2024屆合肥市高三數(shù)學(xué)“九省聯(lián)考”考后適應(yīng)性測(cè)試卷附答案解析

屆合肥市高三數(shù)學(xué)“九省聯(lián)考”考后適應(yīng)性測(cè)試卷2024.02題型為8+3+3+5模式一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為4，10，那么數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為（

）A．， B．1， C．， D．，2．已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．在等比數(shù)列中，，則（

）A．-4 B．8 C．-16 D．164．已知表示兩條直線，表示平面，下列命題中正確的有（

）①若，且，則；②若相交且都在平面外，，則；③若，則；④若，且，則．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．加強(qiáng)學(xué)生心理健康工作已經(jīng)上升為國(guó)家戰(zhàn)略，為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，W區(qū)心理協(xié)會(huì)派遣具有社會(huì)心理工作資格的3位專家去定點(diǎn)幫助5名心理特異學(xué)生.若要求每名學(xué)生只需一位專家負(fù)責(zé)，每位專家至多幫助兩名學(xué)生，則不同的安排方法共有（

）種A．90 B．125 C．180 D．2436．平行四邊形中，，，，，則的值為(

)A．10 B．12 C．14 D．167．已知，求（

）A． B． C． D．8．已知，，，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．的最小正周期為B．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象D．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱10．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．B．C．D．若關(guān)于的方程的一個(gè)根為，則11．設(shè)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)和滿足，，為奇函數(shù)，且.則下列選項(xiàng)中正確的有（）A．為偶函數(shù)B．為周期函數(shù)C．存在最大值且最大值為D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．13．在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是，它的外接球表面積的最小值為.14．設(shè)且，若對(duì)都有恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，研究函數(shù)在上的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)．16．一個(gè)骰子各個(gè)面上分別寫有數(shù)字，現(xiàn)拋擲該股子2次，記第一次正面朝上的數(shù)字為，第二次正面朝上的數(shù)字為，記不超過(guò)的最大整數(shù)為．(1)求事件“”發(fā)生的概率，并判斷事件“”與事件“”是否為互斥事件；(2)求的分布列與數(shù)學(xué)期望．17．如圖，四邊形是圓柱的軸截面，圓柱的側(cè)面積為，點(diǎn)在圓柱的底面圓周上，且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值.18．已知雙曲線與直線：（）有唯一的公共點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，在第一象限.(1)探求參數(shù)，滿足的關(guān)系式；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，證明：.19．已知數(shù)列為有窮正整數(shù)數(shù)列.若數(shù)列A滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列A為m的k減數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).(1)寫出所有4的1減數(shù)列；(2)若存在m的6減數(shù)列，證明：；(3)若存在2024的k減數(shù)列，求k的最大值.1．D【分析】利用平均數(shù)與方差的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為和，則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，得，，故選：D．2．D【分析】由橢圓方程特點(diǎn)可求范圍.【詳解】由題意得，，解得.故選：D.3．C【分析】設(shè)出公比，結(jié)合兩等式左邊兩項(xiàng)的內(nèi)在聯(lián)系,直接求得公比，再結(jié)合所求式分子分母項(xiàng)的內(nèi)在聯(lián)系,化簡(jiǎn)成公比的乘方式，直接代入即得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，.故選:C.4．A【分析】根據(jù)線面平行和面面平行逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于①，若，且，則或相交，故①錯(cuò)誤；對(duì)于③和④，與也可能相交，均錯(cuò)誤；對(duì)于②，設(shè)相交確定平面，根據(jù)線面平行的判定定理知，根據(jù)平行平面的傳遞性得知．故選：A．5．A【分析】根據(jù)已知對(duì)五位同學(xué)分3組，然后全排列即可求解.【詳解】根據(jù)題意，具有社會(huì)心理工作資格的3位專家去定點(diǎn)幫助5名心理特異學(xué)生，要求每名學(xué)生只需一位專家負(fù)責(zé)，每位專家至多幫助兩名學(xué)生，則把五位同學(xué)分3組，且三組人數(shù)為2、2、1，然后分配給3位專家，所以不同的安排方法共有種.故選：A．6．D【分析】以作為基底，得，代入數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅沃?，，，，，所以?故選：D.7．D【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知等式可得，再利用兩角和差的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)可得，繼而利用三角恒等變換，化簡(jiǎn)求值，即得答案.【詳解】由題意知，即，故，即，故，即，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及兩角和差的公式化簡(jiǎn)得出的表達(dá)式之后，要利用拆角的方法，繼而結(jié)合三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)求值即可.8．D【分析】利用常見(jiàn)放縮，構(gòu)造函數(shù)，判斷出，然后利用構(gòu)造從而判斷即可.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí),，所以在上單調(diào)遞增，，；，易知，.故選：D.9．AD【分析】利用圖象求函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求函數(shù)最小正周期和區(qū)間內(nèi)的值域，求出函數(shù)圖象變換后的解析式，判斷新圖象的對(duì)稱中心.【詳解】由函數(shù)圖象可知，，的最小正周期為，A選項(xiàng)正確；，，，則，由，得，所以.當(dāng)時(shí)，，，的值域?yàn)?，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)的圖象，，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D選項(xiàng)正確.故選：AD10．