2023屆初升高數(shù)學銜接講義第七講 集合間的基本關系（講義）含解析

2023隼新高中新接素養(yǎng)理升專理辨義

第七講集合間的基本關系(精講)(原卷版)

【知識點透析】

一、子集與真子集的定義與表示

1、子集：如果集合4中的任意一個元素都是集合6的元素，那么集合｛叫做集合6的子集,

記作/憶次或做A),讀作aA包含于6”(或“8包含A").

2、真子集：如果集合力是集合6的子集，并且6中至少有一個元素不屬于4那么集合/

叫做集合6的真子集。記作4^6或(￡34)

【注意】

(1)子集是刻畫兩個集合之間關系的，它反映的是局部與整體之間的關系(而元素與集合之

間的關系是個體與整體之間的關系).

(2)并不是任意兩個集合之間都具有包含關系.

例如：∕=｛1,2｝,8=｛1,3｝,因為2∈4,但2陣8,所以/不是6的子集；

同理，因為3C8,但344所以8也不是4的子集.

二、空集

1、定義：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為0,

并規(guī)定：空集是任何集合的子集.

在這個規(guī)定的基礎上，結合子集和真子集的有關概念，可以得到：

(1)空集只有一個子集，即它本身：

(2)空集是任何非空集合的真子集.

2、0,｛0｝,0,｛。｝的關系

。與O__________0與{0}___________0與｛。｝

都表示無

相同點都是集合都是集合

的意思

0是集合；。中不含任何元素；。不含任何元素;

不同點

O是實數(shù)｛0｝含一個元素O｛。｝含一個元素，該元素是0

關系0$00≠{0}0≠{0}或Qe同

三、子集的性質

(1)規(guī)定：空集是任意一個集合的子集.也就是說，對任意集合4都有。=4

(2)任何一個集合4都是它本身的子集，即/U4

(3)如果HU5,醫(yī)G則IUC

(4)如果？￠6,i?G則A^C

【注意】空集是任何集合的子集，因此在解/IU6(回。)的含參數(shù)的問題時，要注意討論1

=0和/No兩種情況，前者常被忽視1,造成思考問題不全面.

四、子集的個數(shù)

如果集合A中含有n個元素，則有

(1)/的子集的個數(shù)有2"個.

(2)4的非空子集的個數(shù)有2"—1個.

(3)4的真子集的個數(shù)有2"—1個.

（4）/的非空真子集的個數(shù)有2"—2個.

五、韋恩圖

在數(shù)學中，我們經(jīng)常用平面上的封閉曲線的內(nèi)部表示集合，這種圖叫做Venn圖。

【注意】

（1）表示集合的韋恩圖是是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線。

（2）維恩圖的有點是形象直觀，缺點是公共特征不明顯，畫圖時要注意區(qū)分大小關系。

【知識點精講】

題型一集合間關系的判斷

【例題1】.（2022?四川綿陽高一單元測試）已知集合4=?2-2x=θ},則下列選項中說法

不正確的是（）

A.0?AB.-2GAC.{θ,2}?AD.A?∣γ∣y<3}

【例題2】.（2022?山東泰安高一檢測）己知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},集合A與B

的關系如圖所示，則集合B可能是（）

A.{2,4,5}B.{1,2,5}C.{1,6}D.{1,3}

【變式1］（2022?寶雞市高一檢測模擬）已知集合A={x∣x≥-2},B≈{x∣-2<x≤l},則下

列關系正確的是（）

A.A=BB.AcBC.BcAD.AB=0

【變式2］（2022?山東濟寧模擬）已知集合A={x∣x>l},則下列關系中正確的是（）

A.0?AB.{0}?AC.0?ΛD.{0）∈A

題型二子集、真子集、空集的概念

【例3】（2022?南京市第十三中學高一月考）已知集合A={x∣xeN，-χ2+χ+2N0},則集合

A的真子集個數(shù)為（）

A.16B.15C.8D.7

【例題4】.（2022?河南鄭州高一期末）定義A*8={Z∣Z=ΛV+1,X∈A,yeβ）,設集合A

={0,1},集合8={1,2,3},則A*B集合的真子集的個數(shù)是（）

A.14B.15C.16D.17

【例5】（2023?渝中?重慶巴蜀中學高三月考）已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2,3},非空集合P

滿足：（1）P?M；（2）若XeP,則一XeP,則集合戶的個數(shù)是（）

A.7B.8C.15D.16

【變式1］（2023?江蘇無錫高一專題檢測）已知集合{1,2}qAg{1,2,3,4,5,6},則滿足條件

的A的個數(shù)為（)

