2022-2023學(xué)年河南省周口市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省周口市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)(a—i)i=6+2i(α,beR),則()

A.a=2,b=?B.a=2,b=-1

C.a=-2,b=-lD.a=-2,b=l

【答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的相等可直接求得結(jié)果.

【詳解】由(a—i)i=b+2i(a,6eR)得：1+ai=?+2i,.ιa=2,b=?.

故選：A.

2.某社區(qū)衛(wèi)生室為了了解該社區(qū)居民的身體健康狀況，對該社區(qū)Iloo名男性居民和900名女性居

民按性別采用等比例分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取了一個(gè)容量為100的樣本，則應(yīng)從男

性居民中抽取的人數(shù)為()

A.45B.50C.55D.60

【答案】C

【分析】根據(jù)分層抽樣的規(guī)則運(yùn)算即可.

【詳解】應(yīng)從男性居民中抽取的人數(shù)為Ioox』J%?=55；

1100+900

故選：C.

3.工人師傅在檢測椅子的四個(gè)“腳''是否在同一個(gè)平面上時(shí)，只需連接對“腳”的兩條線段，看它們是

否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是()

A.兩條相交直線確定一個(gè)平面

B.兩條平行直線確定一個(gè)平面

C.四點(diǎn)確定一個(gè)平面

D.直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面

【答案】A

【分析】利用平面的基本性質(zhì)求解.

【詳解】解：由于連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格，

所以工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是“兩條相交直線確定一個(gè)平面

故選：A

4.如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的正方形，則原圖形的周長是()

C.4+8√2D.4+4應(yīng)

【答案】A

【分析】根據(jù)斜二測畫法分析運(yùn)算.

【詳解】在直觀圖中，O,A=2,O,B=√22+22=2√2>

可得原圖形是平行四邊形，其底邊長2,高為2x2√∑=4√∑,

則另一邊長為J22+(4√Σ>=6,所以原圖形的周長為2χ(2+6)=16.

故選：A.

5.在ΔABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,J若sinA:sinB:SinC=5:7:9,則COSC=

()

1

B.--C.--D.

145To

【答案】D

【分析】根據(jù)條件SinA:sin3:SinC=5:7:9,由正弦定理得。件:c=5:7:9,可令

a=5t,b=F,c=9r(r>0),再利用余弦定理求解.

a二b

【詳解】由正弦定理:=2R

sinAsinBsinC

得α=27?sinA,b=2RsinB,c=2HsinC

又因?yàn)镾inA:sin5:SinC=5:7:9,所以α:A:c=5:7:9

令a=5t、b=1t、C=9r(z>0)

所以COS。=』」!25r+49r2-81r_1

2×5t×lr10

故選：D.

6.已知平面α〃夕，且αuα,buβ,則直線”,〃的關(guān)系為()

A.一定平行B.一定異面

C.不可能相交D.相交、平行或異面都有可能

【答案】C

【分析】根據(jù)空間線面間的位置關(guān)系判斷.

【詳解】由平面?！?，且αuα,方U4可知直線”，。沒有公共點(diǎn)，故它們一定不相交，即可能是

平行或異面.

故選：C.

7.已知P是ΛBC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若CB+∕IPB=>IH4+CP,其中;IeR,則點(diǎn)P一定在（）

A.AC邊所在直線上B.AB邊所在直線上

C.BC邊所在直線上D.JIBC的內(nèi)部

【答案】B

【分析】根據(jù)CB+2PB=∕l尸A+”,利用平面向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為PB=7BA,再利用平面向量

共線定理求解.

【詳解】因?yàn)镃B+∕IP8=2PA+CP,

所以CB-CP="PA-PB）,

所以PB=2BA,

所以點(diǎn)尸在AB邊所在直線上.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.

