廣西桂林市廣西師大附中高三上學期第三次月考數(shù)學理試題

廣西師范大學附屬2021屆高三年級第三次月考（數(shù)學理科）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2≤4}，則A∪B＝A．(∞，2]B．(∞，2]C．[2，+∞)D．[2，+∞)2．|(1+2i)(1i)|＝A．B．3C．D．23．隨著電子商務(wù)的快速發(fā)展，快遞服務(wù)已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ钪斜夭豢缮俚牟糠郑畤亦]政局數(shù)據(jù)顯示，我國快遞業(yè)務(wù)量已連續(xù)6年居世界榜首，下圖是我國2011—2019年的快遞業(yè)務(wù)量（單位：億件）及增速情況，則以下說法正確的是A．2012—2019年我國快遞業(yè)務(wù)量的增速逐年減少B．2013—2014年我國快遞業(yè)務(wù)量的增速最大C．2019年我國快遞業(yè)務(wù)量比2015年大約增長300%D．2019年我國快遞業(yè)務(wù)量比2014年增加了495.6億件4．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3+3a1＝5a2，則數(shù)列{aA．B．C．2D．5．五銖錢是一種中國古銅幣，奠定了中國硬通貨鑄幣圓形方孔的傳統(tǒng)，這種錢幣外圓內(nèi)方，象征著天地乾坤．如圖是一枚西漢五銖錢幣，其直徑為2.5厘米．現(xiàn)向該錢幣上隨機投擲一點，若該點落在方孔內(nèi)的概率為，則該五銖錢的穿寬（即方孔邊長）為A．0.8厘米B．1厘米C．1.1厘米D．1.2厘米6．已知a＞0，b＞0，4a+b+2＝2abA．a(chǎn)+b≥7B．a(chǎn)+b≤5C．2a+b≥7D．2a+b7．已知某錐體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖為等邊三角形，則該錐體的體積為A．B．3C．D．8．將函數(shù)的圖象向左平移個單位后的圖形關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f(x)在上的最小值為（）A．B．C．D．9．某集團軍接到抗洪命令，緊急抽調(diào)甲、乙、丙、丁四個專業(yè)抗洪小組去A，B，C，D四地參加抗洪搶險．其中甲不去A地也不去B地，乙與丙不去A地也不去D地，如果乙不去B地，那么丁不去A地，則去D地的是A．甲B．乙C．丙D．丁10．已知函數(shù)的定義域為[0，m]，值域為，則實數(shù)m的最大值為A．πB．C．D．11．已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，點M，N分別在拋物線C上．若，則點M到y(tǒng)軸的距離為A．B．C．D．112．已知f(x)是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，且f(x)f(x)+4x＝0．若當x＞0時，f′(x)＞2，則不等式f(x2)f(x)＞4的解集為A．(∞，1)B．(∞，1)C．(1，+∞)D．(1，+∞)二、填空題13．已知向量，，則的值為__________．14．已知雙曲線C：的右焦點為F，左頂點為A，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為M．若，則C的離心率為__________．15．已知遞增等差數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，，則當公差d的值為__________時，S13的最小值為__________．16．設(shè)m≠1，函數(shù)則使得成立的實數(shù)m的個數(shù)為__________．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題17．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）若a＝6，c＝b+4，求△ABC的面積．18．已知某校共有1000名學生參加體能達標測試，現(xiàn)從中隨機抽取100名學生的成績，將他們的測試成績（滿分：100分）分為6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如下頻數(shù)分布表．成績/分[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)101520301510（1）求這100名學生的體能測試平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）．（2）在這100名學生中，規(guī)定：測試成績不低于80分為“優(yōu)秀”，成績低于80分為“非優(yōu)秀”．請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為體能測試成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？優(yōu)秀非優(yōu)秀總計男生30女生50總計（3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認為該校全體學生的體能測試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ，14.312)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，則這1000名學生中體能測試成績不低于84.81分的估計有多少人？參考公式及數(shù)據(jù)：X～N(μ，σ2)，P(μσ≤X＜μ+σ)≈0.6827，P(μ2σ≤X＜μ+2σ)≈0.9545；，其中n＝a+b+c+d．P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82819．