廣東省珠海市大灣區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

大灣區(qū)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期末普通高中一年級聯(lián)合考試數(shù)學(xué)本卷共22小題，滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和準考證號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得答案.【詳解】命題“”的否定是“”.故選：A.2.在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點存在定理，分別求各選項的端點函數(shù)值，找出函數(shù)值異號的選項即可【詳解】由題意，因為，，由零點存在定理，故函數(shù)的零點所在的區(qū)間為故選：C3.設(shè)函數(shù)，則使成立的x的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分和兩種情況解不等式即可【詳解】當時，由，得，得，，所以，當時，由，得，得，所以，綜上，，即使成立的x的取值范圍為，故選：B4.瑞典著名物理化學(xué)家阿倫尼烏斯通過大量實驗獲得了化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)隨溫度變化的實測數(shù)據(jù)，利用回歸分析的方法得出著名的阿倫尼烏斯方程：，其中為反應(yīng)速率常數(shù)，為摩爾氣體常量，為熱力學(xué)溫度，為反應(yīng)活化能，為阿倫尼烏斯常數(shù)．對于某一化學(xué)反應(yīng)，若熱力學(xué)溫度分別為和時，反應(yīng)速率常數(shù)分別為和（此過程中與的值保持不變），經(jīng)計算，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由題意表示出和，再由指數(shù)運算求出，最后由對數(shù)運算求解即可.【詳解】由題意知：，，則.故選：A.5.在函數(shù)的圖象上有一點，此函數(shù)的圖象與x軸、直線及圍成的圖形（如圖陰影部分）的面積為S，則S與t的函數(shù)關(guān)系圖象可表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分情況：當時、當時，分別求出S與t的函數(shù)關(guān)系，繼而得解【詳解】當時，，其圖象是開口向下的拋物線，頂點坐標是；當時，S＝，其圖象是開口向上的拋物線，頂點坐標是．所以B滿足要求．故選：B.6.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為，則，所以，，，故，故選：C.7.已知函數(shù)，則（）A.奇函數(shù)，且在是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在是減函數(shù)【答案】A【解析】【分析】由奇偶性定義可知為奇函數(shù)；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可確定在是增函數(shù).【詳解】由得：或，的定義域為；，是奇函數(shù)；，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上是增函數(shù).故選：A.8.設(shè)都是不為1的正數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱則的零點個數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，得到為偶函數(shù)，求得，又根據(jù)，得到函數(shù)有且只有一個零點，從而得到函數(shù)只有一個零點．【詳解】依題意，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，可得為偶函數(shù)，所以，即，所以，所以，即，因?qū)θ我夂愠闪ⅲ?，所以，可得，所以，當且僅當時等號成立，所以有且只有一個零點，又因為函數(shù)的零點個數(shù)等價于函數(shù)的零點個數(shù)，所以函數(shù)有且只有一個零點．故選：B．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的對對稱性的應(yīng)用，以及函數(shù)的零點的個數(shù)的判定，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的對稱性，以及函數(shù)的基本性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，，，均為實數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】取，，，可判斷A；由，以及可判斷B；利用不等式的性質(zhì)可判斷C；利用均值不等式可判斷D【詳解】選項A，取，，，，滿足，，則，錯誤；選項B，由于，故，故故，正確；選項C，若，則，且，則，正確；選項D，由，利用均值不等式，，當且僅當，即時等號成立，正確故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.在定義域內(nèi)是增函數(shù) B.是奇函數(shù)C.的最小正周期是 D.圖像的對稱中心是【答案】BCD【解析】【分析】以為整體，結(jié)合正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)逐項分析判斷.【詳解】A選項：∵，則∴的定義域是，其在定義域內(nèi)的每一個區(qū)間上都是單調(diào)遞增函數(shù)，但在整個定義域上沒有單調(diào)性，故A錯誤；B選項：，∵，則是奇函數(shù)，故B正確；C選項：函數(shù)的最小正周期為，故C正確；D選項：令，解得，所以圖像的對稱中心是，故D正確．故選：BCD．11.已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足.若，，且值為負值，則下列結(jié)論可能成立的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】BC【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)，求得的兩個值，然后根據(jù)題意判斷函數(shù)在上是增函數(shù)，確定的具體值，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性可判斷得正確選項.【詳解】由于函數(shù)為冪函數(shù)，故，即，解得.當時，，當時，.由于“對任意，且，滿足”知，函數(shù)在上為增函數(shù)，故.易見，故函數(shù)是單調(diào)遞增的奇函數(shù).由于，即，得，所以，此時，若當時，，故；當時，，故，故；當時，由知，，故或或，即或或綜上可知，，且或或.故選：BC.【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟知冪函數(shù)定義和性質(zhì)突破參數(shù)m，再綜合應(yīng)用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)確定和的符號情況.12.設(shè)是全集，定義，對的真子集和，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)新定義計算然后判斷各選項．【詳解】A．，若，則，，，若，則或且只有一個成立，，或，因此A正確；B．，當時，，則，此時，B錯誤；C．時，若，則，若，則，若且，則則，所以，C正確；D．，當時，顯然，此時，成立，當時，，與的值要么等于0要么等于1，或0，成立，D正確．故選：ACD．【點睛】本題考查函數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是正確理解新定義，它是一分段函數(shù)，首先依賴于集合，時，，時，，解題時我們只要根據(jù)元素與集合的關(guān)系確定函數(shù)值即可．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知則___________【答案】【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得：，故答案為：.14.函數(shù)的值域為______.【答案】【解析】【分析】先確定函數(shù)的定義域，再結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由可得，故，又，當且僅當，即時取等號，故，故函數(shù)的值域為，故答案為：15.已知某機械裝置有兩個相互鳴合的齒輪，大輪有48齒，小輪有18齒.如果小輪的轉(zhuǎn)速為120轉(zhuǎn)/分鐘，大輪的半徑為10cm，則大輪圓周上的一點每秒轉(zhuǎn)過的弧長為______cm.【答案】15π【解析】【分析】利用每秒轉(zhuǎn)過的齒輪數(shù)相同即可求解.【詳解】由題意知，小輪每秒轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為，則每秒大輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為，所以大輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長為.故答案為：.16.已知函數(shù)，，若對任意，總存在，使得，則實數(shù)a的取值范圍是_____.【答案】####【解析】【分析】求出函數(shù)的值域，再解不等式組即得解.【詳解】解：由題得在時，當函數(shù)取最小值當時，函數(shù)取最大值3，所以此時函數(shù)的值域為；在時的值域為，由題得.所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知全集，集合.（1）求；（2）求如圖陰影部分表示的集合.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出集合B，然后求并集；（2）根據(jù)韋恩圖表達出集合關(guān)系，然后利用幾何運算求出結(jié)果.小問1詳解】由,得由，得；【小問2詳解】或得陰影部分為.18.已知函數(shù)（，，）同時滿足下列四個條件中三個：①最小正周期為；②最大值為2；③；④（1）給出函數(shù)的解析式，并說明理由；（2）已知，求的最值及相應(yīng)的值．【答案】（1），理由見解析（2）；此時；；此時【解析】【分析】（1）利用已知條件及三角函數(shù)的周期公式，結(jié)合特殊值對應(yīng)特殊角即可求解；（2）利用復(fù)合函數(shù)的求最值的方法及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】若函數(shù)滿足條件③，則．這與，矛盾，故不能滿足條件③，所以函數(shù)只能滿足條件①，②，④．由條件①，得，又因為，所以，由條件②，得由條件④，得，又因為，所以，所以函數(shù)的解析式為【小問2詳解】由，知當，時；此時當，時；此時．19.如圖所示，設(shè)矩形的周長為24，把它沿翻折，翻折后交于點，設(shè).（1）用表示，并求出的取值范圍;（2）求面積的最大值及此時的值.【答案】（1）（2）最大值為，此時.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，在中，利用勾股定理即可用表示出，結(jié)合可求得的取值范圍；（2）由（1）中結(jié)合三角形的面積公式即可直接寫出面積表達式，再利用基本不等式可求出最大值.【小問1詳解】由矩形的周長為24，且，可得，在中，易知，所以可得，因此；所以，在中，由勾股定理可得，整理可得，又，即，依題意解得，即可得【小問2詳解】在中，；又，所以，當且僅當，即時取等號，所以，即當時，面積的最大值為.20.已知定義在上的函數(shù)滿足，，且.（1）求的值；（2）判斷的奇偶性，并證明.【答案】（1）（2）為偶函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）利用賦值法結(jié)合已知條件可求解；（2）令，結(jié)合條件和函數(shù)奇偶性定義判斷.【小問1詳解】令，得，令，得，因為，所以，，令，得，即，因為，所以，所以.【小問2詳解】為偶函數(shù).證明如下：令，得，由（1）得，即，又的定義域為，所以為偶函數(shù).21.如圖，已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于兩點.過，分別作軸的垂線，垂足分別為，，并且，分別交函數(shù)的圖象于，兩點.（1）探究線段與的大小關(guān)系，并證明；（2）若平行于軸，求四邊形的面積.【答案】（1），證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用對數(shù)的運算性質(zhì)結(jié)合圖形計算即可；（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)結(jié)合圖形解方程求得各參數(shù)值，再根據(jù)四邊形面積公式計算即可.【小問1詳解】.證明如下：設(shè)、，則、.∴，又，故.【小問2詳解】∵平行于軸，∴又，，∴聯(lián)立方程組，∴、、、.故四邊形的面積為.22.經(jīng)過函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，我們知道：“函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱”的充要條件是“是奇函數(shù)”.某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組對上述結(jié)論進行再探究，又得到一個真命題：“函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱”的充要條件是“為奇函數(shù)”.若定義域為的函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，且當時，.（1）求的解析式；（2）若函數(shù)滿足：當定義域為時值域也是，則稱區(qū)間為的“保值”區(qū)間.若函數(shù)在上存在保值區(qū)間，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義及對稱性計算即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性分類討論解方程與不等式，結(jié)合一元二次方程根的分布及分段函數(shù)的性質(zhì)計算即可.【小問1詳解】因為定義域為的函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，所以為奇函數(shù)，所以，即，時，，所以，所以；【小問2詳解】由（1）可知：，①