數(shù)學(xué)-3.3 第2課時(shí) 利用完全平方公式進(jìn)行因式分解（講解課件）-【】2022-2023學(xué)年七年級(jí)下冊(cè)初一數(shù)學(xué)同步備課（湘教版）

3.3

公式法第3章

因式分解第2課時(shí)

利用完全平方公式進(jìn)行因式分解復(fù)習(xí)引入1.什么叫因式分解？把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)整式的積的形式.2.我們已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些因式分解的方法？①

提公因式法②

平方差公式a2-

b2=(a+b)(a

-

b)用完全平方公式分解因式你能把下面

4

個(gè)圖形拼成一個(gè)正方形并求出你拼成的圖形的面積嗎？拼出的圖形為：aabbabababa2b2ab這個(gè)大正方形的面積可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2=ababa2ababb2(a+b)2a2

+2ab+b2=將上面的等式逆過(guò)來(lái)看，能得到：a2

+2ab+b2a2

-

2ab+b2

我們把

a2+2ab+b2

和

a2

-

2ab+b2

這樣的式子叫做完全平方式.觀(guān)察這兩個(gè)式子：（1）每個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)？（3）中間項(xiàng)和第一項(xiàng)，第三項(xiàng)有什么關(guān)系？（2）每個(gè)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)有什么特征？三項(xiàng)這兩項(xiàng)都是數(shù)或式的平方是第一項(xiàng)和第三項(xiàng)底數(shù)的積的±2倍完全平方式的特點(diǎn)：

1.必須是三項(xiàng)式（或可以看成三項(xiàng)的）；

2.有兩個(gè)數(shù)或式的平方和；

3.有上述兩底數(shù)之積的±2倍.

完全平方式：簡(jiǎn)記口訣：

首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.凡具備這些特點(diǎn)的三項(xiàng)式，就是完全平方式，將它寫(xiě)成完全平方的形式，便實(shí)現(xiàn)了因式分解.2ab+b2±=(a±b)2a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方.3.a2+4ab+4b2

=()2+2·()·()+()2=()2.2.m2-6m+9=(

)2

-

2·()·(

)+()2=()2；1.x2+4x+4=()2+2·()·()+()2=()2；x2x+2aa2ba+2b2b對(duì)照

a2±2ab+b2=(a±b)2，填空：mm

-33x2m3下列各式是不是完全平方式？

（1）a2

-

4a+4；

（2）1+4a2；

（3）4b2+4b

-

1；

（4）a2+ab+b2；

（5）x2+x+0.25.是（2）因?yàn)樗挥袃身?xiàng).不是（3）4b2與

-

1的符號(hào)不統(tǒng)一.不是分析：不是是（4）中間項(xiàng)缺

2倍.例1

若

x2

-

6x+N是一個(gè)完全平方式，則

N=()A.11B.9C.-

11D.

-

9B解析：根據(jù)完全平方式的特征，中間項(xiàng)

-

6x=2x×(-3)，故可知

N=(-3)2=9.變式訓(xùn)練

如果

x2

-

mx+16是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)

m的值為_(kāi)______.解析：∵16=(±4)2，∴

-

m=2×(±4)，即

m=±8.±8典例精析方法總結(jié)：本題要熟練掌握完全平方式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)參數(shù)所在位置，結(jié)合公式，找出參數(shù)與已知項(xiàng)之間的數(shù)量關(guān)系，從而求出參數(shù)的值．計(jì)算過(guò)程中，要注意積的

2

倍的符號(hào)正負(fù)皆可取，避免漏解．例2

因式分解：（1）16x2

+24x+9；（2）-x2+4xy-

4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2，

9=32，24x=2·4x·3，

所以

16x2+24x+9是一個(gè)完全平方式，即

16x2+24x+9=(4x)2

+2×4x·3+32.2ab

b2a2(2)中首項(xiàng)有負(fù)號(hào)，一般先利用添括號(hào)法則，將其變形為

-(x2-

4xy+4y2)，然后再利用公式因式分解.解：

(1)16x2+24x+9=(4x+3)2.=(4x)2+2·4x·3+(3)2(2)-x2+4xy-

4y2

=-(x2-

4xy+4y2)=-(x-

2y)2.例3

把下列各式因式分解：

(1)3ax2+6axy+3ay2；

(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2)

