四邊形：命題、四邊形中的計(jì)算與證明（壓軸題）（答案版）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)2021全國(guó)中考真題分類匯編（四邊形）命題、四邊形中的計(jì)算與證實(shí)（壓軸題）一、挑選題1.（2021?湖南省衡陽(yáng)市）下列命題是真命題的是（）A．正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和 B．正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為120° C．有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形 D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形【分析】按照多邊形的外角和都是360度對(duì)A作出判斷；按照多邊形的內(nèi)角和公式求出正六邊形的內(nèi)角和，再求出每個(gè)內(nèi)角對(duì)B作出判斷；按照等邊三角形的判定對(duì)C作出判斷；按照矩形的判定對(duì)D作出判斷．【解答】解：A．每個(gè)多邊形的外角和都是360°，故錯(cuò)誤，假命題；B．正六邊形的內(nèi)角和是720°，每個(gè)內(nèi)角是120°，故準(zhǔn)確，真命題；C．有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故錯(cuò)誤，假命題；D．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故錯(cuò)誤，假命題．故選：B．2.（2021?懷化市）以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．多邊形的內(nèi)角大于任何一個(gè)外角 B．隨意多邊形的外角和是360° C．正六邊形是中央對(duì)稱圖形 D．圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)【分析】直接利用中央對(duì)稱圖形的定義以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、多邊形的外角和的性質(zhì)分離分析得出答案．【解答】解：A．多邊形的內(nèi)角不一定大于任何一個(gè)外角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B．隨意多邊形的外角和是360°,準(zhǔn)確，不合題意；C．正六邊形是中央對(duì)稱圖形,準(zhǔn)確，不合題意；D．圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),準(zhǔn)確，不合題意；故選：A．3.（2021?岳陽(yáng)市）下列命題是真命題的是（）A.五邊形內(nèi)角和是 B.三角形的隨意兩邊之和大于第三邊C.內(nèi)錯(cuò)角相等 D.三角形的重心是這個(gè)三角形的三條角平分線的交點(diǎn)【答案】B4.（2021?四川省達(dá)州市）以下命題是假命題的是（）A．的算術(shù)平方根是2 B．有兩邊相等的三角形是等腰三角形 C．一組數(shù)據(jù)：3，﹣1，1，1，2，4的中位數(shù)是1.5 D．過(guò)直線外一點(diǎn)有且惟獨(dú)一條直線與已知直線平行【分析】按照算術(shù)平方根、等腰三角形的定義、中位數(shù)以及平行公理判斷即可．【解答】解：A、＝2的算術(shù)平方根是，符合題意；B、有兩邊相等的三角形是等腰三角形，不符合題意；C、一組數(shù)據(jù)：3，1，4，2，4的中位數(shù)是6.5，不符合題意；D、過(guò)直線外一點(diǎn)有且惟獨(dú)一條直線與已知直線平行，不符合題意；故選：A．5.（2021?四川省廣元市）下列命題中，真命題是（）A.B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C.順次銜接矩形各邊中點(diǎn)的四邊形是正方形D.已知拋物線，當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】【分析】按照零次冪、菱形的判定、正方形的判定及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可直接舉行排除選項(xiàng)．【詳解】解：A、，錯(cuò)誤，故不符合題意；B、對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，錯(cuò)誤，故不符合題意；C、順次銜接矩形各邊中點(diǎn)的四邊形是菱形，錯(cuò)誤，故不符合題意；D、由拋物線可得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，開口向上，然后可得當(dāng)時(shí)，，準(zhǔn)確，故符合題意；故選D．6.（2021?四川省涼山州）下列命題中，假命題是（）A.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半B.等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合C.若，則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)D.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心【答案】C【解析】【分析】按照中點(diǎn)的定義，直角三角形的性質(zhì)，三線合一以及外心的定義分離判斷即可．【詳解】解：A、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故為真命題；B、等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合，故為真命題；C、若在同一條直線上AB=BC，則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，故為假命題；D、三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心，故為真命題；故選C．7.（2021?瀘州市）下列命題是真命題的是（）A.對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形B.對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形【答案】B【解析】【分析】A、按照平行四邊形的判定定理作出判斷；B、按照矩形的判定定理作出判斷；C、按照菱形的判定定理作出判斷；D、按照正方形的判定定理作出判斷．【詳解】解：A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；故本選項(xiàng)準(zhǔn)確，符合題意；C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．8.（2021?遂寧市）下列說(shuō)法準(zhǔn)確的是（）A.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等B.平行四邊形既是軸對(duì)稱圖形，又是中央對(duì)稱圖形C.在代數(shù)式，，，，，中，，，是分式D.若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4【答案】A【解析】【分析】按照角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)稱性，分式的定義，平均數(shù)，中位數(shù)的性質(zhì)分離舉行判斷即可．【詳解】解：A.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，故選項(xiàng)準(zhǔn)確；B.平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，是中央對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.在代數(shù)式，，，，，中，，是分式，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．9.（2021?綏化市）下列命題是假命題的是（）A.隨意一個(gè)三角形中，三角形兩邊的差小于第三邊B.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半C.倘若一個(gè)角的兩邊分離平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角一定相等D.