醫(yī)學統(tǒng)計學：3-正態(tài)分布及其應用

正態(tài)分布及其應用

NORMALDISTRIBUTION主要內(nèi)容正態(tài)分布的概念及其特征標準正態(tài)分布醫(yī)學參考值范圍及其制定第一節(jié)正態(tài)分布

(normaldistribution)

表2-2某地140名正常男子紅細胞數(shù)的頻數(shù)表

紅細胞數(shù)頻數(shù)頻率(%)累積頻率(%)3.80～

21.41.44.00～

64.35.74.20～

117.913.64.40～

2517.931.54.60～

3222.954.44.80～

2719.373.75.00～

1712.185.85.20～

139.395.15.40～

42.998.05.60～

21.499.45.80～

6.0010.7100.0合計140-100.0

圖2-1140名正常男子紅細胞計數(shù)的直方圖

頻數(shù)f紅細胞數(shù)X頻率密度頻率/組距直方圖形狀相同，使各直方的面積相應于頻率，其和為1（100%）圖3-1某地成年男子紅細胞數(shù)的分布逐漸接近正態(tài)分布示意圖

一、正態(tài)分布(NormalDistribution)

頻率密度各直條的面積恰好等于名自組段的頻率例數(shù)較大的情況下，頻率近似地看作概率正態(tài)分布的概念又稱為Gauss分布（Gaussiandistribution）。當原始數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布圖的觀察人數(shù)逐漸增加且組段不斷分細時，圖3-1中的直條就不斷變窄，其頂端則逐漸接近于一條光滑的曲線。這條曲線形態(tài)呈鐘形，兩頭低、中間高，左右對稱，近似于數(shù)學上的正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線的數(shù)學函數(shù)表達式如果隨機變量X的分布服從概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)則稱X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ,σ2),μ為X的總體均數(shù)，σ2為總體方差二、正態(tài)分布的特征鐘型曲線，以μ為中心，左右完全對稱，兩端與X軸永不相交在X=μ處，f(X)取最大值，X越遠離μ，f(X)越小。曲線下面積分布有規(guī)律X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1或100%；區(qū)間μ±σ的面積為68.3%,區(qū)間μ±1.96σ的面積為95%,區(qū)間μ±2.58σ的面積為99%.兩個參數(shù)決定位置和變異：μ和σ

圖3-2正態(tài)分布曲線下的面積

圖3-2正態(tài)分布曲線下的面積

圖3-3三種不同均值的正態(tài)分布

兩個參數(shù)決定位置和變異是位置參數(shù)（即平均水平），決定分布曲線在橫軸的偏倚位置σ是變異參數(shù)，決定分布曲線的形態(tài)圖3-4三種不同標準差的正態(tài)分布標準正態(tài)變換正態(tài)分布是一個分布族，對應于不同的參數(shù)

和

會產(chǎn)生不同位置、不同形狀的正態(tài)分布。sm對任意一個服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量，令：都可轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布N(0,12)二、標準正態(tài)分布

(StandardNormalDistribution)

對任何參數(shù)的正態(tài)分布，都可以通過變量變換

化成和的標準正態(tài)分布。通常，可以利用標準正態(tài)分布表求出與原始變量X有關的概率值。

圖3-5標準正態(tài)分布及曲線下面積

標準正態(tài)分布z的概率密度函數(shù)為即將X~N(μ,σ2)的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為z~N(0,12)的標準正態(tài)分布，z稱為標準正態(tài)變量，其分布函數(shù)為根據(jù)上述公式制成附表1，欲求一定區(qū)間標準正態(tài)分布曲線下的面積只需查表即可，且