8.有一個(gè)正三棱柱形狀的石料，該石料的底面邊長為6.若該石料最多可打磨成四個(gè)半徑為6的石

球，則至少需要打磨掉的石料廢料的體積為（）

A.216-4Λ∕3KB.216-16?∣3π

C.270-16√3πD.270-4√3π

【答案】B

【分析】求出柱形石料的高，利用柱體體積減去四個(gè)球體體積可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)底面是邊長為6的等邊三角形的內(nèi)切圓的半徑為r,

由等面積法可得1χ3x6r=^^x62,解得r=W，

24

若可以將該石料打磨成四個(gè)半徑為6的石球，則該柱形石料的高至少為8—,

因此，至少需要打磨掉的石料廢料的體積為^χ62χ8√J-4xgτtχ（6）'=216-16扃.

故選：B.

二、多選題

9.下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.∣2-i∣=√5B.i202i=j

C.若a>b,貝∣Jα+i>6+iD.若zeC,則z?3O

【答案】CD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，逐一分析即可.

【詳解】解：∣2-i∣=√22+(-l)2=√5,故A對，因?yàn)閞=1,故i2M=i,故B對，

虛數(shù)不能比較大小，故C錯(cuò)，設(shè)z=2—i,z2=(2-丁=3-4i仍為虛數(shù)，不能與。比較大小，故D錯(cuò).

故選：CD.

10.下列說法不正確的是()

A.若直線4,6不共面，則”，6為異面直線

B.若直線R/平面α,則α與α內(nèi)任何直線都平行

C.若直線α〃平面α,平面C〃平面夕，則。//夕

D.如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等

【答案】BCD

【分析】由空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A.直線m6不共面，即不平行，不相交，則”,6為異面直線，故正確；

B.直線α〃平面α,則α與α內(nèi)的直線平行或異面，故錯(cuò)誤；

C.直線α〃平面α,平面ɑ//平面夕，則ɑ//月或αu∕?,故錯(cuò)誤；

D.空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故錯(cuò)誤；

故選：BCD

11.在JlBC中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,有如下判斷，其中正確的判斷是()

A.若4>8,則SinA>sin8

B.若αcosA=ACOS8,貝ILABC是等腰三角形

C.若/BC為銳角三角形，則sinA>cosB

D.若cos。A+cos,8-COS°C>1,貝UA8C是鈍角三角形

【答案】ACD

【分析】A：由大角對大邊，及正弦定理判定；利用正弦定理及二倍角公式判斷B；根據(jù)正弦函數(shù)的

性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷C；根據(jù)余弦定理判斷D；

【詳解】解：對于A：在IiABC中，若4>B>則”>h,

貝∣]2RsinA>2RsinB,則SinA>sin8,故正確；

對于B：?jαcosA=6cos3,/.sinAcosA=sinBcosB,

.?.sin2A=sin2B,:,A=B,或2A+28=180°即A+8=90。,

.二ABC為等腰或直角三角形，故不正確.

TrTrTr

對于C：當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí)，A+β>-,->A>--B>O,

冗

.?.sinA>sin(B)=cosB,可得SinA>cosB成立，故C正確.

2

對于D：若CoSrA+cos2B-COS2C>1,貝IJI-Sin?A+l-sin2B-l+sin2C>l,

222222

即sinC>sinB+sinAfBPc>b+a,即C?一。—+4)>。所以8sC<(),

即。為鈍角，故.ABC是鈍角三角形,故D正確；

故選：ACD.

12.已知正四棱臺(tái)ABC。-A4G，的上底面AqGA的邊長為2√∑,下底面ABCQ的邊長為4&,

高為,則()

A.側(cè)棱長為4B.異面直線AA與BC所成角為J

C.二面角A-BC-瓦的余弦值為巫D.AA與底面ABC。所成角為彳

5J

【答案】AD

【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征及線線角，線面角與面面角的求法逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.

易得AICl=BQ∣=4,4C=8。=8,A選項(xiàng)，設(shè)上下底面的中心分別為。∣,0,則四邊形。由80為直

角梯形.