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【答案】C【解析】【分析】按照三角形兩邊之差小于第三邊、中位線定理、平行四邊形的判定主意依次即可求解．【詳解】解：選項(xiàng)A：三角形的兩邊之差小于第三邊，故選項(xiàng)A準(zhǔn)確，不符合題意；選項(xiàng)B：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半，故選項(xiàng)B準(zhǔn)確，不符合題意；選項(xiàng)C：一個(gè)角的兩邊分離平行另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故選項(xiàng)C不準(zhǔn)確，是假命題，符合題意；選項(xiàng)D：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)D準(zhǔn)確，不符合題意；故選：C．10.（2021?呼和浩特市）以下四個(gè)命題：①隨意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分②A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽，若A，B，C，D，E分離賽了5，4，3，2，1場(chǎng)，則由此可知，還沒(méi)有與B隊(duì)比賽的球隊(duì)可能是D隊(duì)③兩個(gè)正六邊形一定位似④有13人參加捐款，其中小王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元，則小王的捐款數(shù)不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命題的個(gè)數(shù)有BA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)11.(2021?內(nèi)蒙古包頭市)下列命題準(zhǔn)確的是（）A.在函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小B.若，則C.垂直于半徑的直線是圓的切線D.各邊相等的圓內(nèi)接四邊形是正方形【答案】D12.（2021?黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延伸線上，銜接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，銜接交于點(diǎn)，銜接，若，．則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤點(diǎn)D到CF的距離為．其中準(zhǔn)確的結(jié)論是（）

A.①②③④ B.①③④⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤【答案】C【解析】【分析】由題意易得，①由三角形中位線可舉行判斷；②由△DOC是等腰直角三角形可舉行判斷；③按照三角函數(shù)可舉行求解；④按照題意可直接舉行求解；⑤過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CF，交CF的延伸線于點(diǎn)H，然后按照三角函數(shù)可舉行求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，則，∵OF∥BE，∴△DGF∽△DCE，∴，∴，故①準(zhǔn)確；∴點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，∴OG⊥CD，∵∠ODC=45°，∴△DOC是等腰直角三角形，∴，故②準(zhǔn)確；∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，∴，故③準(zhǔn)確；∵，∴，∴，故④錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CF，交CF的延伸線于點(diǎn)H，如圖所示：

∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴CF=DF，∴∠CDE=∠DCF，∴，設(shè)，則，在Rt△DHC中，，解得：，∴，故⑤準(zhǔn)確；∴準(zhǔn)確的結(jié)論是①②③⑤；故選C．13.（2021?山東省泰安市）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），銜接AP，以點(diǎn)A為中央，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，銜接DQ，則線段DQ的最小值為（）A． B． C． D．3【分析】如圖，以AB為邊向右作等邊△ABF,作射線FQ交AD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥QE于H．利用全等三角形的性質(zhì)證實(shí)∠AFQ＝90°,推出∠AEF＝60°,推出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線FE,求出DH,可得結(jié)論．【解答】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABF,作射線FQ交AD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥QE于H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAE＝90°,∵△ABF,△APQ都是等邊三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°,BA＝FA,PA＝QA,∴∠BAP＝∠FAQ,在△BAP和△FAQ中，,∴△BAP≌△FAQ(SAS),∴∠ABP＝∠AFQ＝90°,∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°,∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°,∵AB＝AF＝5,AE＝AF÷cos30°＝,∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線FE,∵AD＝BC＝5,∴DE＝AD﹣AE＝,∵DH⊥EF,∠DEH＝∠AEF＝60°,∴DH＝DE?sin60°＝×＝,按照垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)Q與H重合時(shí)，DQ的值最小，最小值為，故選：A．14.（2021?四川省南充市）如圖，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把邊AB沿對(duì)角線BD平移，點(diǎn)A′，B′分離對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B給出下列結(jié)論：①順次銜接點(diǎn)A′，B′，C，D的圖形是平行四邊形；②點(diǎn)C到它關(guān)于直線AA′的對(duì)稱點(diǎn)的距離為48；③A′C﹣B′C的最大值為15；④A′C+B′C的最小值為9．其中準(zhǔn)確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①按照平行四邊形的判定可得結(jié)論．②作點(diǎn)C關(guān)于直線AA′的對(duì)稱點(diǎn)E,銜接CE交AA′于T,交BD于點(diǎn)O,則CE＝4OC．利用面積法求出OC即可．③按照A′C﹣B′C≤A′B′,推出A′C﹣B′C≤15,可得結(jié)論．④作點(diǎn)D關(guān)于AA′的對(duì)稱點(diǎn)D′,銜接DD′交AA′于J,過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥CD交CD的延伸線于E,銜接CD′交AA′于A′,此時(shí)CB′+CA′的值最小，最小值＝CD′．【解答】解：如圖1中，∵AB＝A′B′,AB∥A′B′,AB＝CD,AB∥CD,∴A′B′＝CD,A′B′∥CD,∴四邊形A′B′CD是平行四邊形，故①準(zhǔn)確，作點(diǎn)C關(guān)于直線AA′的對(duì)稱點(diǎn)E,銜接CE交AA′于T,交BD于點(diǎn)O,則CE＝4OC．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°,CD＝AB＝15,∴BD＝＝＝25,∵?BD?CO＝?BC?CD,∴OC＝＝12,∴EC＝48,故②準(zhǔn)確，∵A′C﹣B′C≤A′B′,∴A′C﹣B′C≤15,∴A′C﹣B′C的最大值為15,故③準(zhǔn)確，如圖2中，∵B′C＝A′D,∴A′C+B′C＝A′C+A′D,作點(diǎn)D關(guān)于AA′的對(duì)稱點(diǎn)D′,銜接DD′交AA′于J,過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥CD交CD的延伸線于E,銜接CD′交AA′于A′,此時(shí)CB′+CA′的值最小，最小值＝CD′,由△AJD∽△DAB,可得＝,∴＝,∴DJ＝12,∴DD′＝24,由△DEE′∽△DAB,可得＝＝,∴＝＝,∴ED′＝,DE＝,∴CE＝CD+DE＝15+＝,∴CD′＝＝＝9,∴A′C+B′C的最小值為9．