這些權(quán)重在人的思維過(guò)程中通常是定性的，而層次分析模型能給出得到權(quán)重的定量方法。將這些不易被量測(cè)的問題進(jìn)行定性分析與定量計(jì)算結(jié)合起來(lái)。該模型將對(duì)象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策。將通過(guò)一致性檢驗(yàn)來(lái)判斷所設(shè)定的成對(duì)比較矩陣的不一致程度是否在容許范圍內(nèi)，由組合權(quán)向量來(lái)最終得出國(guó)家綜合實(shí)力排名。評(píng)價(jià)結(jié)果得五國(guó)國(guó)家綜合實(shí)力排名為：美國(guó)、日本、法國(guó)、德國(guó)、中國(guó)。關(guān)鍵詞：層次分析法；一致性檢驗(yàn)；權(quán)向量問題重述當(dāng)今世界，國(guó)家間的經(jīng)濟(jì)摩擦、外交斗爭(zhēng)和軍事對(duì)抗等，歸根到底，也都是綜合國(guó)力的競(jìng)爭(zhēng)。綜合國(guó)力的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)，是一個(gè)非常復(fù)雜的問題。問題一：設(shè)定合適的指標(biāo)來(lái)衡量國(guó)家綜合實(shí)力。問題二：根據(jù)所提出的指標(biāo)建立能對(duì)美、日、法、德、中這五大國(guó)的國(guó)家綜合實(shí)力進(jìn)行分析判斷的數(shù)學(xué)模型。問題的提出與分析一個(gè)國(guó)家的國(guó)際地位及其處理和解決國(guó)際事務(wù)的能力，主要就是看它的綜合國(guó)力。當(dāng)今世界，國(guó)家間的經(jīng)濟(jì)摩擦、外交斗爭(zhēng)和軍事對(duì)抗等，歸根到底，也都是綜合國(guó)力的競(jìng)爭(zhēng)。綜合國(guó)力的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)，是一個(gè)非常復(fù)雜的問題。這是因?yàn)閲?guó)力是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，它是由許多確定的和不確定的要素決定的，實(shí)際上很難全面、準(zhǔn)確地考慮到。綜合國(guó)力是指一個(gè)主權(quán)國(guó)家生存和發(fā)展所擁有的全部實(shí)力及國(guó)際影響力的合力。它包括政治力、經(jīng)濟(jì)力、科技力、國(guó)防力、文教力、外交力、資源力等７個(gè)方面.其中經(jīng)濟(jì)力和科技力已經(jīng)成為決定因素。綜合來(lái)說(shuō)，現(xiàn)在一個(gè)國(guó)家的國(guó)民收入水平、軍事力量、科技水平、社會(huì)穩(wěn)定、對(duì)外貿(mào)易水平都能反映一個(gè)國(guó)家的綜合國(guó)力。因此，本論文從經(jīng)濟(jì)力、科技力、軍事力、資源力、社會(huì)發(fā)展這五個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量國(guó)家綜合實(shí)力。涉及到社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、人文等因素的決策問題時(shí)，這些因素通常不易定量地量測(cè)，我們?cè)噲D通過(guò)層次分析法將這些不易被量測(cè)的問題進(jìn)行定性分析與定量計(jì)算結(jié)合起來(lái)。將國(guó)家綜合實(shí)力視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策，即系統(tǒng)分析。本文設(shè)計(jì)了五個(gè)指標(biāo)，建立國(guó)家綜合實(shí)力分析的層次結(jié)構(gòu)。根據(jù)美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家T.L.Saaty教授于70年代初期提出的一種簡(jiǎn)單，靈活而又實(shí)用的多準(zhǔn)則決策方法，建立層次分析模型。該模型可融合可通過(guò)相互比較確定各指標(biāo)對(duì)于國(guó)家綜合實(shí)力的權(quán)重，以及五個(gè)國(guó)家對(duì)于每個(gè)指標(biāo)的權(quán)重。這些權(quán)重在人的思維過(guò)程中通常是定性的，而層次分析模型能給出得到權(quán)重的定量方法。