第4講 三角恒等變換

專題二

三角函數(shù)、解三角形第4講

三角恒等變換考向分析備考建議回歸教材高頻考點(diǎn)突破高考回眸限時訓(xùn)練第4講

三角恒等變換考向分析

2023年新高考全國Ⅰ卷第8題考查三角函數(shù)正弦兩角和（差）公式，余弦二倍角公式，新高考全國Ⅱ卷第7題主要考查二倍角公式，全國乙卷（文）第14題考查了弦切轉(zhuǎn)化求值的問題.三角函數(shù)恒等變換在新高考全國Ⅰ卷中一般有1道客觀題，側(cè)重考查公式的記憶與熟練使用，特別是余弦二倍角公式有3個，考查能正確選擇合適的公式解題．第4講

三角恒等變換備考建議

三角函數(shù)公式眾多，化簡方法靈活多變，復(fù)習(xí)中要熟練掌握三角恒等變換的技巧，加深對三角公式的記憶與內(nèi)在聯(lián)系的理解．第4講

三角恒等變換回歸教材

【點(diǎn)評】本題主要是考查運(yùn)用三角函數(shù)表示邊長，進(jìn)而結(jié)合兩角和與差的關(guān)系式得到結(jié)論．第4講

三角恒等變換高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一

三角函數(shù)式的求值

C

【分析】由正切二倍角公式以及兩角差的正切公式求解結(jié)果．

【點(diǎn)評】給值求角時，注意角的范圍的討論，最好選擇單調(diào)函數(shù)．

C

【點(diǎn)評】解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)目標(biāo)消元，并注意隱含條件的挖掘．

【分析】根據(jù)給定的等式，先將題中的正切化弦，再利用兩角和差的正弦公式化簡，結(jié)合角的取值范圍求值．

【點(diǎn)評】當(dāng)題中正余弦與正切同時出現(xiàn)時，一般逢切化弦．

A

ACD

【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，兩角差的余弦公式和倍角公式計算．

AC

【分析】根據(jù)切化弦再結(jié)合兩角和與差計算判斷A選項，再應(yīng)用二倍角余弦公式判斷B選項，兩角差的正切結(jié)合基本不等式可以判斷C選項，根據(jù)正切值得出角的關(guān)系判斷D選項．

［小結(jié)］1.給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題.2.給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，在進(jìn)行角的變換時常見的解題思路：（1）當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；（2）當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．3.給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角．

考點(diǎn)二

三角函數(shù)式的化簡

ABC

ABD

【分析】對于A，由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式化簡求值；對于B，由二倍角公式、誘導(dǎo)公式化簡求值；對于C，由輔助角公式化簡求值；對于D，先去括號，由兩角和的正切公式化簡即可判斷．

例9

下列選項中正確的是(

)

D

【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換判斷各選項．

3.化簡要求使三角函數(shù)式的項數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)名稱的種類最少；分式中的分母盡量不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)．考點(diǎn)三

三角恒等變換的綜合應(yīng)用

ACD

AB

【分析】運(yùn)用函數(shù)的對稱性的性質(zhì)、單調(diào)性的定義，結(jié)合特例法、二倍角的正弦公式、降冪公式逐一判斷即可．

BD

第4講

三角恒等變換高考回眸

B

【命題立意】本題考查三角函數(shù)正弦的兩角和（差）公式，余弦的二倍角公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．

D

【點(diǎn)評】利用半角公式求值的思路看角：若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則求解時常常借助半角公式求解．明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時務(wù)必依據(jù)角的范圍，求出相應(yīng)半角的范圍．

【命題立意】本題考查余弦的半角公式（升冪公式），同時考查學(xué)生的運(yùn)算處理能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).第4講

三角恒等變換限時訓(xùn)練A組

基礎(chǔ)演練

A

【分析】將所求的式子利用兩角和的正弦公式以及二倍角公式化簡，拆分成兩個齊次式求解即可．

D

D

【分析】根據(jù)輔助角公式化簡，再根據(jù)角的范圍找到和差角的關(guān)系判斷各個選項即可．

A

B

C

7.（多選）下列計算正確的是(

)

ABD

8.（多選）下列四個等式中正確的是(

)

BCD

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角差的正弦公式求得正確答案．

B組

能力提升

BC