故④準(zhǔn)確，故選：D．15.（2021?四川省眉山市）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB＝6，∠DAC＝60°，點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，銜接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分離位于DF兩側(cè)，下列結(jié)論：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程是2，其中準(zhǔn)確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【分析】①按照∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD為等邊三角形，再由△DFE為等邊三角形，得∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，即可得出結(jié)論①準(zhǔn)確；②如圖，銜接OE，利用SAS證實(shí)△DAF≌△DOE，再證實(shí)△ODE≌△OCE，即可得出結(jié)論②準(zhǔn)確；③通過(guò)等量代換即可得出結(jié)論③準(zhǔn)確；④如圖，延伸OE至E′，使OE′＝OD，銜接DE′，通過(guò)△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)O沿線段OE′運(yùn)動(dòng)到E′，從而得出結(jié)論④準(zhǔn)確；【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD為等邊三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE為等邊三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，故結(jié)論①準(zhǔn)確；②如圖，銜接OE，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE(SAS)，∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE(SAS)，∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故結(jié)論②準(zhǔn)確；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故結(jié)論③準(zhǔn)確；④如圖，延伸OE至E′，使OE′＝OD，銜接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)O沿線段OE′運(yùn)動(dòng)到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB?tan∠ABD＝6?tan30°＝2，∴點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程是2，故結(jié)論④準(zhǔn)確；故選：D．二．填空題1.（2021?江蘇省無(wú)錫市）下列命題中，準(zhǔn)確命題的個(gè)數(shù)為1．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形都相似④對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形都相似【分析】利用相似形的定義分離判斷后即可決定準(zhǔn)確的選項(xiàng)．【解答】解：①所有的正方形都相似，準(zhǔn)確，符合題意；②所有的菱形都相似，錯(cuò)誤，不符合題意；③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形都相似，錯(cuò)誤，不符合題意；④對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形都相似，錯(cuò)誤，不符合題意，準(zhǔn)確的有1個(gè)，故答案為：1．2.（2021?四川省廣元市）如圖，在正方形中，點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，銜接并延伸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，銜接、，交于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④為定值；⑤．以上結(jié)論準(zhǔn)確的有________（填入準(zhǔn)確的序號(hào)即可）．【答案】①②③⑤【解析】【分析】由題意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，對(duì)于①：易知點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，則問(wèn)題可判定；對(duì)于②：把△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則有DE=BH，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF≌△AHF，則有HF=EF，則可判定；對(duì)于③：銜接AC，在BP上截取BM=DP，銜接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易證△AOP∽△ABF，進(jìn)而問(wèn)題可求解；對(duì)于④：過(guò)點(diǎn)A作AN⊥EF于點(diǎn)N，則由題意可得AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，進(jìn)而問(wèn)題可求解；對(duì)于⑤由③可得，進(jìn)而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比為，最后按照相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，①∵，∴由四邊形內(nèi)角和可得，∴點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，∴∠AFP=∠ABD=45°，∴△APF是等腰直角三角形，∴，故①準(zhǔn)確；②把△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，如圖所示：∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE，∴，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴HF=EF，∵，∴，故②準(zhǔn)確；③銜接AC，在BP上截取BM=DP，銜接AM，如圖所示：∵點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，∴OB=OD，，∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，∴，由①可得點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴△AOP∽△ABF，∴，∴，∵，∴，故③準(zhǔn)確；④過(guò)點(diǎn)A作AN⊥EF于點(diǎn)N，如圖所示：由②可得∠AFB=∠AFN，∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF，∴△ABF≌△ANF（AAS），∴AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，∵點(diǎn)P在線段上，∴的長(zhǎng)不可能為定值，故④錯(cuò)誤；⑤由③可得，∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG，∴△APG∽△AFE，∴，∴，∴，∴，故⑤準(zhǔn)確；綜上所述：以上結(jié)論準(zhǔn)確的有①②③⑤；故答案為①②③⑤．3.（2021?