BD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模定義A，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷B，根據(jù)虛數(shù)單位的周期性判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法加法及復(fù)數(shù)相等判斷D.【詳解】復(fù)數(shù)，則，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，故B正確；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榈姆匠痰囊粋€(gè)根為，所以，由復(fù)數(shù)相等可知，即，故D正確.故選：BD11．AD【分析】A選項(xiàng)，兩邊求導(dǎo)得到，故，故A正確；B選項(xiàng)，構(gòu)造，求導(dǎo)得到，從而構(gòu)造，求導(dǎo)得到，求出，，結(jié)合函數(shù)奇偶性和方程思想得到，，，，從而，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，利用基本不等式求出最小值為，D選項(xiàng)，計(jì)算出.【詳解】A選項(xiàng)，由為奇函數(shù)，即，對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，根據(jù)求導(dǎo)法則，得，即，從而為偶函數(shù)，所以A正確.B選項(xiàng)，由題意知，構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)求導(dǎo)法則，得，即，于是，構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)求導(dǎo)法則，得.從而，，即，，其中為待定常數(shù).由為奇函數(shù)，得.再由，得，又，即，從而，.另由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)知，，與聯(lián)立，解得，，，.由于當(dāng)時(shí)，，故不是周期函數(shù)，所以B不正確；C選項(xiàng)，由基本不等式知，，其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即存在最小值且最小值為，所以C不正確；D選項(xiàng)，，D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】利用函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)不等式構(gòu)造函數(shù)，是高考?？碱}目，以下是構(gòu)造函數(shù)的常見(jiàn)思路：比如：若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造.12．【分析】根據(jù)分式不等式可得，由題意分析可知是的子集，根據(jù)子集關(guān)系列式求解即可.【詳解】由可得，則，解得，即，若是的充分條件，則是的子集，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13．【分析】根據(jù)余弦定理以及不等式可得，進(jìn)而可求解面積的最大值，進(jìn)而根據(jù)，即可求解高的最大值，進(jìn)而可求解體積，根據(jù)正弦定理求解外接圓半徑，即可根據(jù)球的性質(zhì)求解球半徑的最小值，即可由表面積公式求解.【詳解】由余弦定理可得,故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，故面積的最大值為，，由于，所以點(diǎn)在以為直徑的球上（不包括平面），故當(dāng)平面平面時(shí)，此時(shí)最大為半徑，故，由正弦定理可得：，為外接圓的半徑，設(shè)四面體外接球半徑為,則,其中分別為球心和外接圓的圓心，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，故外接球的表面積為,故答案為：,14．【分析】由原不等式結(jié)合基本不等式可得，再由可得，則得，然后由結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算可得，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明在，有即可.【詳解】因?yàn)榍?，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.又，所以，顯然，所以有，即恒成立，又，所以，故，所以.當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，與矛盾.下面證明：在，有，令要使，即即由知，得從而需證：即需證明：，記從而只需證：①而，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，即，因?yàn)?，所以∴在上遞增，又，∴在遞減，，遞增，，而，從而在時(shí)總有∴①式恒成立，不等式得證.綜上所述，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件結(jié)合基本不等式確定出的范圍，然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)再證明其正確性即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.15．(1)(2)在上單調(diào)遞增；1【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出，，從而可求出切線方程.（2）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出在上單調(diào)遞增．又，從而可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，，，則，故在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．16．(1)，事件“”與事件“”為互斥事件；(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）列舉出所包含的情況數(shù)，計(jì)算出，判斷出事件“”與事件“”不能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件；（2）求出的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列和數(shù)學(xué)期望值.【詳解】（1）當(dāng)取取值為時(shí)，，當(dāng)取取值為時(shí)，，當(dāng)取取值為時(shí)，，當(dāng)取取值為1，2時(shí)，，當(dāng)取取值為1時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，事件“”與事件“”不能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件；（2）的取值為，取值為，時(shí)，，取值為時(shí)，，取值為時(shí)，，取值為時(shí)，，取值為時(shí)，，取值為時(shí)，，所以的分布列為0123456所以．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）要證平面，需證①和②，而證明①，只需證明，可計(jì)算得到；要證②，需證平面，此結(jié)論易得；（2）借助于過(guò)點(diǎn)的母線和建系，求出各相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和向量，由兩平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【詳解】（1）點(diǎn)在圓柱的底面圓周上，，四邊形是圓柱的軸截面，平面，因平面平面，平面，而平面①.是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，.圓柱的側(cè)面積為，即，則，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，②.又平面，由①②可得平面.（2）

