高二數(shù)學人教A版必修5學案3-4基本不等式ab≤a＋b2

3．4基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)[目標]1.了解基本不等式的代數(shù)式和幾何背景；2.會用基本不等式進行代數(shù)式大小的比較及證明不等式；3.會用基本不等式求最值和解決簡單的實際問題．[重點]基本不等式的簡單應用．[難點]基本不等式的理解與應用．知識點一兩個不等式[填一填]1．重要不等式：對于任意實數(shù)a，b，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．2．基本不等式：如果a，b∈R＋，那么eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當且僅當a＝b時，等號成立．其中eq\f(a＋b,2)為a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)為a，b的幾何平均數(shù)．所以兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．[答一答]1．不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)成立的條件有什么不同？提示：不等式a2＋b2≥2ab對任意實數(shù)a，b都成立；eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)中要求a，b都是正實數(shù)．知識點二基本不等式與最值[填一填]已知x，y都是正數(shù)，(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值．(2)若xy＝p(積為定值)，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最小值．[答一答]2．利用基本不等式求最值時，我們應注意哪些問題？提示：(1)在利用基本不等式具體求最值時，必須滿足三個條件：①各項均為正數(shù)；②含變數(shù)的各項的和(或積)必須是常數(shù)；③當含變數(shù)的各項均相等時取得最值．三個條件可簡記為：一正、二定、三相等．這三個條件極易遺漏而導致解題失誤，應引起足夠的重視．(2)記憶口訣：和定積最大，積定和最小．3．在多次使用基本不等式求最值時，我們應注意什么問題？提示：在連續(xù)多次應用基本不等式時，我們要注意各次應用時不等式取等號的條件是否一致，若不能同時取等號，則需換用其他方法求出最值．4．兩個正數(shù)的積為定值，它們的和一定有最小值嗎？提示：不一定．應用基本不等式求最值時還要求等號能取到．如sinx與eq\f(4,sinx)，x∈(0，eq\f(π,2))，兩個都是正數(shù)，乘積為定值．但是由0<sinx<1，且sinx＋eq\f(4,sinx)在(0,1)上為減函數(shù)，所以sinx＋eq\f(4,sinx)>1＋eq\f(4,1)＝5，等號不成立，取不到最小值．類型一利用基本不等式證明不等式[例1](1)已知a，b，c為不全相等的正實數(shù)，求證：a＋b＋c>eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).(2)已知a，b，c為正實數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8.[分析](1)左邊是和式，右邊是帶根號的積式之和，所以用基本不等式，將和變積，并證得不等式．(2)不等式右邊數(shù)字為8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式，可得三個“2”連乘，又eq\f(1,a)－1＝eq\f(1－a,a)＝eq\f(b＋c,a)≥eq\f(2\r(bc),a)，可由此變形入手．[證明](1)∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2eq\r(ab)>0，b＋c≥2eq\r(bc)>0，c＋a≥2eq\r(ca)>0.∴2(a＋b＋c)≥2(eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca))，即a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).由于a，b，c為不全相等的正實數(shù)，故等號不成立．∴a＋b＋c>eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).(2)∵a，b，c為正實數(shù)，且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)－1＝eq\f(1－a,a)＝eq\f(b＋c,a)≥eq\f(2\r(bc),a)，同理eq\f(1,b)－1≥eq\f(2\r(ac),b)，eq\f(1,c)－1≥eq\f(2\r(ab),c).由上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥eq\f(2\r(bc),a)·eq\f(2\r(ac),b)·eq\f(2\r(ab),c)＝8.當且僅當a＝b＝c＝eq\f(1,3)時，等號成立．1.利用基本不等式證明不等式，關鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式，通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，從而達到放縮的效果.2.注意多次運用基本不等式時等號能否取到.3.解題時要注意技巧，當不能直接利用不等式時，可將原不等式進行組合、構(gòu)造，以滿足能使用基本不等式的形式.[變式訓練1]已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.證明：因為a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9，當且僅當a＝b＝c＝eq\f(1,3)時，取等號．類型二利用基本不等式求最值[例2](1)若x>0，求f(x)＝4x＋eq\f(9,x)的最小值；(2)設0<x<eq\f(3,2)，求函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值；(3)已知x>2，求x＋eq\f(4,x－2)的最小值；(4)已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．[分析]利用基本不等式求最值，當積或和不是定值時，通過變形使其和或積為定值，再利用基本不等式求解．[解](1)∵x>0，∴由基本不等式得f(x)＝4x＋eq\f(9,x)≥2eq\r(4x·\f(9,x))＝2eq\r(36)＝12，當且僅當4x＝eq\f(9,x)，即x＝eq\f(3,2)時，f(x)＝4x＋eq\f(9,x)取最小值12.(2)∵0<x<eq\f(3,2)，∴3－2x>0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq\f(9,2).