遂寧市）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，連結(jié)BE，以BE為對(duì)角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對(duì)角線BD相交于點(diǎn)H，連結(jié)AF，有以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤若，則，你認(rèn)為其中準(zhǔn)確是_____（填寫序號(hào)）【答案】①②③④【解析】【分析】①四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對(duì)角線，得∠ABD＝∠FBE＝45°，按照等式的基本性質(zhì)決定出；②再按照正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍，得到兩邊對(duì)應(yīng)成比例，再按照角度的相減得到夾角相等，利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似即可判斷；④按照兩角相等的兩個(gè)三角形相似得到△EBH∽△DBE，從而得到比例式，按照BE＝BG，代換即可作出判斷；③由相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠BAF＝∠BDE＝45°，可得出AF在正方形ABCD對(duì)角線上，按照正方形對(duì)角線垂直即可作出判斷．⑤設(shè)CE=x，DE=3x，則BC=CD=4x，結(jié)合BE2＝BH?BD，求出BH，DH，即可判斷．【詳解】解：①∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對(duì)角線，∴∠ABD＝∠FBE＝45°，又∵∠ABF＝45°?∠DBF，∠DBE＝45°?∠DBF，∴，∴選項(xiàng)①準(zhǔn)確；②∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，∴AD＝AB，BF＝BE，∴BD＝AB，BE=BF，∴又∵，∴，∴選項(xiàng)②準(zhǔn)確；④∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對(duì)角線，∴∠BEH＝∠BDE＝45°，又∵∠EBH＝∠DBE，∴△EBH∽△DBE，∴，即BE2＝BH?BD，又∵BE＝BG，∴，∴選項(xiàng)④確；③由②知：，又∵四邊形ABCD為正方形，BD為對(duì)角線，∴∠BAF＝∠BDE＝45°，∴AF在正方形另外一條對(duì)角線上，∴AF⊥BD，∴③準(zhǔn)確，⑤∵，∴設(shè)CE=x，DE=3x，則BC=CD=4x，∴BE=，∵BE2＝BH?BD，∴，∴DH=BD-BH=,∴，故⑤錯(cuò)誤，綜上所述：①②③④準(zhǔn)確，故答案是：①②③④．4.（2021?天津市）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分離在的延伸線上，且，G為的中點(diǎn)，銜接，交于點(diǎn)H，銜接，則的長(zhǎng)為________．【答案】【解析】【分析】先作輔助線構(gòu)造直角三角形，求出CH和MG的長(zhǎng)，再求出MH的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解:如圖,作OK⊥BC，垂足點(diǎn)K，∵正方形邊長(zhǎng)為4，∴OK=2，KC=2，∴KC=CE，∴CH是△OKE的中位線∴，作GM⊥CD，垂足為點(diǎn)M，∵G點(diǎn)為EF中點(diǎn)，∴GM是△FCE的中位線，∴，，∴，在Rt△MHG中，，故答案為：．5.（2021?湖南省張家界市）如圖,在正方形外取一點(diǎn),銜接,,,過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),若,.下列結(jié)論:①；②；③點(diǎn)到直線的距離為；④，其中準(zhǔn)確結(jié)論的序號(hào)為.①②④6.（2021?福建?。┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，點(diǎn)E，F(xiàn)分離是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與A，B重合，且EF＝AB，G是五邊形AEFCD內(nèi)滿意GE＝GF且∠EGF＝90°的點(diǎn)．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①∠GEB與∠GFB一定互補(bǔ)；②點(diǎn)G到邊AB，BC的距離一定相等；③點(diǎn)G到邊AD，DC的距離可能相等；④點(diǎn)G到邊AB的距離的最大值為2．其中準(zhǔn)確的是①②④.（寫出所有準(zhǔn)確結(jié)論的序號(hào)）7.（2021?廣西賀州市）如圖．在邊長(zhǎng)為6的正方形中，點(diǎn)，分離在，上，且，，垂足為，是對(duì)角線的中點(diǎn)，銜接、則的長(zhǎng)為________．【答案】【解析】【分析】按照，，則A、B、O、G四點(diǎn)共圓，則可以得到，解直角三角形即可得結(jié)果．【詳解】解：如圖，銜接，以為半徑，的中點(diǎn)作圓，過(guò)作是正方形，是對(duì)角線，是正方形，在中在中故答案為．8.（2021?湖北省黃石市）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分離在邊、上，且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）若正方形的邊長(zhǎng)為2，則的周長(zhǎng)是______．（2）下列結(jié)論：①；②若是的中點(diǎn)，則；③銜接，則為等腰直角三角形．其中準(zhǔn)確結(jié)論的序號(hào)是______（把你認(rèn)為所有準(zhǔn)確的都填上）．【答案】①.4②.①③【解析】【分析】(1)將AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，F(xiàn)點(diǎn)落在G點(diǎn)處，證實(shí)，，進(jìn)而得到，即可求出的周長(zhǎng)；(2)對(duì)于①：將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，M點(diǎn)落在H點(diǎn)處，證實(shí)，即可判斷；對(duì)于②：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，BE=x，則EF=x+1，CE=2-x，在Rt△EFC中使用勾股定理求出x，在利用∠AEF=∠AEB即可求解；對(duì)于③：證實(shí)A、M、F、D四點(diǎn)共圓，得到∠AFM=∠ADM=45°進(jìn)而求解．【詳解】解：(1)將AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，F(xiàn)點(diǎn)落在G點(diǎn)處，如下圖所示：∵，且∴，在和中：，∴，∴，又∠1+∠2=45°，∠3+∠2=45°，∴∠1=∠3，∵ABCD為正方形，∴AD=AB，在和中：，∴，∴∴，∴、、三點(diǎn)共線，∴，∴，故答案為：；(2)對(duì)于①：將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，M點(diǎn)落在H點(diǎn)處，如下圖所示：∵∠1+∠2=45°，∠1+∠4=∠EAH-∠EAF=45°，∴∠2=∠4，在和中：,∴，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得：，在和中：,∴，∴，∴，故①準(zhǔn)確；對(duì)于②：由(1)中可知：EF=BE+DF，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，GB=DF=1，CF=1，設(shè)BE=x，則EF=x+1，CE=2-x，在Rt△EFC中，由勾股定理：，∴，解得，即，∴,故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：如下圖所示：∵∠EAF=∠BDC=45°，∴A、M、F、D四點(diǎn)共圓，∴∠AFM=∠ADM=45°，∴△AMF為等腰直角三角形，故③準(zhǔn)確；故答案為：①③．三、解答題1.（2021?遼寧省本溪市）在?中，，平分，交對(duì)角線于點(diǎn)G，交射線于點(diǎn)E，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，銜接，請(qǐng)直接寫出線段和線段的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)，銜接，請(qǐng)寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)時(shí)，銜接，若，請(qǐng)直接寫出與面積的比值．