醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)：3-正態(tài)分布及其應(yīng)用

正態(tài)分布及其應(yīng)用

NORMALDISTRIBUTION主要內(nèi)容正態(tài)分布的概念及其特征標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布醫(yī)學(xué)參考值范圍及其制定第一節(jié)正態(tài)分布

(normaldistribution)

表2-2某地140名正常男子紅細(xì)胞數(shù)的頻數(shù)表

紅細(xì)胞數(shù)頻數(shù)頻率(%)累積頻率(%)3.80～

21.41.44.00～

64.35.74.20～

117.913.64.40～

2517.931.54.60～

3222.954.44.80～

2719.373.75.00～

1712.185.85.20～

139.395.15.40～

42.998.05.60～

21.499.45.80～

6.0010.7100.0合計(jì)140-100.0

圖2-1140名正常男子紅細(xì)胞計(jì)數(shù)的直方圖

頻數(shù)f紅細(xì)胞數(shù)X頻率密度頻率/組距直方圖形狀相同，使各直方的面積相應(yīng)于頻率，其和為1（100%）圖3-1某地成年男子紅細(xì)胞數(shù)的分布逐漸接近正態(tài)分布示意圖

一、正態(tài)分布(NormalDistribution)

頻率密度各直條的面積恰好等于名自組段的頻率例數(shù)較大的情況下，頻率近似地看作概率正態(tài)分布的概念又稱為Gauss分布（Gaussiandistribution）。當(dāng)原始數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布圖的觀察人數(shù)逐漸增加且組段不斷分細(xì)時，圖3-1中的直條就不斷變窄，其頂端則逐漸接近于一條光滑的曲線。這條曲線形態(tài)呈鐘形，兩頭低、中間高，左右對稱，近似于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)式如果隨機(jī)變量X的分布服從概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)則稱X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ,σ2),μ為X的總體均數(shù)，σ2為總體方差二、正態(tài)分布的特征鐘型曲線，以μ為中心，左右完全對稱，兩端與X軸永不相交在X=μ處，f(X)取最大值，X越遠(yuǎn)離μ，f(X)越小。曲線下面積分布有規(guī)律X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1或100%；區(qū)間μ±σ的面積為68.3%,區(qū)間μ±1.96σ的面積為95%,區(qū)間μ±2.58σ的面積為99%.兩個參數(shù)決定位置和變異：μ和σ

圖3-2正態(tài)分布曲線下的面積

圖3-2正態(tài)分布曲線下的面積

圖3-3三種不同均值的正態(tài)分布

兩個參數(shù)決定位置和變異是位置參數(shù)（即平均水平），決定分布曲線在橫軸的偏倚位置σ是變異參數(shù)，決定分布曲線的形態(tài)圖3-4三種不同標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換正態(tài)分布是一個分布族，對應(yīng)于不同的參數(shù)

和

會產(chǎn)生不同位置、不同形狀的正態(tài)分布。sm對任意一個服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量，令：都可轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,12)二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(StandardNormalDistribution)

對任何參數(shù)的正態(tài)分布，都可以通過變量變換

化成和的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。通常，可以利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求出與原始變量X有關(guān)的概率值。

圖3-5標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及曲線下面積

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布z的概率密度函數(shù)為即將X~N(μ,σ2)的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為z~N(0,12)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，z稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，其分布函數(shù)為根據(jù)上述公式制成附表1，欲求一定區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下的面積只需查表即可，且

φ(z)=1-φ(-z)φ(u)例：已知X服從均數(shù)為μ標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布，試估計(jì)：