需要展開的工作如下：任務(wù)一：得出經(jīng)濟(jì)力、科技力、軍事力、資源力、社會(huì)發(fā)展對(duì)外貿(mào)易對(duì)國(guó)家綜合了1~9尺度的含義：表3-21~9尺度的含義尺度含義1的影響相同3的影響稍強(qiáng)5的影響強(qiáng)7的影響明顯強(qiáng)9的影響絕對(duì)的強(qiáng)2,4,6,8的影響之比在上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間1,1/2,…,1/9與的影響之比為上面的反函數(shù)3.3.3成對(duì)比較矩陣的最大特征根和特征向量的實(shí)用算法(即求權(quán)向量)眾所周知，用定義計(jì)算矩陣的特征很和特征向量是相當(dāng)困難的，另一方面，因?yàn)槌蓪?duì)比較矩陣是通過(guò)定性比較得到的比較粗糙的量化結(jié)果，對(duì)它做精確計(jì)算是不必要的，所以完全可以用簡(jiǎn)便的近似方法計(jì)算其特征很和特征向量。本文使用和法來(lái)進(jìn)行計(jì)算。其計(jì)算步驟為：Step1:將A的每一列向量歸一化得Step2:對(duì)按行求和得Step3:將歸一化，即為近似特征向量。Step4:計(jì)算，作為最大特征根的近似值。這個(gè)方法實(shí)際上是將A的列向量歸一化后去平均值，作為A的特征向量。因?yàn)楫?dāng)A為一致陣時(shí)它的每一列向量都是特征向量，所以若A的不一致性不嚴(yán)重，則取A的列向量（歸一化后）的平均值作為近似特征向量是合理的。用同樣的辦法來(lái)求得成對(duì)比較矩陣的權(quán)向量以及最大特征根(k=1,2,3,4,5)。3.3.4一致性檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣通常不是一致陣，但是為了能用它的對(duì)應(yīng)于特征根的特征向量作為比較因素的權(quán)向量，現(xiàn)求出其不一致程度的容許范圍。當(dāng)比5(5是A的階數(shù))大得越多，A的不一致程度越嚴(yán)重，用特征向量作為權(quán)向量引起的判斷誤差越大。因而可以用-5數(shù)值的大小來(lái)衡量A的不一致程度。其步驟為：Step1：計(jì)算判斷成對(duì)比較矩陣一致性指標(biāo)CI：(5是A的階數(shù))Step2：計(jì)算一致性率CR：當(dāng)CR<0.1時(shí)認(rèn)為A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量。否則就認(rèn)為成對(duì)比較矩陣一致性太差，必須重新進(jìn)行兩兩比較判斷。這里RI是隨機(jī)一致性指標(biāo)，上面我們已經(jīng)指出當(dāng)比較的因素越多也就是兩兩比較矩陣維數(shù)越大時(shí)，判斷的一致性就越差，故應(yīng)放寬對(duì)高維兩兩比較矩陣一致性的要求，于是就引入修正值RI表3-3隨機(jī)一致性指標(biāo)RI的數(shù)值n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51用同樣的求得的一致性指標(biāo),(k=1,2,3,4,5)，并判斷其是否一致性檢驗(yàn)。3.3.5計(jì)算組合權(quán)向量目標(biāo)層只有一個(gè)因素，準(zhǔn)則層和方案層分別有5,5個(gè)因素，記準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)向量，方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)向量分別為：以為列向量構(gòu)成矩陣則方案層對(duì)目標(biāo)層的組合權(quán)向量為3.3.6組合一致性檢驗(yàn)在應(yīng)用層次分析法作重大決策時(shí)，除了對(duì)每個(gè)成對(duì)比較矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)之外，還常需要一致性檢驗(yàn)，以確定組合權(quán)向量是否可以作為最終的決策依據(jù)。組合一致性檢驗(yàn)可逐層進(jìn)行。若第p層得一致性指標(biāo)為(n為第p-1層因素的數(shù)目)，隨機(jī)一致性指標(biāo)為，定義則第p層的組合一致性比率為，p=3,4,…,s方案層對(duì)目標(biāo)層的組合一致性比率為當(dāng)<0.1時(shí)，才認(rèn)為整個(gè)層次的比較判斷通過(guò)一致性檢驗(yàn)。