A.16B.15C.8D.7

【變式2］（2022?福建省南安市柳城中學高一月考）已知集合A=卜卜€(wěn)乂急€吊，則集合

A的真子集個數(shù)為（）

A.32B.4C.5D.31

題型三與空集有關的問題

【例題6】.（2022?湖北武漢一中高一期中）以下四個選項中，所表示的集合不是空集的是

A.0B.{0}C.{xeR*-x+l=θ}D.{x∣y=Jx-3+j2-x}

【例7】（2023?江蘇高一專題練習）已知集合A={x∣-3≤x≤4},B={x∣2m-l<x<m+l},且

8tA,則實數(shù)m的取值范圍是.

【變式1］（2022?陜西寶雞高一課時練習）下列命題：

①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④若0θA,

則.其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【變式2］（2022?銀川一中高一課時練習）下列四個集合中，是空集的是（）

A.{x∣x+3=3}B.{（x,y）∣y2=-V,x,yeR}

C.卜*40}D.∣x∣x2-x+l=0,x≡/?}

題型四集合關系的應用

【例8】.（2020?廣西?象州縣中學高一階段檢測）已知A=k-+5x-6=θ},

8={x∣χ2+pχ+q=o},B=A,且8不是空集，

（1）求集合8的所有可能情況；（2）求。、4的值.

【例9】.(2021?河北保定高一檢測)設X,yeR,集合A=[3,x2+xy+y},B={l,x2+Λy+x-3),

且A=B,求實數(shù)％y的值

【例題10］.（2022?江蘇常州高一月考）設集合A={x∣-l≤x≤6},B^{x?m-?≤x<2m+?},

且3口A.

⑴求實數(shù)小的取值范圍；（2）當x∈N時?，求集合A的子集的個數(shù).

【變式1】.（2022?銀川一中高一課時檢測）已知集合M={1,4,x},N={l,d},若N=M,

則實數(shù)X組成的集合為（

A.{θ}B.{-2,2}C.{-2,0,2}D.{-2,0,1,2)

【變式2].（2020?曲靖市關工委麒麟希望學校高一期中）已知M={x∣-2≤rW5},N={x∣

a+↑<x≤2a-?}.

（1）若MJN,求實數(shù)。的取值范圍；（2）若M垃N,求實數(shù)。的取值范圍.

題型五：根據(jù)集合的相等關系求參數(shù)

【例題11].（2023?山西大同高三專題模擬）已知集合M={1,0},則與集合M相等的集合

為（）

fx-y=-ll,-----,-----

A.<（x,y）<B.{（x,y）ly=?∣x-}+√l-x）

Ix+y=?J?

[I（-1）M-1Jf.nπ」

C.↑x?x=----------,n∈/V>D.<yy=sm——,nwN

?I2∫1-2∫

【例12】（2022?四川綿陽高一專題練習）

（1）已知集合人=,+1。+^,“—…},當1∈A,求2020"的值；

（2）已知集合A={x∣l<x<2019},8={x∣x<4},若Agb,求實數(shù)”的取值范圍.

【變式1].（2022?江蘇高一檢測）已知集合?，1}與集合{“2,a+h,0}是兩個相等的集合，

求a2020+b2020的值

【變式2】.（2023?湖北武漢高一檢測）（1）已知集合A={jφnχ2-2r+3=0,m∈R）,若A

有且只有兩個子集，求〃?的值.

(2)若4,?∈R,集合{l,α+6,α}=,求Z;-4的值.

2023隼新高中新接素養(yǎng)理升專理辨義

第七講集合間的基本關系(精講)(解析版)

【知識點透析】

一、子集與真子集的定義與表示

1、子集：如果集合4中的任意一個元素都是集合6的元素，那么集合｛叫做集合6的子集,

記作/憶次或做A),讀作aA包含于6”(或“8包含A").

2、真子集：如果集合力是集合6的子集，并且6中至少有一個元素不屬于4那么集合/

叫做集合6的真子集。記作4^6或(￡34)

【注意】

(1)子集是刻畫兩個集合之間關系的，它反映的是局部與整體之間的關系(而元素與集合之

間的關系是個體與整體之間的關系).

(2)并不是任意兩個集合之間都具有包含關系.

例如：∕=｛1,2｝,8=｛1,3｝,因為2∈4,但2陣8,所以/不是6的子集；

同理，因為3C8,但344所以8也不是4的子集.

二、空集

1、定義：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為0,

并規(guī)定：空集是任何集合的子集.

在這個規(guī)定的基礎上，結合子集和真子集的有關概念，可以得到：

(1)空集只有一個子集，即它本身：

(2)空集是任何非空集合的真子集.

2、0,｛0｝,0,｛。｝的關系

。與O__________0與{0}___________0與｛。｝

都表示無

相同點都是集合都是集合

的意思

0是集合；。中不含任何元素；。不含任何元素;

不同點

O是實數(shù)｛0｝含一個元素O｛。｝含一個元素，該元素是0

關系0$00≠{0}0≠{0}或Qe同

三、子集的性質

(1)規(guī)定：空集是任意一個集合的子集.也就是說，對任意集合4都有。=4

(2)任何一個集合4都是它本身的子集，即/U4

(3)如果HU5,醫(yī)G則IUC

(4)如果？￠6,i?G則A^C

【注意】空集是任何集合的子集，因此在解/IU6(回。)的含參數(shù)的問題時，要注意討論1

=0和/No兩種情況，前者常被忽視1,造成思考問題不全面.

四、子集的個數(shù)

如果集合A中含有n個元素，則有

(1)/的子集的個數(shù)有2"個.

(2)4的非空子集的個數(shù)有2"—1個.

(3)4的真子集的個數(shù)有2"—1個.

（4）/的非空真子集的個數(shù)有2"—2個.

五、韋恩圖

在數(shù)學中，我們經(jīng)常用平面上的封閉曲線的內(nèi)部表示集合，這種圖叫做Venn圖。

【注意】

（1）表示集合的韋恩圖是是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線。

（2）維恩圖的有點是形象直觀，缺點是公共特征不明顯，畫圖時要注意區(qū)分大小關系。

【知識點精講】

題型一集合間關系的判斷

【例題1】.（2022?四川綿陽高一單元測試）已知集合4=?2-2x=θ},則下列選項中說法

不正確的是（）

A.0?AB.-2GAC.{θ,2}?AD.A?∣γ∣y<3}

【答案】B

【分析】根據(jù)元素與集合的關系判斷選項B,根據(jù)集合與集合的關系判斷選項A、C、D.

【詳解】由題意得，集合A={O,2}.所以—2eA,B錯誤；

由于空集是任何集合的子集，所以A正確；

因為A={0,2},所以C、D中說法正確.

故選：B.

【例題2】.（2022?山東泰安高一檢測）已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={l,2,3},集合A與8

的關系如圖所示，則集合B可能是（）

C.{1,6}D.{1,3}

【答案】D

【解析】由圖可得BqA,由選項即可判斷.

【詳解】解：由圖可知：B?A,

A={1,2,3},

由選項可知：{1,3}?A,

故選：D.

【變式1］（2022?寶雞市高一檢測模擬）已知集合A={x∣x≥-2},B≈{x∣-2<x≤l},則下

列關系正確的是（）

A.A=BB.AcBC.BcAD.AB=0

【答案】C

【解析】因為集合A={x∣x≥-2},β={x∣-2≤x≤l},

所以根據(jù)子集的定義可知B=A,故選：C.

【變式2】（2022?山東濟寧模擬）已知集合A={x∣x>l},則下列關系中正確的是（）

A.0?AB.{0}?AC.0?AD.（0}∈A

【答案】C

【解析】,集合A={x∣x>1},

A中，0是一個元素，元素與集合之間是屬于或者不屬于關系，故A錯誤；

3中，0>1不成立，.?.{0}αA不對，故5錯誤；C中，空集是任何集合的子集，故C正確；

。中，集合與集合之間是真子集或者子集以及相等關系，故。錯誤；

故選C.

題型二子集、真子集、空集的概念

【例3】（2022?南京市第十三中學高一月考）已知集合A={x∣xwN,-d+x+2±θ},則集合

A的真子集個數(shù)為（）

A.16B.15C.8D.7

【答案D

【解析】由題意得集合A=卜|x∈N,-χ2+χ+2N0}={x|x€N,-?≤x≤2}={0,l,2}所以集合

A的真子集個數(shù)為：2:1=7.

故選:D.

【例題4】.（2022?河南鄭州高一期末）定義A*8={Z∣Z=Λy+l,x∈A,γ∈B},設集合A

={0,1},集合8={1,2,3},則A*8集合的真子集的個數(shù)是（）

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【分析】先求出集合∕*8={1,2,3,4）,由公式2"-1求出集合心6的真子集的個數(shù)

【詳解】VJ={0,1},B={l,2,3）,

."*8={Z∣Z=ΛTH,x≡A,y∈8}={l,2,3,4},

則4*8集合的真子集的個數(shù)是2-1=15個，

故選：B

【例5】（2023?渝中?重慶巴蜀中學高三月考）己知集合M={-3,-2,7,0,1,2,3},非空集合尸

滿足：（1）PcM；（2）若xeP,則一XeP,則集合P的個數(shù)是（）

A.7B.8C.15D.16

【答案】.C

【解析】滿足條件的集合戶應同時含有-3,3或-2,2或-1,1或0,又因為集合P非空，所以集

合P的個數(shù)為2^t-l=15個

【變式1】（2023?江蘇無錫高一專題檢測）已知集合{1,2}αA={1,2,3,4,5,6},則滿足條件

的A的個數(shù)為（）

A.16B.15C.8D.7

【答案】A

【分析】根據(jù)題意/中必須有1,2這兩個元素，因此/的個數(shù)應為集合{3,4,5,6}的子集

的個數(shù).

【詳解】解：因為{L2}GAq{1,2,3,4,5,6},

集合力中必須含有1,2兩個元素，可以含有元素3,4,5,6,

因此滿足條件的集合力為{L2},{1,2,3),{1,2,4),{1,2,5),{1,2,6),{1，2,3,4},

{1>2,3,5},

{1,2,3,6},{1,2,4,5),(1,2,4,6},{1,2,5,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6),

{1>2,3,5,6},{1,2,4,5,6},{1，2,3,4,516}共16個.

故選：A.

【變式2](2022?福建省南安市柳城中學高一月考)已知集合A=yFeN,%G∈N[,則集合

A的真子集個數(shù)為()

A.32B.4C.5D.31

【答案】.D

12

【解析】解：因為片wN,且12的約數(shù)有1,2,3,4,6,12,

6-x

1212

當^—=1時，6-x=12,則無=-6eN,故7—=1不符題意，舍去，

6-xO-X

1212

當^---=2時，6-x=6,則X=OWN,故二---=2符合題意，

6-xO-JV

當盧12_=3時，6-x=4,則x=2eN,故1;2-=3符合題意，

6-xO-X

當1產(chǎn)2=4時，6-x=3,則x=3∈N,故產(chǎn)12=4符合題意，

6-x6-x

1212

當^—=6時，6-x=2,則x=4∈N,故^—=3符合題意，

6-x6-x

當/1_2=12時，6-x=l,則x=5∈N,故占12=12符合題意，

6-x6-x

所以A=[x]x∈N，E≡N∣={2,3,4,6,12),

所以集合力的真子集個數(shù)為25-1=31.故選：D.

題型三與空集有關的問題

【例題6】.(2022?湖北武漢一中高一期中)以下四個選項中，所表示的集合不是空集的是

A.0B.{0}C.{x∈Λ∣x2-x+l=0∣D.{x∣y=Jx-3+√2-x}

【答案】B

【分析】根據(jù)空集含義逐一判斷.

【詳解】。表示空集，{0}表示以空集為元素的集合，不是空集；因為x2-x+l=O無實數(shù)

X—3≥0

解，所以{χ∈R∣χ2-x+l=θ}=0;：.XG0：.{xIy=Vx-3+√2-Λ∣=0

2-x≤0

故選：B

【例7】（2023?江蘇高一專題練習）已知集合A={x∣-3≤x≤4},B={x∣2"i-l<x<m+l},且

BcA,則實數(shù)機的取值范圍是.

【答案】?機≥-1

【解析】解：分兩種情況考慮：

①若8不為空集，可得：2m-l<∕π+l,解得：m<2,

5=A,A={xI-3≤X≤4},

.?.2∕n-1≥-3且團+1≤4,解得：-l≤"z≤3,

②若〃為空集，符合題意，可得：2m-l≥m+↑,解得：加≥2.

綜上，實數(shù)力的取值范圍是m≥T.

【變式D（2022?陜西寶雞高一課時練習）下列命題：

①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④若0θA,

貝IJA≠0.

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.IC.2D.3

【答案]B

【解析】①錯，空集是任何集合的子集，有0￡0;②錯，如。只有一個子集；③錯，空集

不是空集的真子集；④正確，因為空集是任何非空集合的真子集.

故選：B.

【變式2]（2022?銀川一中高一課時練習）下列四個集合中，是空集的是（）

A.{x∣x+3=3}B.{（x,y）∣V=-∕,χ,yeR}

C.∣x∣x2≤θjD.∣x∣x2-x+l=0,x∈/?|

【答案】.D

【解析】選項A,{x∣x+3=3}={0};選項B,{（x,y）∣y2=-x2,x,y∈Λ}={（O,O）};

選項C,{x∣Y≤o}={θ};選項D,X2-X+1=0,Δ=1-4=-3<0,方程無解，?

