安徽省合肥市2024屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試卷及答案

2024年合肥市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）姓名__________座位號(hào)__________注意事項(xiàng)：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡和試卷上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.144B.120C.100D.803.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則等于（）A.0.14B.0.62C.0.72D.0.864.雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（）A.B.C.D.5.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且，則（）A.1B.C.D.26.已知四面體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（）A.B.C.D.7.已知直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)弦的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，記，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.現(xiàn)有甲?乙兩家檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)某品牌的一款智能手機(jī)進(jìn)行拆解測(cè)評(píng)，具體打分如下表（滿分100分）.設(shè)事件表示從甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中任取3個(gè)，至多1個(gè)超過(guò)平均分”，事件表示“從甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中任取3個(gè)，恰有2個(gè)超過(guò)平均分”.下列說(shuō)法正確的是（）機(jī)構(gòu)名稱甲乙分值90989092959395929194A.甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分小于乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分B.甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差大于乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差C.乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的第一四分位數(shù)為91.5D.事件互為對(duì)立事件10.函數(shù)的圖象可能是（）A.B.C.D.11.已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，左焦點(diǎn)為為上異于的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，交軸于點(diǎn)，則（）A.存在點(diǎn)，使B.C.的最小值為D.周長(zhǎng)的最大值為8三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若，則的取值范圍是__________.13.已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則的最大值為__________.14.已知點(diǎn)，定義為的“鏡像距離”.若點(diǎn)在曲線上，且的最小值為2，則實(shí)數(shù)的值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）己知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.16.（15分）如圖，三棱柱中，四邊形均為正方形，分別是棱的中點(diǎn)，為上一點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.17.（15分）2023年9月26日，第十四屆中國(guó)（合肥）國(guó)際園林博覽會(huì)在合肥駱崗公園開幕.本屆園博會(huì)以“生態(tài)優(yōu)先，百姓?qǐng)@博”為主題，共設(shè)有5個(gè)省內(nèi)展園?26個(gè)省外展園和7個(gè)國(guó)際展園，開園面積近3.23平方公里.游客可通過(guò)乘坐觀光車?騎自行車和步行三種方式游園.（1）若游客甲計(jì)劃在5個(gè)省內(nèi)展園和7個(gè)國(guó)際展園中隨機(jī)選擇2個(gè)展園游玩，記甲參觀省內(nèi)展園的數(shù)量為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）為更好地服務(wù)游客，主辦方隨機(jī)調(diào)查了500名首次游園且只選擇一種游園方式的游客，其選擇的游園方式和游園結(jié)果的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：游園方式游園結(jié)果觀光車自行車步行參觀完所有展園808040未參觀完所有展園20120160用頻率估計(jì)概率.若游客乙首次游園，選擇上述三種游園方式的一種，求游園結(jié)束時(shí)乙能參觀完所有展園的概率.18.（17分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，過(guò)作的切線，交于點(diǎn)，且與軸分別交于點(diǎn).（1）求證：；（2）設(shè)點(diǎn)是上異于的一點(diǎn)，到直線的距離分別為，求的最小值.19.（17分）“-數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)是非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意，定義“-數(shù)”利用“-數(shù)”可定義“-階乘”和“-組合數(shù)”，即對(duì)任意，（1）計(jì)算：；（2）證明：對(duì)于任意，（3）證明：對(duì)于任意，2024年合肥市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.A2.B3.D4.B5.A6.C7.D8.A二?選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9.BD10.ABD11.BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.13.14.四?解答題：本題共5小題，共77分.15.（13分）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?）因?yàn)闀r(shí)，有極大值，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，在時(shí)有極大值，所以；（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，要證，即證，即證：.設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，故當(dāng)時(shí)，16.（15分）解：（1）連接.因?yàn)?，且，又分別是棱的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）四邊形均為正方形，所以.所以平面.因?yàn)椋云矫?從而.又，所以為等邊三角形.因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以.即兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，所以.設(shè)為平面的法向量，則，即，可取.因?yàn)椋?設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角正弦值為.注：其它解法酌情給分.17.（15分）解：（1）由題意知：所有可能取值為，且所以的分布列為：012所以的數(shù)學(xué)期望為：.（2）記事件為“游客乙乘坐觀光車游園”，事件為“游客乙騎自行車游園”，事件為“游客乙步行游園”，事件為“游園結(jié)束時(shí)，乙能參觀完所有展園”，則..由全概率公式，得.所以游園結(jié)束時(shí)，乙能參觀完所有展園的概率為0.418.（17分）解：（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，即的方程為：.設(shè)點(diǎn)，由題意可設(shè)，由得，所以.由，得，所以，即.令，得，即，同理，，且，所以.由，得，即.所以.故.（2）設(shè)點(diǎn)，結(jié)合（1）知，