（1）X取值在區(qū)間μ±1.96σ內(nèi)的概率；

（2）X取值在區(qū)間μ±2.58σ內(nèi)的概率。求X取值在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的概率，首先要確定區(qū)間兩端點(diǎn)所對應(yīng)的z值查表，得φ(-1.96)=0.025，則z取值在（-1.96，1.96）的概率為0.95，即X取值在區(qū)間μ±1.96σ內(nèi)的概率為0.95。95%99%例3-1：正常成年男子的紅細(xì)胞計(jì)數(shù)近似服從正態(tài)分布，假設(shè)均值為4.78×1012/L，標(biāo)準(zhǔn)差為0.38×1012/L，試估計(jì)紅細(xì)胞數(shù)在4×1012/L以下所占的比例。先將4（×1012/L）變換為相應(yīng)的μ值，即于是問題就轉(zhuǎn)化成為求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布z值小于-2.05概率。查附表1得φ(-2.05)=0.202，表明成年男子的紅細(xì)胞數(shù)低于4×1012/L的人約占總體的2%。求出在4×1012/L~5.5×1012/L范圍內(nèi)所占的比例即求P(4.0≤X≤5.5)例3-2上節(jié)課的例題中已計(jì)算出101名正常成年女子的血清總膽固醇均數(shù)為4.03mmol/L，標(biāo)準(zhǔn)差為0.659mmol/L。試估計(jì)該單位：正常成年女子血清總膽固醇在4.00mmol/L以下者占正常女子總?cè)藬?shù)的百分比；在4.00~5.00mmol/L之間者占正常女子總?cè)藬?shù)的百分比；在5.00mmol/L以上者占正常女子總?cè)藬?shù)的百分比。由于此例樣本含量較大，可用樣本均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差代替總體均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差查附表1得φ(-0.05)=？，如何求φ(1.47)?正態(tài)分布的和與差的分布服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X1，X2的和（X1+X2）與差（X1-X2）的分布仍是正態(tài)分布，且有如下性質(zhì)：不論X1和X2獨(dú)立與否，X1、X2的和與差的均數(shù)就等于均數(shù)的和與差，即E(X1±X2)=E(X1)±E(X2)當(dāng)X1和X2獨(dú)立時，X1、X2的和與差的方差都等于方差的和，Var(X1±X2)=Var(X1)+Var(X2)三、正態(tài)分布的應(yīng)用正態(tài)分布除了可估計(jì)頻數(shù)分布外，還是許多統(tǒng)計(jì)方法的基礎(chǔ)，并可應(yīng)用于質(zhì)量控制及制定醫(yī)學(xué)參考值范圍。

一、基本概念醫(yī)學(xué)參考值：通常指包括絕大多數(shù)正常人的解剖、生理、生化、免疫及組織代謝產(chǎn)物的含量等各種生理生化指標(biāo)常數(shù)，也稱正常值。醫(yī)學(xué)參考值范圍：由于存在個體差異，生物醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)并非常數(shù)而在一定范圍內(nèi)波動，故采用醫(yī)學(xué)參考值范圍作為判定正常和異常的參考標(biāo)準(zhǔn)。主要目的：用于臨床疾病診斷。

第三節(jié)醫(yī)學(xué)參考值范圍

(MedicalReferenceRange)通常使用的醫(yī)學(xué)參考值范疇有：90%，95%和99%。最常用的是95%參考值范圍。

確定95%參考值范圍示意圖

二、醫(yī)學(xué)參考值范圍的制定方法

(一）選擇一定數(shù)量的參照樣本

選擇參照樣本必須要考慮可能影響所要制定參考值范圍指標(biāo)的各種疾病及干擾因素，將這些人排除在外。例如在制定血清谷－丙轉(zhuǎn)氨酶活性正常值時，選取正常人的條件為肝、腎、心、腦、肌肉等無器質(zhì)性疾患，近期無特殊用藥史等。同時可能需要考慮性別、年齡、民族、地理位置等因素。樣本含量一般要較大，如n>120。（二）對選定的參照樣本進(jìn)行準(zhǔn)確的測定為保證原始數(shù)據(jù)可靠，要嚴(yán)格控制檢測誤差，包括分析儀器的靈敏度、試劑的純度、操作技術(shù)及標(biāo)準(zhǔn)的掌握等，同時必須對測量條件做出統(tǒng)一的規(guī)定和說明，如臨床化驗(yàn)參考值范圍的制定，應(yīng)對收集樣本時的環(huán)境和生理?xiàng)l件（溫度、季節(jié)、體育活動強(qiáng)度、飲食、妊娠等），收集、轉(zhuǎn)運(yùn)和儲藏樣品的方法及時間有明確的規(guī)定。（三）決定取單側(cè)范圍還是雙側(cè)范圍值

