2024高數(shù)(非數(shù)學(xué)專業(yè))理工類競賽卷答案

PAGE1PAGE5學(xué)號:院系:高等數(shù)學(xué)競賽(理工類)試題姓名:〔2006年7月6日晚7?一二三四五六七八總分一、單項選擇題〔每題4分共20分〕1．方程在內(nèi)實根的個數(shù)為〔B〕。A.0B.1C.2D.2.假設(shè)在上連續(xù)且可導(dǎo)，，，那么有〔C〕。A.I=1B.I<1C.I≥1D.I=3．設(shè)連續(xù)，且其中是由所圍區(qū)域，那么等于〔D〕。A．；B.；C.；D.。4.設(shè)在上可積，且區(qū)域具有輪換對稱性〔即假設(shè)，那么〕，那么〔A〕。A.；B.其中為的局部區(qū)域；C.；D.以上結(jié)論均不成立。5.設(shè)函數(shù)都連續(xù)，且是非齊次線性微分方程的通解，那么〔B〕。A.是方程的解B.線性無關(guān)C.可能線性無關(guān)，也可能線性相關(guān)。D.線性相關(guān)二、填空題〔每題4分共20分〕1．設(shè)函數(shù)，那么。2．設(shè)為常數(shù)，那么a。在和之間，于是，3．。4.直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為。5．設(shè)，且數(shù)列單調(diào)，假設(shè)級數(shù)，收斂，級數(shù)是收斂還是發(fā)散？收斂。三、計算與證明題〔共50分〕1．〔10分〕求極限。解：考察級數(shù)，由正項級數(shù)的比值法，有那么級數(shù)收斂，它的和等于所求的極限，記，那么，兩式相減得故2．〔10分〕設(shè)在上由定義，且函數(shù)在上單調(diào)不減，證明函數(shù)在上連續(xù)。證明：因為單調(diào)不減，故當(dāng)時有，由此得，又因為也單調(diào)不減，故當(dāng)時有，即，故，由上所述當(dāng)時有，由夾逼定理，即可推得在處的右連續(xù)性，即，同理可推得，由此即知函數(shù)在上連續(xù)。3.〔10分〕設(shè)在上單調(diào)增加，，，證明：證：由科西不等式由于，上式左邊非負(fù)，所以兩邊平方即得4.〔10分〕設(shè)由方程給出，且都可微，證明：證明：由隱函數(shù)存在定理，得令，那么5．〔10分〕求冪級數(shù)的和函數(shù)。解：設(shè)冪級數(shù)的和函數(shù)為，易知此冪級數(shù)的收斂半徑為，又，故求解一階線性微分方程即得。四、應(yīng)用題〔10分〕設(shè)廈門笎筜湖的正常水量為V〔體積〕，國家環(huán)保指標(biāo)規(guī)定湖中所含的污染物含量不得超過m0，2024年底經(jīng)測定，湖中所含污染物的含量已經(jīng)超標(biāo)5倍?！矠橹卫砗廴?，2024年市政府對笎筜湖進行了大面積的清淤〕假設(shè)每年流入湖內(nèi)的清凈水為,流入湖內(nèi)的污水為，每年流出的湖水水量為，如果不進行清淤，從2024年初起，限定排入的污水所含污染物的濃度不得超過，問至少要經(jīng)過多少年，湖中污染物的含量才能到達國家規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)？〔設(shè)湖水中的濃度是均勻的〕解：設(shè)2024年后第t年污染物含量為m(t)，在時間[t,t+dt]段內(nèi)，排入湖中污染物的含量為，流出湖泊的水中污染物的含量為，那么在時間[t,t+