其中。冏=2,Q8=4,∞1=2√3,所以Bq=Jl2+(4-2>=4,A正確；

B選項(xiàng)：因?yàn)锳D〃8C,所以AA與BC所成角即為AA與4。所成角，在等腰梯形照ZV)中，

AAt=DD,=4,

AiD?=2垃,AD=4√2,過A作AGLA。于G,所以4人與AO所成角的余弦值為

4Λ^^-2√2_

AG=2=WB錯(cuò)誤；

ΛAl44

C選項(xiàng)：回點(diǎn)在底面ABC。的射影為OB的中點(diǎn)，設(shè)為E,過E作￡72BC,垂足為E則片ELBC,

EFIBC,B∣E,EFu面B∣EF,

BIECEF=E,所以BCl平面與EF,所以87_L8C,則NBLE為二面角A-8C-g的平面角.

因?yàn)锽∣E=2g,EF=母,所以8∣F=√iZ,COSNBFE=吝,C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：正四棱臺(tái)ABCD-ABCa中，AA與底面ABCQ所成角與網(wǎng)與底面ABeD所成角相等，

由C選項(xiàng)知NgBE為BB「與底面ABCO所成角，sinNB∣BE=2叵=且，得NBIBE=W,故D正確.

423

故選：AD.

三、填空題

13.在JlBC中，角AB,C所對應(yīng)的邊分別為4,/%c.若4=?,8=。,4=2&,則6=,

【答案】2√3

【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.

/7

.?2√2×-_

j

【詳解】因?yàn)樘?名，所以6="=-r-=2√3.

SinASinBSinA√2

T

故答案為：2邪.

14.已知平面向量α,人滿足W=2，W=5且(a+6)_L"則向量”與6的夾角為.

【答案】∣50o

【分析】根據(jù)向量垂直數(shù)量積等于0,結(jié)合已知條件求出“心的值，利用向量夾角公式即可求解.

【詳解】由(。+力)，％,得(α+8)?6=0,即.加+『=0，

因?yàn)镸=2,W=所以α?6=-3，

所以CM砌=瀚=顯=W又。H咽≤18O?,

所以向量α與b的夾角為150°.

故答案為：150。

15.如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處

測得公路上8,C兩點(diǎn)的俯角分別為30。，45°,且/8AC=I35。.若山高Az)=I50m,汽車從C點(diǎn)到

8點(diǎn)歷時(shí)25s,則這輛汽車的速度為m∕s.

【答案】6√10

【分析】由余弦定理求得BC后可得速度.

【詳解】由題意可知，AB=300m,AC=15θJ∑m,由余弦定理可得

BC=1∣9OOOO+45000-2×300×150√2×=?5θjw(m),這輛汽車的速度為

150√K)÷25=6√i()(m∕s),

故答案為：6?∕Γθ.

16.已知正方體ABCQ-A4G。的棱長為6,E、F分別是AA、AA的中點(diǎn)，則平面CE尸截正方

體所得的截面的周長為——.

【答案】6√13+3√2

【分析】延長EF交D4的延長線于N,連接CN交AB于點(diǎn)G,連接FG；延長FE交Dq的延長線

于點(diǎn)例，連接CM交GA點(diǎn)“，連接E”；則正方體被平面CE尸截得的截面為CHEFG.則E∕N?FG

+GC+CH+HE為平面CEF截正方體所得的截面的周長，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解.

【詳解】延長E尸交ZM的延長線于N,連接CN交AB于點(diǎn)G,連接FG；延長FE交。。的延長線

于點(diǎn)M,連接CM交CQ點(diǎn)“，連接E”；

則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG.

，：E、尸分別是AQ、AAl的中點(diǎn)，則易知AN=AE=；AO,

：.AN=-ND：.AG=-CD=I,

3y3

?*?EF=3>∕Σ，F(xiàn)G=?Jl3，CG=；

同理，DlH=；CD=2,EH=yfl3,CH=2√13；

.?.平面CEF截正方體所得截面的周長為：

EF+FG+GC+CH+HE=3√2+√13+2√B+2√13+√B=6√13+3√2.

故答案為：6>∕i^3+3>∕2.

四、解答題

17.己知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)Z=(M-5m+6)+(∕√-2m)i,〃zeR.

(1)當(dāng)復(fù)數(shù)Z為實(shí)數(shù)時(shí)，求，”的值；

⑵當(dāng)復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù)時(shí)，求加的值：

【答案】(1)〃?=0或機(jī)=2

(2)m=3

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)和純虛數(shù)定義可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】(1)；2為實(shí)數(shù)，：.后_2加=0,解得：加=0或ZM=2.