【答案】（1）；（2）,理由見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）延伸，交于點(diǎn)，按照已知條件證實(shí)即可；（2）銜接，過(guò)F作交的延伸線于點(diǎn)，由，得，在由三邊關(guān)系利用勾股定理可得；（3）證實(shí)，得值，與的面積分離與的面積成比例，可得與面積的比值．詳解】（1）如圖,延伸，交于點(diǎn)，由題意，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，四邊形是平行四邊形四邊形是平行四邊形平分四邊形是菱形是等邊三角形,，，四邊形是平行四邊形=在和中．（2）銜接，過(guò)F作交的延伸線于點(diǎn)四邊形是矩形，，，，平分四邊形是矩形在和中設(shè)則在中即收拾得：．（3）如圖由（1）可知平分四邊形是平行四邊形．2.（2021?宿遷市）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖①，銜接BG、CF，求的值；(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，銜接CF、BE，分離去CF、BE的中點(diǎn)M、N，銜接MN、試探索：MN與BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)銜接BE、BF，分離取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，銜接QN，AE=6，請(qǐng)直接寫出線段QN掃過(guò)的面積．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)聯(lián)想到銜接，證實(shí)即可求解；（2）由M、N分離是CF、BE的中點(diǎn)，聯(lián)想到中位線，故想到銜接BM并延伸使BM=MH，銜接FH、EH，則可證即可得到，再由四邊形內(nèi)角和為可得，則可證實(shí)，即是等腰直角三角形，最后利用中位線的性質(zhì)即可求解；（3）Q、N兩點(diǎn)因旋轉(zhuǎn)位置發(fā)生改變，所以Q、N兩點(diǎn)的軌跡是圓，又Q、N兩點(diǎn)分離是BF、BE中點(diǎn)，所以想到取AB的中點(diǎn)O，結(jié)合三角形中位線和圓環(huán)面積的求解即可解答．【詳解】解：（1）銜接四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形分離平分即且都是等腰直角三角形（2）銜接BM并延伸使BM=MH，銜接FH、EH是CF的中點(diǎn)又在四邊形BEFC中又即即又四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形三角形BEH是等腰直角三角形M、N分離是BH、BE的中點(diǎn)（3）取AB的中點(diǎn)O，銜接OQ、ON，銜接AF在中，O、Q分離是AB、BF的中點(diǎn)同理可得所以QN掃過(guò)的面積是以O(shè)為圓心，和為半徑的圓環(huán)的面積．3.（2021?山東省臨沂市）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在F處，銜接BF并延伸，與∠DAF的平分線相交于點(diǎn)H，與AE，CD分離相交于點(diǎn)G，M，銜接HC．（1）求證：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求點(diǎn)D到直線BH的距離；（3）當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上（端點(diǎn)除外）運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BHC的大小是否變化？為什么？【分析】(1)由折疊的性質(zhì)得出∠BAG＝∠GAF＝∠BAF,B,F關(guān)于AE對(duì)稱,證出∠EAH＝BAD＝45°,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案；(2)銜接DH,DF,交AH于點(diǎn)N,由(1)可知AF＝AD,∠FAH＝∠DAH,得出∠DHF＝90°,由勾股定理求出AE＝,證實(shí)△AEB∽△ABG,得出比例線段,,可求出AG,BG的長(zhǎng),則可求出答案．(3)主意一:銜接BD,由銳角三角函數(shù)的定義求出,證實(shí)△BDF∽△CDH,由相似三角形的性質(zhì)得出∠CDH＝∠BFD,則可得出答案．主意二:銜接BD,證出點(diǎn)B,C,H,D四點(diǎn)共圓,則可得出結(jié)論．【解答】(1)證實(shí):∵將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在F處，∴∠BAG＝∠GAF＝∠BAF,B,F關(guān)于AE對(duì)稱,∴AG⊥BF,∴∠AGF＝90°,∵AH平分∠DAF,∴∠FAH＝∠FAD,∴∠EAH＝∠GAF+∠FAH＝∠BAF+∠FAD＝(∠BAF+∠FAD)＝∠BAD,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD＝90°,∴∠EAH＝∠BAD＝45°,∵∠HGA＝90°,∴GA＝GH；(2)解:如圖1,銜接DH,DF,交AH于點(diǎn)N,由(1)可知AF＝AD,∠FAH＝∠DAH,∴AH⊥DF,FN＝DN,∴DH＝HF,∠FNH＝∠DNH＝90°,又∵∠GHA＝45°,∴∠FNH＝45°＝∠NDH＝∠DHN,∴∠DHF＝90°,∴DH的長(zhǎng)為點(diǎn)D到直線BH的距離,由(1)知AE2＝AB2+BE2,∴AE＝＝＝,∵∠BAE+∠AEB＝∠BAE+∠ABG＝90°,∴∠AEB＝∠ABG,又∠AGB＝∠ABE＝90°,∴△AEB∽△ABG,∴,,∴AG＝＝,∴BG＝,由(1)知GF＝BG,AG＝GH,∴GF＝,GH＝,∴DH＝FH＝GH﹣GF＝＝．即點(diǎn)D到直線BH的距離為；(3)不變．理由如下:主意一:銜接BD,如圖2,在Rt△HDF中,,在Rt△BCD中,＝sin45°＝,∴,∵∠BDF+∠CDH＝45°,∠FDC+∠CDH＝45°,∴∠BDF＝∠CDH,∴△BDF∽△CDH,∴∠CDH＝∠BFD,∵∠DFH＝45°,∴∠BFD＝135°＝∠CHD,∵∠BHD＝90°,∴∠BHC＝∠CHD﹣∠BHD＝135°﹣90°＝45°．主意二:∵∠BCD＝90°,∠BHD＝90°,∴點(diǎn)B,C,H,D四點(diǎn)共圓,∴∠BHC＝∠BDC＝45°,∴∠BHC的度數(shù)不變．4.（2021?陜西?。﹩?wèn)題提出（1）如圖1，在?ABCD中，∠A＝45°，AD＝6，E是AD的中點(diǎn)，且DF＝5，求四邊形ABFE的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）問(wèn)題解決（2）某市舉行河灘治理，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境．如圖2所示，現(xiàn)計(jì)劃在河畔的一處灘地上計(jì)劃一個(gè)五邊形河畔公園ABCDE．按設(shè)計(jì)要求，使點(diǎn)O、P、M、N分離在邊BC、CD、AE、AB上，且滿意BO＝2AN＝2CP，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，CD＝600m，AE＝900m．為滿意人工湖周邊各功能場(chǎng)所及綠化用地需要，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最小的四邊形人工湖OPMN？