φ(z)=1-φ(-z)φ(u)例：已知X服從均數(shù)為μ標準差為σ的正態(tài)分布，試估計：

（1）X取值在區(qū)間μ±1.96σ內(nèi)的概率；

（2）X取值在區(qū)間μ±2.58σ內(nèi)的概率。求X取值在相應區(qū)間內(nèi)的概率，首先要確定區(qū)間兩端點所對應的z值查表，得φ(-1.96)=0.025，則z取值在（-1.96，1.96）的概率為0.95，即X取值在區(qū)間μ±1.96σ內(nèi)的概率為0.95。95%99%例3-1：正常成年男子的紅細胞計數(shù)近似服從正態(tài)分布，假設均值為4.78×1012/L，標準差為0.38×1012/L，試估計紅細胞數(shù)在4×1012/L以下所占的比例。先將4（×1012/L）變換為相應的μ值，即于是問題就轉(zhuǎn)化成為求標準正態(tài)分布z值小于-2.05概率。查附表1得φ(-2.05)=0.202，表明成年男子的紅細胞數(shù)低于4×1012/L的人約占總體的2%。求出在4×1012/L~5.5×1012/L范圍內(nèi)所占的比例即求P(4.0≤X≤5.5)例3-2上節(jié)課的例題中已計算出101名正常成年女子的血清總膽固醇均數(shù)為4.03mmol/L，標準差為0.659mmol/L。試估計該單位：正常成年女子血清總膽固醇在4.00mmol/L以下者占正常女子總?cè)藬?shù)的百分比；在4.00~5.00mmol/L之間者占正常女子總?cè)藬?shù)的百分比；在5.00mmol/L以上者占正常女子總?cè)藬?shù)的百分比。由于此例樣本含量較大，可用樣本均數(shù)、標準差代替總體均數(shù)和標準差查附表1得φ(-0.05)=？，如何求φ(1.47)?正態(tài)分布的和與差的分布服從正態(tài)分布的隨機變量X1，X2的和（X1+X2）與差（X1-X2）的分布仍是正態(tài)分布，且有如下性質(zhì)：不論X1和X2獨立與否，X1、X2的和與差的均數(shù)就等于均數(shù)的和與差，即E(X1±X2)=E(X1)±E(X2)當X1和X2獨立時，X1、X2的和與差的方差都等于方差的和，Var(X1±X2)=Var(X1)+Var(X2)三、正態(tài)分布的應用正態(tài)分布除了可估計頻數(shù)分布外，還是許多統(tǒng)計方法的基礎，并可應用于質(zhì)量控制及制定醫(yī)學參考值范圍。

一、基本概念醫(yī)學參考值：通常指包括絕大多數(shù)正常人的解剖、生理、生化、免疫及組織代謝產(chǎn)物的含量等各種生理生化指標常數(shù)，也稱正常值。醫(yī)學參考值范圍：由于存在個體差異，生物醫(yī)學數(shù)據(jù)并非常數(shù)而在一定范圍內(nèi)波動，故采用醫(yī)學參考值范圍作為判定正常和異常的參考標準。主要目的：用于臨床疾病診斷。

第三節(jié)醫(yī)學參考值范圍

(MedicalReferenceRange)通常使用的醫(yī)學參考值范疇有：90%，95%和99%。最常用的是95%參考值范圍。

確定95%參考值范圍示意圖

二、醫(yī)學參考值范圍的制定方法

(一）選擇一定數(shù)量的參照樣本

選擇參照樣本必須要考慮可能影響所要制定參考值范圍指標的各種疾病及干擾因素，將這些人排除在外。例如在制定血清谷－丙轉(zhuǎn)氨酶活性正常值時，選取正常人的條件為肝、腎、心、腦、肌肉等無器質(zhì)性疾患，近期無特殊用藥史等。同時可能需要考慮性別、年齡、民族、地理位置等因素。樣本含量一般要較大，如n>120。（二）對選定的參照樣本進行準確的測定為保證原始數(shù)據(jù)可靠，要嚴格控制檢測誤差，包括分析儀器的靈敏度、試劑的純度、操作技術及標準的掌握等，同時必須對測量條件做出統(tǒng)一的規(guī)定和說明，如臨床化驗參考值范圍的制定，應對收集樣本時的環(huán)境和生理條件（溫度、季節(jié)、體育活動強度、飲食、妊娠等），收集、轉(zhuǎn)運和儲藏樣品的方法及時間有明確的規(guī)定。（三）決定取單側(cè)范圍還是雙側(cè)范圍值

