等腰三角形的判定

學(xué)習(xí)目標(biāo)理解并掌握等腰三角形的判定方法靈活運用等腰三角形的判定方法進行證明和計算ABC如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇險船只的報警，當(dāng)時測得∠B=∠C如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā)，能不能同時趕到出事地點（不考慮風(fēng)浪因素）？情景引入已知：如圖，在△ABC中,∠B=∠C,那么它們所對的邊AB和AC有什么數(shù)量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型：CABAB=AC你能驗證你的結(jié)論嗎？知識精講在△ABD與△ACD，∠1=∠2，∴△ABD≌△ACD∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC過A作AD平分∠BAC交BC于點D證明：CAB21D（（知識精講∴AC=AB即△ABC為等腰三角形∵∠B=∠C，等腰三角形的判定方法如果一個三角形有兩個角相等,那么這個三角形是等腰三角形（簡寫成“等角對等邊”）已知等角對等邊在△ABC中，幾何語言：BCA知識精講ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角對等邊）∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角對等邊）錯，因為都不是在同一個三角形中辨一辨：如圖,下列推理正確嗎知識精講例1求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB=AC．證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．ABCE（（12D典例解析例2已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC求證：AB=ADBADC證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD【點睛】角平分線遇平行線必出現(xiàn)等腰三角形典例解析例3如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠∥BC交AB于E，交AC于F探究EF、BE、FC之間的關(guān)系OABEF解：EF=BECF理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO∵BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴EF=EOFO＝BECFABCOEF若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？結(jié)論還成立嗎？【點睛】判定線段之間的數(shù)量關(guān)系，一般做法是通過全等或利用“等角對等邊”，運用轉(zhuǎn)化思想，解決問題典例解析1在△ABC中，∠A和∠B的度數(shù)如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（）A∠A＝50°，∠B＝70°B∠A＝70°，∠B＝40°C∠A＝30°，∠B＝90°D∠A＝80°，∠B＝60°B2如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，則CD等于_______3cm針對練習(xí)3如圖，把一張長方形的紙沿著對角線折疊，重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？BCADE是由折疊可知，∠EBD=∠CBD∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形針對練習(xí)例4已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h，求作這個等腰三角形ah作法：=a，交AB于點D，使DC=h，BC，則△ABC即為所求ABCMND典例解析例4如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的平分線，AE與CD交于點F，求證：△CEF是等腰三角形．證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．【點睛】“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，是先有角相等再有邊相等，只限于在同一個三角形中，若在兩個不同的三角形中，此結(jié)論不一定成立．典例解析課堂練習(xí)3、求證：如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．已知：CD是△ABC的中線，CD=AB．求證：△ABC是直角三角形ADCB12與同伴交流你在探索思路的過程中的具體做法ACBDE開啟智慧下例各說法對嗎？為什么？等腰三角形兩底角的平分線相等等腰三角形兩腰上的中線相等等腰三角形兩腰上的高相等ACBNMACBHG3、已知：△ABC中，AB=AC，D是AB上一點，延長AC至點E，使CE=BD，連結(jié)DE交BC于F求證：DF=EFHABCDEF1如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有A．5個B．4個C．3個D．2個2一個三角形的一個外角為130°，且它恰好等于一個不相鄰的內(nèi)角的2倍這個三角形是（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形CA達標(biāo)檢測13如圖，直線a、b相交于點O，∠1=50°，點A在直線a上，直線b上存在點B，使以點O、A、B為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的B點有（）A．1個B．2個C．3個D．4個OabDA達標(biāo)檢測4如圖，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則∠DBC=_____，∠BDC=_____，圖中的等腰三角形有_______________________36°72°△ABC、△DBA、△BCDABCD5如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，則線段MN的長為_____9第4題圖第5題圖達標(biāo)檢測6如圖,上午10時，一條船從A處出發(fā)以20海里每小時的速度向正北航行，中午12時到達B處，從A、B望燈塔C，測得∠NAC=40°，∠NBC=80°求從B處到燈塔C的距離解：∵∠NBC=∠A∠C，∴∠C=80°-40°=40°，∴∠C=∠A，∴BA=BC（等角對等邊）∵AB=20×（12-10）=40海里,∴BC=40海里答：B處距離燈塔C40海里80°40°NBAC北達標(biāo)檢測7已知：如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D求證：BC＝CD證明：連接BD∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，即∠DBC=∠BDC，∴BC=CD達標(biāo)檢測8在△ABC中，AB=AC，