有些指標(biāo)如白細(xì)胞數(shù)過高或過低均屬異常(a)，故其參考值范圍需要分別確定下限和上限，稱作雙側(cè)。有些指標(biāo)如24小時尿糖含量僅在過高(b)、肺活量僅在過低時為異常(c)，只需確定其上限或下限，稱作單側(cè)參考值范圍。（a)白細(xì)胞數(shù)參考值范圍(b)24小時尿糖參考值范圍(c)肺活量參考值范圍（四）選擇適當(dāng)?shù)陌俜址秶?5%or99%）參考值的百分范圍應(yīng)根據(jù)資料的性質(zhì)和研究目的選擇，它與診斷閾值有確定的關(guān)系。百分范圍的不同將導(dǎo)致不同的假陽性率和假陰性率。圖3-6正常人和病人數(shù)據(jù)分布重疊（五）估計(jì)參考值范圍的界限參考值范圍估計(jì)主要有正態(tài)分布法和百分位數(shù)法。

1.百分位數(shù)法：適用于任何分布類型的資料，尤其是偏態(tài)分布資料，要求樣本含量比正態(tài)分布法要多（不低于100）。計(jì)算公式：雙側(cè)1-α參考值范圍：P100α/2~P100-100α/2

單側(cè)1-α參考值范圍：>P100α或<P100-100α雙側(cè)95%醫(yī)學(xué)參考值范圍是（P2.5

，P97.5

），單側(cè)范圍是P95以下（如人體有害物質(zhì)如血鉛）或P5以上（如肺活量）百分范圍（%）

單側(cè)

雙側(cè)

下限

上限

下限

上限95

P5

P95

P2.5

P97.599

P1

P99

P0.5

P99.5

表3-2參考值范圍所對應(yīng)的百分位數(shù)

例3.4為該地區(qū)50歲～60歲女性高血脂診斷與治療提供參考依據(jù)，試估計(jì)血清甘油三脂含量的95%單側(cè)參考值范圍。甘油三脂頻數(shù)累積頻數(shù)累積頻率(%)0.10～27274.30.40～16919631.10.70～16736357.61.00～9445772.51.30～8153885.41.60～4258092.11.90～2860896.52.20～1462298.72.50～462699.42.80～362999.83.10～1630100.0

合計(jì)630--百分范圍（%）

單側(cè)

雙側(cè)

下限

上限

下限

上限95

P5

P95

P2.5

P97.599

P1

P99

P0.5

P99.5即95%單側(cè)參考值范圍為小于2.098mmol/L。2.正態(tài)分布法首先要對資料進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，且要求樣本含量足夠大（n≥100）。計(jì)算公式如下：雙側(cè)1-α參考值范圍：單側(cè)1-α參考值范圍：百分范圍（%）

單側(cè)

雙側(cè)

下限

上限

下限

上限95

99

表3-3參考值范圍所對應(yīng)的正態(tài)分布區(qū)間參考值范圍（%）單側(cè)雙側(cè)800.841.28901.281.64951.641.96992.332.58表2-7z界值表

例3.5若已算得某地正常成年男子紅細(xì)胞數(shù)的均數(shù)為4.78×1012/L,標(biāo)準(zhǔn)差為0.38×1012/L,試估計(jì)該地成年男子紅細(xì)胞數(shù)的95%參考值范圍。下限：上限：例：估計(jì)正常成年女子血清總膽固醇的95%參考值范圍，已知均數(shù)=4.03mmol/L，S=0.659mmo/L，z0.05/2=1.96，故：確定為雙側(cè)，下限：上限：練習(xí)已知正常成年女子血清總蛋白含量近似服從正態(tài)分布。現(xiàn)在確定成年女子血清總蛋白含量參考值范圍，在某地抽取了“正常”成年女子200人，測量其血清總蛋白含量，計(jì)算得均值為=74.2g/L，標(biāo)準(zhǔn)差S=3.6g/L。試估計(jì)該地成年女子血清總蛋白含量的95%參考值范圍。

小結(jié)

1.標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)結(jié)合能夠完整地描述一個正態(tài)分布。對任何參數(shù)的正態(tài)分布，都可以通過一個簡單的變量變換化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

2.利用正態(tài)分布可以很容易地確定其數(shù)值出現(xiàn)在任意指定范