9.6矩形的判定-2023-2024學年蘇科版八年級下冊數(shù)學尖子生同步培優(yōu)練習（含答案解析）

第9章中心對稱圖形-平行四邊形9.6矩形的判定姓名：_________班級：_________學號：_________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知平行四邊形中，添加下列條件，其中能說明平行四邊形是矩形的是A． B． C． D．平分2．下列條件中，能判定是矩形的是A． B． C． D．3．下列關于四邊形的說法，正確的是A．四個角相等的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直的四邊形是矩形 C．有兩邊相等的平行四邊形是菱形 D．兩條對角線相等的菱形是矩形4．甲、乙、丙、丁四位同學到木工廠參觀時，木工師傅拿尺子要他們幫助檢測一個窗框是否是矩形，他們各自做了如下檢測，檢測后，他們都說窗框是矩形，你認為正確的是A．甲量得窗框兩組對邊分別相等 B．乙量得窗框?qū)蔷€相等 C．丙量得窗框的一組鄰邊相等 D．丁量得窗框的兩組對邊分別相等且兩條對角線相等5．如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點，則下面條件能判斷平行四邊形是矩形的是A． B． C． D．6．如圖所示，在平行四邊形中，對角線、相交于點，下列條件不能判定平行四邊形為矩形的是A． B． C． D．7．如圖，要使成為矩形，需添加的條件是A． B． C． D．8．如圖，在平行四邊形中，、是它的兩條對角線，下列條件中，能判斷這個平行四邊形是矩形的是A． B．C． D．9．如圖，在四邊形中，已知，，，平分，若，則等于A． B． C． D．10．在等腰直角三角形中，，，點是線段上的一個動點，過點分別作、的垂線交、于點、，連接，則的最小值為A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．如圖，在平行四邊形中，若，則四邊形是____________．12．如圖，四邊形的對角線互相平分，需要添加一個條件，使它變?yōu)榫匦危闾砑拥臈l件是____________．（不要添加任何字母和輔助線）13．在四邊形中，對角線，交于點且，互相平分，若添加一個條件使得四邊形是矩形，則這個條件可以是____________（填寫一個即可）．14．在四邊形中，有以下四個條件：①；②；③；④．從中選取三個條件，可以判定四邊形為矩形．則可以選擇的條件序號是____________．15．已知，，小明按如下步驟作圖，①以為圓心，長為半徑作弧，以為圓心，長為半徑作弧，兩弧相交于點；②連接，，則四邊形為____________．16．已知平面上四點，，，，直線將四邊形分成面積相等的兩部分，則的值為____________．17．如圖，在矩形中，，，點從點向點以每秒的速度運動，以每秒的速度從點出發(fā)，在、兩點之間做往返運動，兩點同時出發(fā)，點到達點為止（同時點也停止），這段時間內(nèi)，當運動時間為____________時，、、、四點組成矩形．18．如圖，在中，，，，是上一動點，過點作于點，于點，連接，則線段的最小值是____________．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．如圖，在菱形中對角線、交于點，過點作于點，將沿方向平移，使點落到點處，點落到點處．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求的長．20．如圖，在中，，是中點，過點作，使．（1）求證：四邊形是矩形；（2）取中點，作，交于點，若，，求的長．21．如圖，在菱形中，對角線，相交于點．過點作，過點作交于點．（1）求證四邊形是矩形；（2）若，，求四邊形的面積．22．已知的三邊，，，如圖，為邊上一動點，于點，于點．（1）求證：四邊形是矩形；（2）在點的運動過程中，的長度是否存在最小值？若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．23．如圖，已知點，，在同一直線上，，分別是與的平分線，，，垂足分別為，，連接交于點．（1）求證：四邊形是矩形．（2）猜想與的位置關系，并證明你的結論．24．如圖，在四邊形中，、相交于點，，，．（1）如圖1，求證：四邊形為矩形；（2）如圖2，是邊上任意一點，，，、分別是垂足，若，，求的值．參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1、C【分析】根據(jù)矩形的判定定理和菱形的判定定理分別對各個選項進行判斷即可．【解析】、四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故本選項不符合題意；、四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故本選項不符合題意；、四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，故本選項符合題意；、四邊形是平行四邊形，，，平分，，，，平行四邊形是菱形，故本選項不符合題意；故選：．2、A【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解析】、中，，是矩形，故選項符合題意；、中，，不能判定是矩形，故選項不符合題意；、中，，不能判定是矩形，故選項不符合題意；、中，，是菱形，故選項不符合題意；故選：．3、D【分析】根據(jù)菱形的判斷方法、矩形的判斷方法逐項分析即可．【解析】、四個角相等的四邊形是矩形，說法錯誤，不符合題意；、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，說法錯誤，不符合題意；、有兩邊相等的平行四邊形不一定是菱形，說法錯誤，不符合題意；、兩條對角線相等的菱形是正方形，也是矩形，說法正確，符合題意；故選：．4、D【分析】矩形的判定定理有：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．據(jù)此判斷．【解析】、兩組對邊相等可以為正方形，平行四邊形，菱形，矩形等，所以甲錯誤；、對角線相等的圖形有正方形，菱形，矩形等，所以乙錯誤；、鄰邊相等的圖形有正方形，菱形，所以丙錯誤；、根據(jù)矩形的判定（矩形的對角線平分且相等），故正確．故選：．5、A【分析】矩形的判定定理有：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．據(jù)此分析判斷．【解析】選項是對角線相等，可判定平行四邊形是矩形．而、、不能．故選：．6、C【分析】本題考查的是矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)有關知識，利用矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)對選項進行逐一判斷即可解答．【解析】．根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形為矩形，故此選項不符合題意；．根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形為矩形，故此選項不符合題意；．不能判定平行四邊形為矩形，故此選項符合題意；．平行四邊形中，，，又，，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形為矩形，故此選項不符合題意．故選：．7、B【分析】根據(jù)一個角是的平行四邊形是矩形進行選擇即可．【解析】、，鄰邊相等，可判定平行四邊形是菱形，不符合題意；、一內(nèi)角等于，可判斷平行四邊形成為矩形，符合題意；、對角線互相垂直，可判定平行四邊形是菱形，不符合題意；、對角線平分對角，可判斷平行四邊形成為菱形，不符合題意；故選：．8、D【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解析】、，能判定四邊形是菱形，不能判斷四邊形是矩形；、，不能判斷四邊形是矩形；、，能判定四邊形是菱形，不能判斷四邊形是矩形；、，能得出對角線相等，能判斷四邊形是矩形；故選：．9、B【分析】過作交的延長線于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，推出是等腰直角三角形，得到，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【解析】過作交的延長線于，，平分，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，故選：．10、B【分析】首先證明四邊形是矩形，可得，根據(jù)垂線段最短即可解決問題；【解析】，，，四邊形是矩形，，當時，的值最小，此時，，，，的最小值為3，故選：．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的判定可得，可得，由矩形的判定可得平行四邊形是矩形．【解析】四邊形是平行四邊形，，，，，，平行四邊形是矩形，故答案為矩形．12．【分析】由四邊形的對角線互相平分，可得出四邊形為平行四邊形，再由矩形的判定方法即可得出答案．【解析】四邊形的對角線互相平分，四邊形為平行四邊形，添加條件：或或或或時，四邊形是矩形；故答案為：或或或或．13．【分析】因為在四邊形中，對角線與互相平分，所以四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定條件，可得在不添加任何輔助線的前提下，要使四邊形成為矩形，還需添加一個條件，這個條件可以是一個角是直角或者對角線相等，從而得出答案．【解析】對角線與互相平分，四邊形是平行四邊形，要使四邊形成為矩形，需添加一個條件是：或有個內(nèi)角等于90度．故答案為：或有個內(nèi)角等于90度．14．【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定定理即可得到結論．【解析】當具備①③④這三個條件，能得到四邊形是矩形．理由如下：，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形；故答案為：①③④．15．【分析】直接利用基本作圖方法得出四邊形是平行四邊形，進而利用矩形的判定方法得出答案．【解析】四邊形為矩形．理由：，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是矩形．故答案為：矩形．16．【分析】根據(jù)、、、四點坐標得到四邊形為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)當直線過矩形的對角線的交點時，直線把矩形的面積分成相等的兩部分，然后把中點坐標代入即可計算出的值．【解析】點，，，，四邊形為矩形，直線將四邊形分成面積相等的兩部分，直線過矩形的對角線的交點，而矩形的對角線的交點坐標為，，．故答案為．17．【分析】根據(jù)已知可知：當點到達點時，點將由運動，根據(jù)矩形的性質(zhì)列方程即可得到結論．【解析】根據(jù)已知可知：當點到達點時，點將由運動，四邊形是矩形，，，，若，則四邊形是矩形，由題意得，當時，，，，當時，，，，當時，，，；當時，，，，此時與重合，無法構成矩形，故舍去，故答案為：或或．18．【分析】連接，利用勾股定理列式求出，判斷出四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得，再根據(jù)垂線段最短可得時，線段的值最小，然后根據(jù)三角形的面積公式列出求解即可．【解析】如圖，連接．，，，，，，，四邊形是矩形，，由垂線段最短可得時，線段的值最小，此時，，即，解得：，．故答案為：．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．【分析】（1）由平移的性質(zhì)得：，，則四邊形是平行四邊形，再證，即可得出平行四邊形是矩形；（2）由勾股定理求出，再由菱形的性質(zhì)得，，，，設，則，在再，由勾股定理得，解得，則，然后由勾股定理求出，即可求解．【解答】（1）證明：由平移的性質(zhì)得：，，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形是矩形；（2）解：由（1）得：四邊形是矩形，，，四邊形是菱形，，，，，設，則，在再，由勾股定理得：，解得：，，在中，由勾股定理得：，．20．【分析】（1）先由已知條件證得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證得，即可得到四邊形是矩形；（2）連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，設，則，在中，根據(jù)勾股定理求出，即可得到．【解答】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，，是中點，，，四邊形是矩形；（2）解：連接，是的中點，，，四邊形是矩形，，，，，設，則，四邊形是矩形，，在中，，，，即．21．【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得，則，即可得出結論；（2）由菱形的性質(zhì)得，，，，再證是等邊三角形，得，則，然后由勾股定理得，即可求解．【解答】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，平行四邊形為矩形；（2）解：四邊形是菱形，，，，，，是等邊三角形，，，，由（1）可知，四邊形是矩形，矩形的面積．22．【分析】（1）由勾股定理的逆定理求出，即可得出結論；（2）連接，當時最短，結合矩形的兩對角線相等和面積法即可得出結果．【解答】（1）證明：，，于點，于點，，，四邊形是矩形；解：（2）存在，理由如下：連接，如圖所示：四邊形是矩形，，當時最短，此時，，即：，解得：，的長