當且僅當2x＝3－2x，即x＝eq\f(3,4)時取“＝”．∴y的最大值為eq\f(9,2).(3)∵x>2，∴x－2>0，∴x＋eq\f(4,x－2)＝(x－2)＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6.當且僅當x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4時，x＋eq\f(4,x－2)取最小值6.(4)∵x>0，y>0，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)≥10＋2eq\r(9)＝16.當且僅當eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1時等號成立．即x＝4，y＝12時等號成立．∴當x＝4，y＝12時，x＋y有最小值16.求最值問題第一步就是“找”定值，觀察、分析、構(gòu)造定值是問題的突破口.找到定值后還要看“＝”是否成立，不管題目是否要求寫出符號成立的條件，都要驗證“＝”是否成立.[變式訓練2](1)已知lga＋lgb＝2，求a＋b的最小值；(2)已知x>0，y>0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．解：(1)由lga＋lgb＝2可得lgab＝2，即ab＝100，且a>0，b>0，因此由基本不等式可得a＋b≥2eq\r(ab)＝2eq\r(100)＝20，當且僅當a＝b＝10時，a＋b取到最小值20.(2)∵x>0，y>0,2x＋3y＝6，∴xy＝eq\f(1,6)(2x·3y)≤eq\f(1,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3y,2)))2＝eq\f(1,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2＝eq\f(3,2)，當且僅當2x＝3y，且2x＋3y＝6時等號成立，即x＝eq\f(3,2)，y＝1時，xy取到最大值eq\f(3,2).類型三基本不等式的實際應用[例3]特殊運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按規(guī)定限制50≤x≤100(單位：千米/時)．假設汽油的價格是每升6元，而送貨卡車每小時耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))升，司機的工資是每小時140元．(1)求這次行車總費用y關于x的表達式．(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值．[解](1)設所用時間為t＝eq\f(130,x)(小時)，y＝eq\f(130,x)×6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))＋140×eq\f(130,x)，x∈[50,100]．所以，這次行車總費用y關于x的表達式是y＝eq\f(130×152,x)＋eq\f(13x,6)，x∈[50,100]．(2)y＝eq\f(130×152,x)＋eq\f(13x,6)≥eq\f(52\r(570),3)，當且僅當eq\f(130×152,x)＝eq\f(13x,6)，即x＝4eq\r(570)∈[50,100]時，等號成立．故當x＝4eq\r(570)千米/時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為eq\f(52\r(570),3)元．解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再利用數(shù)學知識函數(shù)及不等式性質(zhì)等解決問題.用基本不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：1先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù).2建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.3在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值.4正確寫出答案.[變式訓練3]要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是160解析：設該長方體容器的長為xm，則寬為eq\f(4,x)m．又設該容器的總造價為y元，則y＝20×4＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))×10，即y＝80＋20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))(x>0)．因為x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當且僅當x＝\f(4,x)，即x＝2時取“＝”))，所以ymin＝80＋20×4＝160(元)．1．給出下列條件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的條件有(C)A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：當eq\f(b,a)，eq\f(a,b)均為正數(shù)時，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，故只須a、b同號即可．所以①、③、④均可以．2．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是(D)A．a(chǎn)2＋b2>2ab B．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析：∵a，b∈R，且ab>0，∴eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)×\f(a,b))＝2.當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b時取等號．3．設a，b為實數(shù)，且a＋b＝3，則2a＋2bA．6 B．4eq\r(2)C．2eq\r(2) D．8解析：2a＋2b≥2eq\r(2a＋b)＝2eq\r(23)＝4eq\r(2).4．已知0<x<1，則當x＝eq\f(1,2)時，x(3－3x)取最大值為eq\f(3,4).解析：3x(1－x)≤3(eq\f(x＋1－x,2))2＝eq\f(3,4)，當且僅當x＝1－x即x＝eq\f(1,2)時等號成立．5．已知a>0，b>0，c>0，求證：(1)eq\f(b＋c,a)＋eq\f(c＋a,b)＋eq\f(a＋b,c)≥6；(2)eq\f(b＋c,a)·eq\f(c＋a,b)·eq\f(a＋b,c)≥8.證明：(1)eq\f(b＋c,a