=3a(x+y)2.分析：(1)中有公因式

3a，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步因式分解；(2)中將

a+b看成一個(gè)整體，設(shè)

a+b=m，則原式化為

m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2(a+b)·6+62

=(a+b-6)2.利用公式把某些具有特殊形式（如平方差，完全平方式等）的多項(xiàng)式因式分解，這種因式分解的方法叫做公式法.因式分解：(1)

-

3a2x2+24a2x

-

48a2；(2)(a2+4)2

-

16a2.針對(duì)訓(xùn)練＝(a2

+4

+4a)(a2

+4

-

4a)解：(1)原式＝

-

3a2(x2

-

8x

+16)＝

-

3a2(x

-

4)2.(2)原式＝(a2

+4)2

-

(4a)2＝(a

+2)2(a

-

2)2.有公因式要先提公因式要檢查每一個(gè)多項(xiàng)式的因式，看能否繼續(xù)分解．例4

利用完全平方公式簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)1002

-

2×100×99

+992；(2)342

+34×32

+162.解：(1)原式

=(100

-

99)2

(2)原式

=(34

+16)2本題利用完全平方公式分解因式，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，=1.=2500.例5

已知

x2

-

4x

+y2

-

10y

+29＝0，求

x2y2

+2xy

+1的值.＝112＝121.解：因?yàn)?/p>

x2

-

4x

+y2

-

10y

+29＝0，所以

(x

-

2)2

+(y

-

5)2＝0.因?yàn)?/p>

(x

-

2)2≥0，(y

-

5)2≥

0，所以

x

-

2＝0，y

-

5＝0，所以

x＝2，y＝5.所以

x2y2

+2xy

+1＝(xy

+1)2幾個(gè)非負(fù)式的和為0，則這幾個(gè)非負(fù)式都為0方法總結(jié)：此類(lèi)問(wèn)題一般情況是通過(guò)配方將原式轉(zhuǎn)化為非負(fù)式的和的形式，然后利用非負(fù)式的性質(zhì)解決問(wèn)題．1.下列四個(gè)多項(xiàng)式中，能因式分解的是

()A．a(chǎn)2

+1B．a(chǎn)2

-

6a

+9C．x2

+5yD．x2

-

5y2.把多項(xiàng)式4x2y

-

4xy2

-

x3因式分解的結(jié)果是

()A．4xy(x

-

y)

-

x3B．

-

x(x

-

2y)2C．x(4xy

-

4y2

-

x2)D．

-

x(

-

4xy

+4y2

+x2)3.若

m＝2n

+1，則

m2

-

4mn

+4n2的值是_____．BB14.若關(guān)于

x的多項(xiàng)式

x2

-

8x

+m2是完全平方式，則

m的值為_(kāi)_____．±45.把下列多項(xiàng)式因式分解：

（1）x2

-

12x

+36；（2）4(2a

+b)2

-

4(2a

+b)

+1；

（3）y2

+2y

+1

-

x2.

(2)原式

=[2(2a

+b)]2

-

2×2(2a

+b)·1

+12=(4a

+2b

-

1)2.解：(1)原式=x2

-

2·x·6

+62=(x

-

6)2.

(3)原式

=(y

+1)2

-

x2=(y

+1

+x)(y

+1

-

x).(2)原式6.計(jì)算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；解：(1)原式＝(38.9－48.9)2＝100.7.

因式分解：(1)4x2

+4x

+1；(2)小聰和小明的解答過(guò)程如下：他們做對(duì)了嗎？若不對(duì)，請(qǐng)你幫忙糾正過(guò)來(lái).x2

-

2x

+3.(2)原式＝

(x2

-

6x

+9)＝

(x

-

3)2.解:(1)原式＝(2x)2

+2×2x?1

+1＝(2x

+1)2.小聰:小明:××8.(1)已知

a

-

b＝3，求

a(a

-

2b)+b2的值；

(2)已知

ab＝2，a

+b＝5，求

a3b

+2a2b2

+ab3的值.原式＝2×52＝50.解：(1)

原式＝a