四棱錐PABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45°，E是PA的中點，F(xiàn)在線段AB上，且滿足．（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角FPCB的余弦值；20．已知橢圓C：的左、右頂點分別為A，B，離心率為，P是C上異于A，B的動點．（1）證明：直線AP，BP的斜率之積為定值，并求出該定值．（2）設(shè)，直線AP，BP分別交直線l：x＝3于M，N兩點，O為坐標原點，試問：在x軸上是否存在定點T，使得O，M，N，T四點共圓？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．21．已知函數(shù)f(x)＝(x1)exb．（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)a＞0，若函數(shù)g(x)＝f(x)ax在區(qū)間[0，+∞)上有一個零點x0，求a2+4b的最小值以及此時x0的值．（二）選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，a＞0．（1）求l的普通方程和C的直角坐標方程；（2）設(shè)點P(0，2)，l與C交于A，B兩點，，求a的值．23．[選修4—5：不等式選講]已知函數(shù)．（1）若f(x)≥a對任意x∈[1，+∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．（2）證明：f(x)+x22x＞3．10月22日月考數(shù)學試題參考答案112題：DADCBCDBAADB13．514．15．1，1316．117．解：（1）由已知及正弦定理得，所以，即．因為sinA≠0，所以，所以．又因為C∈(0，π)，所以．所以△ABC的面積．18．解：（1）由題意得這100名學生的體能測試平均成績?yōu)椋?）在抽取的100名學生中，測試成績優(yōu)秀的有25人，由此可得完整的2×2列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計男生203050女生54550總計2575100K2的觀測值，故有99.9%的把握認為體能測試成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)．（3）依題意，X服從正態(tài)分布N(70.5，14.312)，P(μσ≤X＜μ+σ)＝P(56.19≤X＜84.81)≈0.6827，，所以這1000人中體能測試成績不低于84.81分的人數(shù)估計為0.15865×1000≈159．19．（1）證明：∵由題意可得DA，DC，DP兩兩互相垂直，∴如圖，以D為原點，DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系Dxyz，∴A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，，∵設(shè)平面PBC的法向量為，∴，，，∴，令y＝1，∴，又∵，∴，∴，∵DE不在平面PBC內(nèi)，∴DE∥平面PBC；（2）解：∵設(shè)F(1，t，0)，∴，，由，∴，∴，∴，∵設(shè)平面FPC的法向量為，由，∴，∴，令x＝1，∴∴，∴，又∵由圖可知，該二面角為銳二面角，∴二面角FPCD的余弦值為；20．（1）證明：由題意知A(a，0)，B(a，0)，設(shè)P(x0，y0)，y0≠0，則，所以直線AP與BP的斜率之積，即直線AP，BP的斜率之積為定值．（2）解：存在．理由如下：由題意知，得．因為，所以，所以b2＝1，所以橢圓C的方程為．設(shè)直線AP的方程為，則直線BP的方程為．聯(lián)立可得，同理可得．假設(shè)△MNO的外接圓恒過定點T(t，0)，t≠0，因為線段MN的垂直平分線所在直線的方程為，線段OT的垂直平分線所在直線的方程為，所以圓心．又|OE|＝|ME|，所以，解得．所以存在定點，使得O，M，N，T四點共圓．21．解：（1）因為f(x)＝(x1)exb，所以f′(x)＝xex．當x∈(∞，0)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(0，+∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+∞)．（2）g(x)＝(x1)exaxb，則g′(x)＝xexa．因為a＞0，存在x0＞0，使g′(x0)＝0，即，且g(x)在區(qū)間[0，x0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[x0，+∞)上單調(diào)遞增．因為g(x)在區(qū)間[0，+∞)上有一個零點，所以，解得，因此．設(shè)h(x)＝x2e2x4(x2x+1)ex，則h′(x)＝2(x2+x)ex(ex2)，所以h(x)在區(qū)間[0，ln2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[ln2，+∞)上單調(diào)遞增，所以h(ln2)＜h(0)＝4，h(x)≥h(ln2)＝4(ln2)2+8ln28．所以當a＝2ln2，b＝2(ln2)2+2ln22時，a2+4b取到最小值4(ln2)2+8ln28，此時x0＝ln2．22．解：（1）由（t為參數(shù)），消去t，得直線l的普通方程為xy2＝0．由，得(ρsinθ)2＝4aρcosθ，令ρsinθ＝y(tǒng)，ρcosθ＝x，則C的直角坐標方程為y2＝4ax(a＞0)．（2）易知點P在直線l上，設(shè)直線l的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），代入曲線C的方程y2＝4ax，得．設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為m1，m2，則所以，解得a＝1，滿足Δ＞0．所以a的值為1．23．（1）解：當x≥1時，．當時，