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以及過(guò)點(diǎn)與平行的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.由（1）知，平面，故是平面的一個(gè)法向量.由圖知二面角為銳角，設(shè)為，則，，即二面角的正弦值為.18．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）將直線與雙曲線方程聯(lián)立，因只有一個(gè)切點(diǎn)從而可得，從而求解.（2）將直線分別與雙曲線的兩漸近線方程聯(lián)立求出，，由（1）可求出，即，分別求出，，，從而可求解.【詳解】（1）聯(lián)立方程，整理得.由，且是雙曲線與直線的唯一公共點(diǎn)，可得，則，即為參數(shù)，滿足的關(guān)系式.

結(jié)合圖象，由點(diǎn)在第一象限，可知，且.所以，的關(guān)系式滿足.（2）由題可得雙曲線的左焦點(diǎn)，漸近線為.聯(lián)立方程，解得，即；聯(lián)立方程，解得，即.結(jié)合，且由式可變形為，解得，可得.要證，即證，即證，即證，即證.由，得.根據(jù)直線的斜率公式，，，，則，，可得，因此，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用直線與雙曲線方程聯(lián)立后利用，從而求得和點(diǎn)坐標(biāo)，然后由直線分別與雙曲線的兩漸近線聯(lián)立求出坐標(biāo)，要證，從而可求解.19．(1)數(shù)列和數(shù)列3，1(2)證明見(jiàn)解析(3)的最大值為512072【分析】（1）根據(jù)k減數(shù)列的定義，即可寫出答案；（2）根據(jù)存在的6減數(shù)列，可得，即，繼而分類討論n的取值，說(shuō)明每種情況下都有，即可證明結(jié)論；（3）分類討論數(shù)列中的項(xiàng)的情況，結(jié)合題意確定數(shù)列為的形式，從而結(jié)合設(shè)其中有項(xiàng)為2，有項(xiàng)為1，進(jìn)行求解，即可得答案.【詳解】（1）由題意得，則或，故所有4的1減數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列3，1.（2）因?yàn)閷?duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有個(gè)，且存在的6減數(shù)列，所以，得.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列中各項(xiàng)均不相同，所以.②當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以.若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，所以，不符合題意，所以.③當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以.綜上所述，若存在的6減數(shù)列，則.（3）若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等，則，若，所以數(shù)列存在大于1的項(xiàng)，若末項(xiàng)，將拆分成個(gè)1后變大，所以此時(shí)不是最大值，所以.當(dāng)時(shí)，若，交換的順序后變?yōu)?，所以此時(shí)不是最大值，所以.若，所以，所以將改為，并在數(shù)列末尾添加一項(xiàng)1，所以變大，