安徽省合肥市2024屆高三第一次教學質(zhì)量檢查數(shù)學試卷及答案

2024年合肥市高三第一次教學質(zhì)量檢測數(shù)學（考試時間：120分鐘滿分：150分）姓名__________座位號__________注意事項：1.答卷前，務必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡和試卷上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，務必擦凈后再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.記為等差數(shù)列的前項和，若，則（）A.144B.120C.100D.803.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則等于（）A.0.14B.0.62C.0.72D.0.864.雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（）A.B.C.D.5.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則（）A.1B.C.D.26.已知四面體的各頂點都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（）A.B.C.D.7.已知直線與交于兩點，設弦的中點為為坐標原點，則的取值范圍為（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)的定義域為，且，記，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.現(xiàn)有甲?乙兩家檢測機構對某品牌的一款智能手機進行拆解測評，具體打分如下表（滿分100分）.設事件表示從甲機構測評分數(shù)中任取3個，至多1個超過平均分”，事件表示“從甲機構測評分數(shù)中任取3個，恰有2個超過平均分”.下列說法正確的是（）機構名稱甲乙分值90989092959395929194A.甲機構測評分數(shù)的平均分小于乙機構測評分數(shù)的平均分B.甲機構測評分數(shù)的方差大于乙機構測評分數(shù)的方差C.乙機構測評分數(shù)的第一四分位數(shù)為91.5D.事件互為對立事件10.函數(shù)的圖象可能是（）A.B.C.D.11.已知橢圓的左?右頂點分別為，左焦點為為上異于的一點，過點且垂直于軸的直線與的另一個交點為，交軸于點，則（）A.存在點，使B.C.的最小值為D.周長的最大值為8三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若，則的取值范圍是__________.13.已知函數(shù)的一條對稱軸為，當時，的最小值為，則的最大值為__________.14.已知點，定義為的“鏡像距離”.若點在曲線上，且的最小值為2，則實數(shù)的值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）己知函數(shù)，當時，有極大值.（1）求實數(shù)的值；（2）當時，證明：.16.（15分）如圖，三棱柱中，四邊形均為正方形，分別是棱的中點，為上一點.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.17.（15分）2023年9月26日，第十四屆中國（合肥）國際園林博覽會在合肥駱崗公園開幕.本屆園博會以“生態(tài)優(yōu)先，百姓園博”為主題，共設有5個省內(nèi)展園?26個省外展園和7個國際展園，開園面積近3.23平方公里.游客可通過乘坐觀光車?騎自行車和步行三種方式游園.（1）若游客甲計劃在5個省內(nèi)展園和7個國際展園中隨機選擇2個展園游玩，記甲參觀省內(nèi)展園的數(shù)量為，求的分布列及數(shù)學期望；（2）為更好地服務游客，主辦方隨機調(diào)查了500名首次游園且只選擇一種游園方式的游客，其選擇的游園方式和游園結果的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：游園方式游園結果觀光車自行車步行參觀完所有展園808040未參觀完所有展園20120160用頻率估計概率.若游客乙首次游園，選擇上述三種游園方式的一種，求游園結束時乙能參觀完所有展園的概率.18.（17分）已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，過作的切線，交于點，且與軸分別交于點.（1）求證：；（2）設點是上異于的一點，到直線的距離分別為，求的最小值.19.（17分）“-數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設是非零實數(shù)，對任意，定義“-數(shù)”利用“-數(shù)”可定義“-階乘”和“-組合數(shù)”，即對任意，（1）計算：；（2）證明：對于任意，（3）證明：對于任意，2024年合肥市高三第一次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題參考答案及評分標準一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.A2.B3.D4.B5.A6.C7.D8.A二?選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9.BD10.ABD11.BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.13.14.四?解答題：本題共5小題，共77分.15.（13分）解：函數(shù)的定義域為，且，（1）因為時，有極大值，所以，解得，經(jīng)檢驗，當時，在時有極大值，所以；（2）由（1）知，，當時，要證，即證，即證：.設，則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，故當時，16.（15分）解：（1）連接.因為，且，又分別是棱的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，因為平面，所以平面.（2）四邊形均為正方形，所以.所以平面.因為，所以平面.從而.又，所以為等邊三角形.因為是棱的中點，所以.即兩兩垂直.以為原點，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，所以.設為平面的法向量，則，即，可取.因為，所以.設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角正弦值為.注：其它解法酌情給分.17.（15分）解：（1）由題意知：所有可能取值為，且所以的分布列為：012所以的數(shù)學期望為：.（2）記事件為“游客乙乘坐觀光車游園”，事件為“游客乙騎自行車游園”，事件為“游客乙步行游園”，事件為“游園結束時，乙能參觀完所有展園”，則..由全概率公式，得.所以游園結束時，乙能參觀完所有展園的概率為0.418.（17分）解：（1）因為拋物線的焦點為，所以，即的方程為：.設點，由題意可設，由得，所以.由，得，所以，即.令，得，即，同理，，且，所以.由，得，即.所以.故.（2）設點，結合（1）知，