4層次分析模型的求解與分析4.1構(gòu)造成對(duì)比較矩陣表4-12005年各國(guó)各指標(biāo)排名經(jīng)濟(jì)力科技力軍事力資源力社會(huì)發(fā)展美國(guó)325117181891547559日本21581111806216416法國(guó)1588994814201419德國(guó)1762854623191419德國(guó)1321512508483307構(gòu)造準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較矩陣：A=構(gòu)造方案層對(duì)于準(zhǔn)則層的成對(duì)比較矩陣：B1=B2=B3=B4=B5=4.2計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)通過(guò)MATLAB計(jì)算得：成對(duì)比較矩陣A的最大特征根：=5.217準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)向量：一致性指標(biāo)：=0.054一致性檢驗(yàn)：=0.048<0.1由此可知：成對(duì)比較矩陣A的不一致程度在容許范圍內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量。4.3計(jì)算組合權(quán)向量并作組合一致性檢驗(yàn)由第三層的成對(duì)比較矩陣計(jì)算出權(quán)向量，最大特征根和一致性指標(biāo)，結(jié)果列入下表：表4-2k123450.3230.3310.4070.2800.2630.2140.2140.1740.1820.1960.1580.1940.1750.1240.1980.1740.1620.1340.1180.1980.1310.0990.1200.2960.1465.0015.0065.0055.1485.00400.0020.0010.0040.00100.0010.0010.0320由此表可知：成對(duì)比較矩陣的不一致程度在容許范圍內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量。方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)向量為：得==（0.330,0.220,0.175,0.163,0.133）=0.001=1.12方案層的組合一致性比率為：=0.001=0.049<0.1由此可知，該模型的整個(gè)層次的比較判斷通過(guò)一致性檢驗(yàn)。同時(shí)，前面所得到的組合權(quán)向量可以作為最終決策依據(jù)。4.4模型分析由=可知2005年美、中、法、德、日這五大國(guó)的國(guó)家綜合實(shí)力排名為：美國(guó)、日本、法國(guó)、德國(guó)、中國(guó)。5模型評(píng)價(jià)層次分析模型計(jì)算簡(jiǎn)便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題。如果時(shí)間充分，可以把指標(biāo)更加細(xì)化，找到跟多的數(shù)據(jù)，這樣得出的模型結(jié)果更加具有說(shuō)服力。6.參考文獻(xiàn)[1]姜啟源謝金星葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2003年[2]王蓮芬許樹柏，層次分析法引論，北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1990年附錄代碼：Mywork.mclearclcA=[12241;%準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較矩陣1/21132;1/21132;1/41/31/311/3;11/21/231];n=size(A,1);[r1,w1,cr1]=rw(A)B1=[1.001.512.051.852.46;%B1至B5是方案層對(duì)準(zhǔn)則層的成對(duì)0.661.001.361.221.63;比較矩陣0.490.741.000.921.20;0.540.821.091.001.33;0.410.610.830.751.00];B2=[1.001.551.732.013.36;0.651.001.121.302.17;0.580.891.001.261.94;0.500.770.791.001.67;0.300.460.520.601.00];B3=[1.002.352.323.043.72;0.431.000.991.291.59;0.431.011.001.311.60;0.330.780.761.001.23;0.270.630.630.811.00];B4=[1.000.812.722.861.13;1.231.001.121.180.47;0.370.891.001.050.42;0.350.850.951.000.400.882.132.382.501.00];B5=[1.001.341.331.331.82;0.751.000.990.991.36;0.751.011.001.001.36;0.751.011.001.001.36;0.550.740.740.741.00];[r21,w21,cr21]=rw(B1)[r22,w22,cr22]=rw(B2)[r23,w23,cr23]=rw(B3)[r24,w24,cr24]=rw(B4)[r25,w25,cr25]=rw(B5)CR=cr21+cr22+cr23+cr24+cr25;ifCR<0.1*n*0.5disp('OK'