若存在，求四邊形OPMN面積的最小值及這時(shí)點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD交CD的延伸線于H，先求出AH＝3，同理EG＝，最后用面積的差即可得出結(jié)論；（2）分離延伸AE，與CD，交于點(diǎn)K，則四邊形ABCK是矩形，設(shè)AN＝x米，則PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，MK＝2x米，PK＝（800﹣x）米，進(jìn)而得出S四邊形OPMN＝4（x﹣350）2+470000，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD交CD的延伸線于H，∴∠H＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∴∠ADH＝∠BAD＝45°，在Rt△ADH中，AD＝2，∴AH＝AD?sinA＝6×sin45°＝3，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴DE＝AD＝8，同理EG＝，∵DF＝5，∴FC＝CD﹣DF＝3，∴S四邊形ABFE＝S?ABCD﹣S△DEF﹣S△BFC＝7×3﹣×5×﹣＝；（2）存在，如圖2，分離延伸AE，與CD，則四邊形ABCK是矩形，∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米，設(shè)AN＝x米，則PC＝x米，BN＝（800﹣x）米，∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣5x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米，∴S四邊形OPMN＝S矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM＝800×1200﹣x（1200﹣2x）﹣x（1200﹣6x）﹣＝7（x﹣350）2+470000，∴當(dāng)x＝350時(shí)，S四邊形OPMN最?。?70000（平方米），AM＝1200﹣2x＝1200﹣7×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，∴符合設(shè)計(jì)要求的四邊形OPMN面積的最小值為47000平方米，此時(shí)．5.（2021?湖北省宜昌市）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，BE＝BC，EF⊥CD，垂足為F．將四邊形CBEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到四邊形CB'E'F′，B′E′所在的直線分離交直線BC于點(diǎn)G，交直線AD于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)K．E′F′所在的直線分離交直線BC于點(diǎn)H，交直線AD于點(diǎn)Q，銜接B′F′交CD于點(diǎn)O．（1）如圖1，求證：四邊形BEFC是正方形；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)D重合時(shí)．①求證：GC＝DC；②若OK＝1，CO＝2，求線段GP的長(zhǎng)；（3）如圖3，若BM∥F′B′交GP于點(diǎn)M，tan∠G＝，求的值．【分析】（1）按照鄰邊相等的矩形的正方形證實(shí)即可．（2）①證實(shí)△CGB′≌△CDF′（ASA），可得結(jié)論．②設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，再證實(shí)GK＝PK，求出PG＝2PK，求出PK可得結(jié)論．（3）如圖3中，延伸B′F′交CH的延伸線于R．由tan∠G＝tan∠F′CH＝＝，設(shè)F′H＝x．CF′＝2x，則CH＝x，由△RB′C∽△RF′H，推出＝＝＝，推出CH＝RH，B′F′＝RF′，可得CR＝2CH＝2x，S△CF′R＝2S△CF′H，再由△GB′C∽△GE′H，推出＝＝＝，可得＝＝推出GB＝2（﹣1）x，由△GBM∽△CRF′，可得＝（）2＝[]2＝，由此即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證實(shí)：如圖1中，在矩形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，∵EF⊥AB，∴∠EFB＝90°，∴四邊形BEFC是矩形，∴BE＝BC，∴四邊形BEFC是正方形．（2）①證實(shí)：如圖2中，∵∠GCK＝∠DCH＝90°，∴∠CDF′+∠H＝90°，∠KGC+∠H＝90°，∴∠KGC＝∠CDF′，∵B′C＝CF′，∠GB′C＝∠CF′D，∴△CGB′≌△CDF′（ASA），∴CG＝CD．②解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，∵KB′∥CF′，∴△B′KO∽△F′CO，∴＝＝，∴B′K＝B′C＝a，在Rt△B′KC中，B′K2+B′C2＝CK2，∴a2+（a）2＝32，∴a＝，由＝，可得B′K＝KE′＝a，∵KE′∥CF′∴△DKE′∽△DCF′，∴＝＝＝，∴DE′＝E′F′＝a，∴PE′＝2a，∴PK＝a，∵DK＝KC，∠P＝∠G，∠DKP＝∠GKC，∴△PKD≌△GKC（AAS），∴GK＝PK，∴PG＝2PK＝5a，∴PG＝5a＝6．（3）解：如圖3中，延伸B′F′交CH的延伸線于R．∵CF′∥GP，RB∥BM，∴△GB∽△GRB′，∠G＝∠F′CR，∴tan∠G＝tan∠F′CH＝＝，設(shè)F′H＝x．CF′＝2x，則CH＝x，∴CB′＝CF′＝E′F′＝BC＝2x，∵CB′∥HE′，∴△RB′C∽△RF′H，∴＝＝＝，∴CH＝RH，B′F′＝RF′，∴CR＝2CH＝2x，∴S△CF′R＝2S△CF′H，∵CB′∥HE′，∴△GB′C∽△GE′H，∴＝＝＝，∴＝＝∴GB＝2（﹣1）x，∵△GBM∽△CRF′，∴＝（）2＝[]2＝，∵S△CRF′＝2S△CHF′，∴＝．6.（2021?廣東省）如題圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)、分離在線段、上，且，，． （1）求證：； （2）求證：以為直徑的圓與相切； （3）若，，求的面積．【答案】解：（1），設(shè)，，，，又，，，．…………2分（2）如圖，取中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，，，，又，，為中點(diǎn)，，，又，，，∴又，以為直徑的圓與相切．（3），，，，，，又，為等邊三角形，，由（2）得：，，，，在中，．在中，，如圖，過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)分離向作垂線交于點(diǎn)，，，，，，．7.（2021?四川省廣元市）如圖1，在中，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)（含端點(diǎn)A、B），過(guò)點(diǎn)B作垂直于射線，垂足為E，點(diǎn)F在射線上，且，銜接、．（1）求證：；（2）如圖2，銜接，點(diǎn)P、M、N分離為線段、、的中點(diǎn)，銜接、、．求的度數(shù)及的值；（3）在（2）的條件下，若，直接寫出面積的最大值．【答案】（1）證實(shí)見(jiàn)解析；（2）；；（3）【解析】【分析】（1）按照兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等判定即可．（2）的值可以按照中位線性質(zhì)，舉行角轉(zhuǎn)換，通過(guò)三角形內(nèi)角和定理求解即可，的比值轉(zhuǎn)換為的比值即可求得.（3）過(guò)點(diǎn)作垂直于的延伸線于點(diǎn)，，將相關(guān)線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為CE，可得關(guān)系，看見(jiàn)圖象，當(dāng)時(shí)，可得最大值．【詳解】（1）證實(shí)：∵，∴,∵垂直于射線,∴又∵∴,∵即：又∵∴（2）解：∵點(diǎn)P、M、N分離為線段、、的中點(diǎn)∴，，∴,∴又∵∴又∵∴∴又∵∴又∵又∵∴∴（3）如下圖：過(guò)點(diǎn)作垂直于的延伸線于點(diǎn),又∵∴∴∴當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，在以的中點(diǎn)為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最大，∴，8.（2021?浙江省嘉興市）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁(yè)例2后，進(jìn)一步開展探索活動(dòng)：將一個(gè)矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，連結(jié)BD．[探索1]如圖1，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)C′恰好在DB延伸線上．若AB＝1，求BC的長(zhǎng)．[探索2]如圖2，連結(jié)AC′，過(guò)點(diǎn)D′作D′M∥AC′交BD于點(diǎn)M．線段D′M與DM相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．[探索3]在探索2的條件下，射線DB分離交AD′，AC′于點(diǎn)P，N（如圖3），發(fā)現(xiàn)線段DN，MN，PN存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出這個(gè)關(guān)系式，并加以證實(shí)．