有些指標如白細胞數(shù)過高或過低均屬異常(a)，故其參考值范圍需要分別確定下限和上限，稱作雙側(cè)。有些指標如24小時尿糖含量僅在過高(b)、肺活量僅在過低時為異常(c)，只需確定其上限或下限，稱作單側(cè)參考值范圍。（a)白細胞數(shù)參考值范圍(b)24小時尿糖參考值范圍(c)肺活量參考值范圍（四）選擇適當?shù)陌俜址秶?5%or99%）參考值的百分范圍應根據(jù)資料的性質(zhì)和研究目的選擇，它與診斷閾值有確定的關系。百分范圍的不同將導致不同的假陽性率和假陰性率。圖3-6正常人和病人數(shù)據(jù)分布重疊（五）估計參考值范圍的界限參考值范圍估計主要有正態(tài)分布法和百分位數(shù)法。

1.百分位數(shù)法：適用于任何分布類型的資料，尤其是偏態(tài)分布資料，要求樣本含量比正態(tài)分布法要多（不低于100）。計算公式：雙側(cè)1-α參考值范圍：P100α/2~P100-100α/2

單側(cè)1-α參考值范圍：>P100α或<P100-100α雙側(cè)95%醫(yī)學參考值范圍是（P2.5

，P97.5

），單側(cè)范圍是P95以下（如人體有害物質(zhì)如血鉛）或P5以上（如肺活量）百分范圍（%）

單側(cè)

雙側(cè)

下限

上限

下限

上限95

P5

P95

P2.5

P97.599

P1

P99

P0.5

P99.5

表3-2參考值范圍所對應的百分位數(shù)

例3.4為該地區(qū)50歲～60歲女性高血脂診斷與治療提供參考依據(jù)，試估計血清甘油三脂含量的95%單側(cè)參考值范圍。甘油三脂頻數(shù)累積頻數(shù)累積頻率(%)0.10～27274.30.40～16919631.10.70～16736357.61.00～9445772.51.30～8153885.41.60～4258092.11.90～2860896.52.20～1462298.72.50～462699.42.80～362999.83.10～1630100.0

合計630--百分范圍（%）

單側(cè)

雙側(cè)

下限

上限

下限

上限95

P5

P95

P2.5

P97.599

P1

P99

P0.5

P99.5即95%單側(cè)參考值范圍為小于2.098mmol/L。2.正態(tài)分布法首先要對資料進行正態(tài)性檢驗，且要求樣本含量足夠大（n≥100）。計算公式如下：雙側(cè)1-α參考值范圍：單側(cè)1-α參考值范圍：百分范圍（%）

單側(cè)

雙側(cè)

下限

上限

下限

上限95

99

表3-3參考值范圍所對應的正態(tài)分布區(qū)間參考值范圍（%）單側(cè)雙側(cè)800.841.28901.281.64951.641.96992.332.58表2-7z界值表

例3.5若已算得某地正常成年男子紅細胞數(shù)的均數(shù)為4.78×1012/L,標準差為0.38×1012/L,試估計該地成年男子紅細胞數(shù)的95%參考值范圍。下限：上限：例：估計正常成年女子血清總膽固醇的95%參考值范圍，已知均數(shù)=4.03mmol/L，S=0.659mmo/L，z0.05/2=1.96，故：確定為雙側(cè)，下限：上限：練習已知正常成年女子血清總蛋白含量近似服從正態(tài)分布。現(xiàn)在確定成年女子血清總蛋白含量參考值范圍，在某地抽取了“正?！背赡昱?00人，測量其血清總蛋白含量，計算得均值為=74.2g/L，標準差S=3.6g/L。試估計該地成年女子血清總蛋白含量的95%參考值范圍。

小結(jié)

1.標準差與均數(shù)結(jié)合能夠完整地描述一個正態(tài)分布。對任何參數(shù)的正態(tài)分布，都可以通過一個簡單的變量變換化成標準正態(tài)分布。

2.利用正態(tài)分布可以很容易地確定其數(shù)值出現(xiàn)在任意指定范