(2)；z為純虛數(shù)，；.{,,解得：m=3.

m^-2m≠0

18.已知〃=(—1,3),b=(2,—4),m=a—kb，〃=(%—1)〃—2b.當(dāng)&為何值時(shí)：

Wmlln

(2)tn.Ln

【答案】(I)Z=T或2

Q)k二4±30

7

【分析】(1)根據(jù)“//“，利用共線向量定理求解；

(2)根據(jù)機(jī)_L〃，利用數(shù)量積運(yùn)算求解.

【詳解】⑴解：因?yàn)棣?(T3),?=(2,-4),m=a-kb,n=(k-l)a-2b,

所以相=(-1,3)-燈2,-4)=(-2%-1,44+3),

∕j=(?-1)(-1,3)-2(2,-4)=(-k-3,3?+5).

因?yàn)椤ā?〃，所以(-2k-V)(3k+5)=(-k-3)(4%+3),

整理為公_%_2=0,

解得左=T或2；

(2)因?yàn)?/p>

所以(-2A-1)(—k-3)+(4&+3)(3A+5)=0,

整理為7F+18JI+9=0,

解得：k=4■空衣.

7

19.已知一ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是。，b,c,_A3C的面積為S,且滿足

4S+bc?tan(8+C)=0.

(1)求角A的大小；

(2)若α=4,求_A6C周長的最大值.

【答案】(1)4=]

⑵12

【分析】(1)由4S+bc?tan(3+C)=0結(jié)合三角形面積公式可化簡得到COSA=g,即可求得答案;

(2)利用余弦定理得到〃+/-16=尻.，進(jìn)而化為S+C)2=16+3歷，結(jié)合基本不等式求得b+c≤8,

即可得周長的最大值.

【詳解】（1）A÷jβ+C=π,

.,.4S=-fectan(B+C)=-∕7ctan(π-A)=?ctanA,

me4,sinA

則2bcsinA=be-------,

cosA

A∈(0,π),.,.SinAW0,.?.cosA=',

2

又A∈(0,π),??A=p

TT

(2)a=4,A=-,

由余弦定理得COSA=b+：-—=?,

2bc2

BPh2+c2-?6=bc(/?+c)2=16÷3?c,,

所以(方+e)?-16=3bc<3x("c)，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí)取“=”）,

?i(?+c)2≤16,b+c≤8,

.?.b+c的最大值為8,α+6+c?的最大值為12,

.?./WC周長的最大值為12.

20.如圖，在直三棱柱ABC-A由G中，ZABC=90°,AB=BC=AAt=2,M,N分別為棱AC、ABl

的中點(diǎn).

⑴證明：MN〃平面BBCC.

⑵求點(diǎn)B到平面CMN的距離.

【答案】（1）證明見解析；

【分析】(1)取A8中點(diǎn)O?連接N。"。，證明平面的V?！ㄆ矫?CCg后可得線面平行:

⑵利用VN-BCM=%c≡計(jì)算點(diǎn)B到平面CMN的距離.

【詳解】(1)取AB中點(diǎn)力.連接NL>,Λ∕Q,

因?yàn)樵谥崩庵鵄BC-A4G中，”,N分別是AC,4耳中點(diǎn)，

所以ND〃BB∣,ND=BBx,MDHBC,

M)0平面BCCg，BBIU平面BCCIBI,所以M)〃平面BCGB∣,同理MD//平面BCGB∣,

NDMD=D,ND,uMD平面MND,

所以平面MNZ)〃平面BCC4，又MNU平面MNE>,

所以腦V//平面BCG四；

（2）連接BM,BN,AN,CD,由直棱柱8與_L平面ABC,知NDJ?平面ABC,

而COU平面A8C,所以MDd.C。，同理MDJ.DW,

工BCM=55A8C=5X]X2X2=1,VN-BCM=?BCM^D=-×1×2=-,

CD=y∣BC2+BD2=√22+l2=√5>CN=JNb+CD。=*+（逐了=3，

MD=^BC=?,MN=4Nb1+DM。=BCM=^AC=y∕2,

AMCN中，cosZ.MCN-+M=——',所以SinZ.MCN=,

2×3×√222

5,MrN=-CNCMamZMC∕V=i×3×√2×-=-,

,MCN2222

設(shè)8到平面MCN的距離為〃，

則?V-fiCΛ/=VB-CMN=§5MCN,〃?