【分析】（1）如圖1，設(shè)BC＝x，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1，證實(shí)△D'C'B∽△ADB，由相似三角形的性質(zhì)得出，由比例線段得出方程，求出x的值即可得出答案；（2）銜接DD'，證實(shí)△AC'D'≌△DAB（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠D'AC'＝∠ADB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADD'＝∠AD'D，證出∠MDD'＝∠MD'D，則可得出結(jié)論；（3）銜接AM，證實(shí)△AD'M≌△ADM（SSS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠MAD'＝∠MAD，得出MN＝AN，證實(shí)△NPA∽△NAD，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，設(shè)BC＝x，∵矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形AB′C′D′，∴點(diǎn)A，B，D’在同向來(lái)線上，∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1，∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，∵∠BAD＝∠D'＝90°，∴D'C'∥DA，又∵點(diǎn)C'在DB的延伸線上，∴△D'C'B∽△ADB，∴，∴，解得x1＝，x2＝（不合題意，舍去），∴BC＝．（2）D'M＝DM．證實(shí)：如圖2，銜接DD'，∵D'M∥AC'，∴∠AD'M＝∠D'AC'，∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，∴△AC'D'≌△DAB（SAS），∴∠D'AC'＝∠ADB，∴∠ADB＝∠AD'M，∵AD'＝AD，∴∠ADD'＝∠AD'D，∴∠MDD'＝∠MD'D，∴D'M＝DM；（3）關(guān)系式為MN2＝PN?DN．證實(shí)：如圖3，銜接AM，∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，∴△AD'M≌△ADM（SSS），∴∠MAD'＝∠MAD，∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，∴∠AMN＝∠NAM，∴MN＝AN，在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，∴△NPA∽△NAD，∴，∴AN2＝PN?DN，∴MN2＝PN?DN．9.（2021?浙江省紹興市）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)F是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，∠ADB＝30°．連結(jié)EF（1）若EF⊥BD，求DF的長(zhǎng)；（2）若PE⊥BD，求DF的長(zhǎng)；（3）直線PE交BD于點(diǎn)Q，若△DEQ是銳角三角形，求DF長(zhǎng)的取值范圍．【分析】（1）由題意得點(diǎn)P在BD上，按照含30°直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由對(duì)稱可得△DEF是等腰三角形，分兩種情況畫出圖形，按照含30°直角三角形的性質(zhì)即可求解；（3）分兩種情況畫出圖形，按照中點(diǎn)的定義以及直角三角形的性質(zhì)分離求出EM、FM、DM的值，即可得出DF的值，結(jié)合（2）中求得的DF的值即可得出答案?！窘獯稹拷猓海?）∵點(diǎn)D、點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱，∴點(diǎn)P在BD上，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AB＝4，∠ADB＝30°．∴AD＝4，∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴DE＝2，∵EF⊥BD，∴DF＝8；（2）①如圖2，∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．∴∠PED＝60°,由對(duì)稱可得，EF平分∠PED，∴∠DEF＝∠PEF＝30°，∴△DEF是等腰三角形，∴DF＝EF,∵PE⊥BD,∠ADB＝30°，∴QE＝,∵∠PEF＝30°，∴EF＝2,∴DF＝EF＝2；②如圖5，∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．∴∠PED＝120°,由對(duì)稱可得，PF＝DF,EF平分∠PED，∴∠DEF＝∠PEF＝120°，∴∠EFD＝30°,∴△DEF是等腰三角形，∵PE⊥BD,∴QD＝QF＝DF,∵PE⊥BD,∠ADB＝30°，∴QE＝,QD＝3∴DF＝7QD＝6；∴DF的長(zhǎng)為2或6；（3）由（2）得，當(dāng)∠DQE＝90°時(shí),當(dāng)∠DEQ＝90°時(shí)，第一種情況，如圖4，∵EF平分∠PED,∴∠DEF＝45°,過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于點(diǎn)M，設(shè)EM＝a,DM＝a，∴a+a＝2，∴a＝8﹣,DF＝6﹣8,∴2<DF<；第二種情況,如圖5,∵EF平分∠AEQ,∴∠MEF＝45°,過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于點(diǎn)M，設(shè)EM＝a,DM＝a，∴a﹣a＝2，∴a＝5+,DF＝6+6,∵6+5＞8,∴DF最大值為5，∴6<DF≤8。綜上，DF長(zhǎng)的取值范圍為3<<6﹣2<DF≤8．10.（2021?浙江省溫州市）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)）（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）當(dāng)AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF時(shí)【分析】（1）證AE∥CF，再證△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)定義和勾股定理求出AE＝3，BE＝4，再證∠ECF＝∠CBE，則tan∠CBE＝tan∠ECF，得＝，求出EF＝﹣2，進(jìn)而得出答案．【解答】（1）證實(shí)：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，設(shè)AE＝4a，則BE＝4a，由勾股定理得：（3a）3+（4a）2＝52，解得：a＝1或a＝﹣2（舍去），∴AE＝3，BE＝4，由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝2，∵∠CBE＝∠EAF，∴∠ECF＝∠CBE，∴tan∠CBE＝tan∠ECF，∴＝，∴CF2＝EF×BF，設(shè)EF＝x，則BF＝x+4，∴52＝x（x+4），解得：x＝﹣5或x＝﹣,（舍去），即EF＝﹣2，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝4，∴BD＝BE+EF+DF＝8+﹣2+4＝8+．11.（2021?湖北省荊門市）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF＝AE，F(xiàn)H⊥BH．（1）求證：BE＝CH；（2）若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的長(zhǎng)．【分析】（1）由正方形ABCD，∠AEF＝90°，F(xiàn)H⊥BH，可得∠H＝∠B，∠AEB＝∠F，從而△ABE≌△EHF，可得EH＝AB＝BC，即可證實(shí)CH＝BE；（2）銜接DF，過(guò)F作FP⊥CD于P，證實(shí)四邊形PCHF是正方形，可得PF＝CP＝BE＝x，DP＝DC﹣CP＝3﹣x，即可在Rt△DPF中，得DF＝．【解答】（1）證實(shí)：∵正方形ABCD，∴∠B＝90°，AB＝BC，∵FH⊥BH，∴∠H＝90°＝∠B，∠F＝90°﹣∠FEH，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＝90°﹣∠FEH，∴∠AEB＝∠F，在△ABE和△EHF中，，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴EH＝AB＝BC，BE＝FH，∴EH﹣EC＝BC﹣EC，即CH＝BE；（2）銜接DF，過(guò)F作FP⊥CD于P，如圖：∵∠H＝∠DCH＝∠FPC＝90°，∴四邊形PCHF是矩形，由（1）知：BE＝FH＝CH，∴四邊形PCHF是正方形，∴PF＝CP＝CH＝BE＝x，∵DC＝AB＝3，∴DP＝DC﹣CP＝3﹣x，Rt△DPF中，DF＝，∴DF＝＝．