∣x∣x2-x+l=0,x∈=0,選:D.

題型四集合關系的應用

【例8】.（2020?廣西?象州縣中學高一階段檢測）已知A=NX2+5χ-6=θ},

B=∣X∣Λ2+p%+√=θj,B?A,且6不是空集，

（1）求集合B的所有可能情況；（2）求。、9的值.

、[p=12fp=—2fp=5

【答案】⑴B=（-6或B={l}或B=（-6,1；⑵，“或,或〈

[q=36國=114=-e

【解析】（1）解出集合A,根據(jù)BUA且3H0可得出所有可能的集合B;

（2）根據(jù)（1）中集合5所有可能的情況，結合韋達定理可求得P、q的值.

【詳解】（I）A=k∣χ2+5x-6=θ}={-6,l},8=4且8X0,

則B={-6}或8={1}或B={-6,l};

.、f2×(-6)=-p[n=12

(2)若B=-6,由韋達定理可得，，解得用

(-6)=q[夕=36

若B={l},由韋達定理可得E）Xl二一。，解得

U~=4l?=l

—6+1=-pP=5

若B={-6,l},由韋達定理可得，K-6)χl=√解得

(7=—6

，藍或或U

綜上所述,

夕=361q=1[]=-6

【例9】.（2021.河北保定高一檢測）設兌γ€夫，集合4={3,/+孫+?,B={l,/+孫+χ-3},

且A=8,求實數(shù)X,y的值

”=3或《=一；

【答案1

y=-2[γ=-6

【解析】

∕χ"+y=，解得產(chǎn)3

由A=B得

X+xy+x-3=3[γ=-2

【例題10】.（2022?江蘇常州高一月考）設集合4={幻-4/46},8={心/?-14彳42%+1},

且8uA.

（1）求實數(shù)機的取值范圍；（2）當XeN時，求集合A的子集的個數(shù).

【答案】（l）{w""<-2或0≤機≤g}（2）128

【分析】（1）按照集合B是空集和不是空集分類討論求解；

（2）確定集合A中元素（個數(shù)），然后可得子集個數(shù).

（1）當他一1>2a+1即機<一2時，B=0,符合題意；

m-?<2zn+1

解得O≤,"≤3?

當3≠0時，有<m-l≥-1

2m+1≤6

綜上實數(shù)機的取值范圍是{m∣m<-2或0。三3；

（2）當x∈N時，A={0,1,2,3,4,5,6},所以集合A的子集個數(shù)為2?=128個.

【變式1】.（2022?銀川一中高一課時檢測）已知集合M={1,4,x},N={l,χ2},若N=M,

則實數(shù)X組成的集合為（）

A.{0}B.{-2,2}C.{-2,0,2}D.{-2,0,1,2)

【答案】C

【分析】若NaM,所以X=XZ或丁=4,解出X的值，將X的值代入集合，檢驗集合的元

素滿足互異性.

【詳解】因為NqM,所以x=x"解得x=0,X=I或/=4,解得x=±2,

當X=O時，M={l,4,0},N={l,0},NjM,滿足題意.

當x=l時，M={1,4,1},不滿足集合的互異性.

當x=2時，M={1,4,2},N={l,4},若NqM,滿足題意.

當x=-2時，Λ/={1,4,-2),N={l,4},若NqM,滿足題意.

故選：C.

【變式2].（2020?曲靖市關工委麒麟希望學校高一期中）已知M={x|-2≤rW5},N={x?

a+l<χ≤2a-?}.

（1）若MJN,求實數(shù)。的取值范圍；（2）若MRN,求實數(shù)〃的取值范圍.

【答案1.（1）空集；（2）{α∣α≤3}.

【解析】（1）由MaN得:

tz+l≤-2a≤-3

2a-l≥5=<α≥3無解；故實數(shù)。的取值范圍為空集;

。+1≤2。一1a≥2

(2)由〃衛(wèi)N得：

當N=0時，即α+l>2α-l=αv2;

當N≠0時，

a+]≤2a-\a≥2

<2+1>—2=a≥-3,故2≤α≤3;

2a-l<5a<3

綜上實數(shù)。的取值范圍為{α∣4≤3}.

題型五：根據(jù)集合的相等關系求參數(shù)

【例題11].（2023?山西大同高三專題模擬）已知集合M={1,0},則與集合M相等的集合為

（）

B.{(x,γ)∣y=√x-l