2

?44

所以"=7?=W?即點(diǎn)8到平面CMN的距離為9?

-×-33

32

21.?φtecsA=?j3asinC；?(a-?)(sinΛ+sinB)=(c-?/?ft)sinC；③36COS4+acosB=6>+c這

三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題.

問題：在一ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足.

(1)求角A的大小；

(2)若。為線段CB延長線上的一點(diǎn)，J1CB=2BD,AD=√3,AC=2√3,求ABC的面積.

【答案】(1)條件選擇見解析，A=F

O

【分析】(1)選擇①：由正弦定理邊化角得方程，求解即可.

選擇②：由正弦定理角化邊得關(guān)于三邊的方程，代入余弦定理可得.

選擇③：由正弦定理邊化角，再由SinC=Sin(8+C)=sin8cosC+sinCcos8展開計(jì)算可得結(jié)果.

(2)設(shè)如=x,AB=yfZABD=B,在4A5C中，由CoSNA3C、CoSc4B列等式①②，在AABO

中，由CoSNAS。列等式③，由①②③解方程可得X,y.代入三角形面積公式可得結(jié)果.

【詳解】(1)若選擇①，〉coosA=>∕5asinC?工sinCcosA=石SinASinC,

VsinC≠0,?*.cosA=BsinA,

BPtanA=,

3

?.?A∈(0,兀)ΛA=-

6

若選擇②，*.*(。一?)(sinA+sinJB)=(C-J^)SinC,

?(a一b)(a+?)=C(C-?/?/?),

a2-b2=c2-√3?c

a2=b2+c2-y∣3hc,

CoSA=從+YY=退=3

2hc2hc2

?：A∈(O,π).?A=—

6

若選擇③，:3?cosA+acosB=?/?/?+c,

?'?3sinBcosA÷sinAcosB=6SinB+sinC,

."?3sin/?cosA+sinAcosB=>∕3sinB+sin(A+B),

?*?3sinBcosA+sinAcosB=?∣3sinB+sinAcosB÷cosAsinB,

?*?2sinBcosA=^sinB?又;B∈(O,兀).，sinBWO,

**?cosA=>A∈(O,π),.?A=—；

26

(2)設(shè)施)=x,AB=yfZABD=Θ,

在,ABC中，用余弦定理可AC1=BC2+BΛ2-2BC?BA?COSZABC，

即12=4/+?2-2×2xycos(π-θ)①，

又,/在一ABC中，BC2=AC2+AB2-2AC-ABcosZCAB,

BP4x2=12+y2-2×2√3jcosZCAβ.BP4x2=y2-6γ+12,EPχ2=v~6?v+12②,

在AABD中，用余弦定理可得AD2=BD2+BA2-2BD?BNcosZABD,

BP3=x2+y2-2xycos^(3),③x2+①可得6/+3y2=18,

將②式代入上式可得y=2,x=l,Sλbc=^ABACsinA=.

22.在等腰梯形BCEF(圖1)中，BCHEF,EF=3BC,NE=NF=45。,A,。是底邊EF上的兩

個(gè)點(diǎn)，且84LERCDJLEF將3aw和AEDC分別沿Afi,OC折起，使點(diǎn)E,尸重合于點(diǎn)P,得

到四棱錐P-ABCD(圖2).已知M,N,H分別是PDPA,BC的中點(diǎn).

圖1圖2

⑴證明：MH//平面PAB.

(2)證明：AMl平面PCD

(3)求二面角A—PC-O的正切值.

【答案】（1）證明見解析;

⑵證明見解析；

⑶折

【分析】（1）由題可得四邊形仞VZW是平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理即得；

（2）利用線面垂直的判定定理可得CO_L平面PAO,進(jìn)而即得；

（3）過點(diǎn)〃作用由題可得