12.（2021?海南?。┤鐖D1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合，點(diǎn)F是BA的延伸線上一點(diǎn)，且AF＝CE．（1）求證：△DCE≌△DAF；（2）如圖2，銜接EF，交AD于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥EF，垂足為H，延伸DH交BF于點(diǎn)G，銜接HB，HC．①求證：HD＝HB；②若DK?HC＝，求HE的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②．【解析】【分析】（1）直接按照SAS證實(shí)即可；（2）①按照（1）中結(jié)果及題意，證實(shí)為等腰直角三角形，按照直角三角形斜邊上的中線即可證實(shí)；②按照已知條件，先證實(shí)，再證實(shí)，然后按照等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證實(shí)：∵四邊形是正方形，．又，．（2）①證實(shí)；由（1）得，．．為等腰直角三角形．又，點(diǎn)H為的中點(diǎn)．．同理，由是斜邊上的中線得，．．②∵四邊形是正方形，．又，．．又為等腰直角三角形，．．四邊形是正方形，．．．．．又∵在等腰直角三角形中，．．13.（2021?廣西玉林市）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知OA＝OC，OB＝OD，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥BD，分離交AB、DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，銜接DE，BF．（1）求證：四邊形DEBF是菱形：（2）設(shè)AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的長(zhǎng)．【分析】（1）先按照對(duì)角線互相平分證得四邊形ABCD為平行四邊形，在證得△DOF≌△BOE，從而得到DF∥BE，DF＝BE，得到四邊形DEBF為平行四邊形，按照對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形從而證得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，按照勾股定理求得AD、AB的長(zhǎng)度，從而得到∠ABD＝30°，按照菱形性質(zhì)得到△BEF為等邊三角形，再按照勾股定理求出AG和GF的長(zhǎng)度，按照勾股定理求出AF的長(zhǎng)．【解答】（1）證實(shí)：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△BOE和△DOF中，，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形DEBF是菱形；（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，如圖，∵AD∥EF，EF⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∵AD+AB＝12，BD＝4，∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，解得AD＝4，AB＝8，∴∠ABD＝30°，∵四邊形DEBF是菱形，∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∵OB＝OD，EF∥AD，∴AE＝BE＝4，∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2，在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，按照勾股定理得，F(xiàn)G＝，在Rt△AGF中，AG＝6，按照勾股定理得，AF＝＝＝4．14.（2021?廣西賀州市）如圖，在四邊形中，，，，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，且．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）先利用角平分線判定定理證得，再由已知角的等量關(guān)系推出，并可得，則可證實(shí)四邊形是平行四邊形，最后由得，即可證得結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)可得，再按照角的等量關(guān)系求出，則可利用三角函數(shù)求得，此題得解．【詳解】（1）證實(shí)：如圖，∵，∴，又∵，且，∴為的角平分線，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是菱形．（2）解：由（1）得四邊形是菱形，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴．15.（2021?江蘇省無(wú)錫市）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)E是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為直角邊在直線BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，設(shè)BE＝m．（1）如圖，若點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，EF交CD于點(diǎn)P，AF交CD于點(diǎn)Q，連結(jié)CF，①當(dāng)m＝時(shí)，求線段CF的長(zhǎng)；②在△PQE中，設(shè)邊QE上的高為h，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示h，并求h的最大值；（2）設(shè)過(guò)BC的中點(diǎn)且垂直于BC的直線被等腰直角三角形AEF截得的線段長(zhǎng)為y，請(qǐng)直接寫出y與m的關(guān)系式．【分析】（1）①過(guò)F作FG⊥BC于G，銜接CF，先證實(shí)△ABE≌△EGF，可得FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，則EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝，再在Rt△CGF中，即可求CF＝；②△ABE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ADE'，過(guò)P作PH⊥EQ于H，由△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，可得C、D、E'共線，由△EAQ≌△E'AQ，可得∠E'＝∠AEQ，故∠AEB＝∠AEQ，從而∠QEP＝90°﹣∠AEQ＝90°﹣∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分線，有PH＝PC，用△ABE∽△ECP，可求CP＝m（1﹣m），即可得h＝﹣m2+m；（2）分兩種情況：①當(dāng)m＜時(shí)，由△ABE∽△ECP，可求HG＝﹣m2+m，按照MG∥CD，G為BC中點(diǎn)，可得MN＝DQ，設(shè)DQ＝x，則EQ＝x+m，CQ＝1﹣x，Rt△EQC中，EC2+CQ2＝EQ2，可得MN＝，故y＝NH＝MG﹣HG﹣MN＝1﹣m﹣+m2，②當(dāng)m＞時(shí)，由MG∥AB，可得HG＝，同①可得MN＝DQ＝，即可得y＝，【解答】解：（1）①過(guò)F作FG⊥BC于G，銜接CF，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∠AEF＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠EFG，∠B＝∠G＝90°，∵等腰直角三角形AEF，∴AE＝EF，在△ABE和△EGF中，，∴△ABE≌△EGF（AAS），∴FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，∴EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝，在Rt△CGF中，CF＝＝；②△ABE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ADE'，過(guò)P作PH⊥EQ于H，如圖：∵△ABE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ADE'，∴△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE