玉林高中2016年級培優(yōu)班數(shù)學(xué)補充資料7解析幾何的存在性問題、定點定值問題及最值問題

./XX高中2015級培優(yōu)班數(shù)學(xué)補充資料〔7存在性問題、定點定值問題與最值問題班別：____________姓名：_____________1、橢圓兩焦點分別為F1、F2,P是橢圓在第一象限弧上一點,并滿足,過P作傾斜角互補的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點.〔1求P點坐標(biāo)；〔2求證直線AB的斜率為定值；〔3求△PAB面積的最大值。2、已知橢圓E經(jīng)過點A〔2,3,對稱軸為坐標(biāo)軸,焦點F1,F2在x軸上,離心率〔I求橢圓E的方程；〔II求的角平分線所在直線的方程；〔III在橢圓E上是否存在關(guān)于直線對稱的相異兩點？若存在,請找出；若不存在,說明理由.3、已知橢圓的兩焦點為,,離心率.〔1求此橢圓的方程；〔2設(shè)直線,若與此橢圓相交于,兩點,且等于橢圓的短軸長,求的值；〔3以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC,這樣的直角三角形是否存在？若存在,請說明有幾個；若不存在,請說明理由.4、已知橢圓E的長軸的一個端點是拋物線〔1求橢圓E的方程；〔2過點,斜率為k的動直線與橢圓E相交于A、B兩點,請問x軸上是否存在點M,使為常數(shù)？若存在,求出點M的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．5、已知橢圓的焦點在軸上,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點,離心率,過橢圓的右焦點作與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于兩點．〔1求橢圓方程；〔2設(shè)點是線段上的一個動點,且,求的取值范圍；〔3設(shè)點是點關(guān)于軸對稱點,在軸上是否存在一個定點,使得三點共線？若存在,求出定點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由．6.如圖,設(shè)橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左右焦點分別為,線段的中點分別為,且△是面積為4的直角三角形.<Ⅰ>求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;<Ⅱ>過做直線交橢圓于P,Q兩點,使,求直線的方程XX高中2015級數(shù)學(xué)培優(yōu)資料〔7答案存在性問題、定點定值問題與最值問題1、解：〔1由題得,,設(shè),,∴,∵點在曲線上,則,∴,從而,得.則點P的坐標(biāo)為.〔2由題意知,兩直線PA、PB的斜率必存在,設(shè)PB的斜率為,則BP的直線方程為：.由得,設(shè),則,同理可得,則,.所以：AB的斜率為定值.〔3設(shè)AB的直線方程：.由,得,由,得P到AB的距離為,則。]當(dāng)且僅當(dāng)取等號∴三角形PAB面積的最大值為。2、解析〔I設(shè)橢圓E的方程為將A〔2,3代入上式,得∴橢圓E的方程為〔II解法1：由〔I知,所以直線AF1的方程為：直線AF2的方程為：由點A在橢圓E上的位置知,直線l的斜率為正數(shù).設(shè)上任一點,則若〔因其斜率為負,舍去.所以直線l的方程為：解法2：〔III解法1：假設(shè)存在這樣的兩個不同的點由于M在l上,故①又B,C在橢圓上,所以有兩式相減,得即將該式寫為,并將直線BC的斜率和線段BC的中點,表示代入該表達式中,得②①×2—②得,即BC的中點為點A,而這是不可能的.∴不存在滿足題設(shè)條件的點B和C.解法2：假設(shè)存在,則得一元二次方程則是該方程的兩個根,由韋達定理得于是∴B,C的中點坐標(biāo)為又線段BC的中點在直線即B,C的中點坐標(biāo)為〔2,3,與點A重合,矛盾.∴不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點.3、解：〔1設(shè)橢圓方程為,則,,所求橢圓方程為.〔2由,消去y,得,則得〔*設(shè),則,,,,解得.,滿足〔*〔3設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC,其中B〔0,1,由題意可知,直角邊BA,BC不可能垂直或平行于x軸,故可設(shè)BA邊所在直線的方程為〔不妨設(shè)k<0,則BC邊所在直線的方程為,由,得A用代替上式中的k,得,由,得k<0,解得：或,故存在三個內(nèi)接等腰直角三角形.-4、解：〔1依題意橢圓的焦點在x軸,且即〔2假設(shè)存在點M符合題意,設(shè)AB：代入得：則要使上式與K無關(guān),則有,存在點滿足題意．5、解：〔1由題意知,又,所以,所以〔2由〔1得,所以,設(shè)的方程為,聯(lián)立得,,,〔*,,由題意得,代入可得,所以得〔3設(shè),則有,所以,,所以,整理得：代入〔*式解得所以在軸上存在一個定點,使得三點共線．6.解:設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,右焦點為.因是直角三角形,又,故為直角,因此,得.結(jié)合得,故,所以離心率.在中,,故由題設(shè)條件,得,從而.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為