恒成立問題題型大全(詳解詳析)

不等式中恒成立問題在不等式的綜合題中，經(jīng)常會(huì)遇到當(dāng)一個(gè)結(jié)論對(duì)于某一個(gè)字母的某一個(gè)取值范圍內(nèi)所有值都成立的恒成立問題。恒成立問題的根本類型：類型1：設(shè)，〔1〕上恒成立；〔2〕上恒成立。類型2：設(shè)〔1〕當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立〔2〕當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立類型3：。類型4：恒成立問題的解題的根本思路是：根據(jù)條件將恒成立問題向根本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合等解題方法求解。一、用一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于一次函數(shù)有：例1：假設(shè)不等式對(duì)滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的方法，將m視為主變?cè)?，即將元不等式化為：，；令，那么時(shí)，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。二、利用一元二次函數(shù)的判別式對(duì)于一元二次函數(shù)有：〔1〕上恒成立；〔2〕上恒成立例2：假設(shè)不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0?！?〕當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；〔2〕時(shí)，只需，所以，。三、利用函數(shù)的最值〔或值域〕〔1〕對(duì)任意x都成立；〔2〕對(duì)任意x都成立。簡單計(jì)作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。例3：在ABC中，恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。解析：由，，恒成立，，即恒成立，例4：〔1〕求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：由于函，顯然函數(shù)有最大值，。如果把上題稍微改一點(diǎn)，那么答案又如何呢？請(qǐng)看下題：〔2〕求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：我們首先要認(rèn)真比照上面兩個(gè)例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。所以，我們對(duì)這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因?yàn)檫@直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時(shí)，一般要求把參數(shù)單獨(dú)放在一側(cè)，所以也叫別離參數(shù)法。四：數(shù)形結(jié)合法對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。例5：，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如果兩個(gè)函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，那么由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對(duì)應(yīng)的圖象在在區(qū)間對(duì)應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。由此可以看出，對(duì)于參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來解。利用函數(shù)圖象解題時(shí)，思路是從邊界處〔從相等處〕開始形成的。例6：假設(shè)當(dāng)P(m,n)為圓上任意一點(diǎn)時(shí)，不等式恒成立，那么c的取值范圍是〔〕A、B、C、D、解析：由，可以看作是點(diǎn)P(m,n)在直線的右側(cè)，而點(diǎn)P(m,n)在圓上，實(shí)質(zhì)相當(dāng)于是在直線的右側(cè)并與它相離或相切。，應(yīng)選D。其實(shí)在習(xí)題中，我們也給出了一種解恒成立問題的方法，即求出不等式的解集后再進(jìn)行處理。以上介紹了常用的五種解決恒成立問題。其實(shí)，對(duì)于恒成立問題，有時(shí)關(guān)鍵是能否看得出來題就是關(guān)于恒成立問題。下面，給出一些練習(xí)題，供同學(xué)們練習(xí)。練習(xí)題：1、對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立的充要條件是_______。

2、設(shè)上有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.。3、當(dāng)恒成立，那么實(shí)數(shù)a的范圍是____。4、不等式：對(duì)一切大于1的自然數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍。恒成立問題的解法“恒成立”問題是數(shù)學(xué)中常見的問題，在高考中頻頻出現(xiàn)，是高考中的一個(gè)難點(diǎn)問題.恒成立問題涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用，因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn).一、恒成立問題常見的題型1.由等式或不等式恒成立求參數(shù)的值或取值范圍2.證明不等式恒成立二、解決恒成立問題常用的方法1.函數(shù)性質(zhì)法〔1〕一次函數(shù)：給定一次函數(shù)，假設(shè)在內(nèi)恒有，那么根據(jù)函數(shù)的圖像〔直線〕可得上述結(jié)論等價(jià)于ⅰ〕或ⅱ〕，亦可合并成，如圖1所示.同理，假設(shè)在內(nèi)恒有，那么有.圖SEQ圖表\*ARABIC1【例1】〔2007年·遼寧卷·文22)函數(shù)，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)均有，.(Ⅰ)求函數(shù)的解析式；(Ⅱ)假設(shè)對(duì)任意的，恒有，求的取值范圍.〖解析〗(Ⅰ)略〔Ⅱ〕由(Ⅰ)，所以.令，那么即.由于，那么有.解得.〔2〕二次函數(shù)：給定二次函數(shù)，假設(shè)大于0恒成立，那么有，如圖2所示.〔注：恒成立〕圖SEQ圖表\*ARABIC2假設(shè)是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解.【例2】〔2007年·江蘇卷9)二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，那么的最小值為〔〕 A． B． C． D．〖解析〗由題意知.所以〔當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)〕.【例3】〔2007年·重慶卷·理13)假設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋敲吹娜≈捣秶鸀椋冀馕觥胶瘮?shù)的定義域?yàn)?，即在恒成立，也即恒成立，所以?解得.【例4】〔2007年·陜西卷·理20〕設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).(Ⅰ)假設(shè)的定義域?yàn)?求的取值范圍；(Ⅱ)當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，求的單減區(qū)間.〖解析〗(Ⅰ)〔解法同例3〕(Ⅱ)略〔3〕其它函數(shù)：恒成立〔注：假設(shè)的最小值不存在，那么恒成立的下界大于0〕；恒成立〔注：假設(shè)的最大值不存在，那么恒成立的上界小于0〕.【例5】〔2007年·山東卷·理22)設(shè)函數(shù),其中.(Ⅰ)當(dāng)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；(Ⅱ)求函數(shù)的極值點(diǎn)；〔Ⅲ〕證明對(duì)任意的正整數(shù),不等式)都成立.〖解析〗(Ⅰ)、〔Ⅱ〕略〔III〕當(dāng)時(shí)，.令，那么在上恒正，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒有.即當(dāng)時(shí)，有.對(duì)任意正整數(shù)，取得.【例6】〔2007年·重慶卷·理20)函數(shù)在處取得極值，其中、為常數(shù). 〔Ⅰ〕試確定、的值； 〔Ⅱ〕討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 〔Ⅲ〕假設(shè)對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.〖解析〗(Ⅰ)、〔Ⅱ〕略〔III〕由〔Ⅱ〕知，在處取得極小值，此極小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，從而.解得或.所以的取值范圍為.【例7】〔2007年·浙江卷·理22)設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記.〔Ⅰ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕求證：①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立；②有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立.〖解析〗(Ⅰ)略〔Ⅱ〕①令，那么，當(dāng)時(shí)，由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在內(nèi)的最小值是.故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立.【例8】〔2007年·福建卷·理22)函數(shù)，.〔Ⅰ〕假設(shè)，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕假設(shè)，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；〔III〕設(shè)函數(shù)，求證：.〖解析〗(Ⅰ)、〔III〕略〔Ⅱ〕由可知是偶函數(shù)．于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立．由得．①當(dāng)時(shí)，．此時(shí)在上單調(diào)遞增．故，符合題意．②當(dāng)時(shí)，．當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，．依題意，，又,∴．綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【例9】〔2007年·安徽卷·理18)設(shè)，〔Ⅰ〕令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；〔Ⅱ〕求證：當(dāng)時(shí)，恒有．〖解析〗(Ⅰ)略〔Ⅱ〕證明：由知，的極小值．于是由上表知，對(duì)一切，恒有．從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．所以當(dāng)時(shí)，，即．故當(dāng)時(shí)，恒有．〔4〕函數(shù)的奇偶性、周期性：為奇函數(shù)恒成立；為偶函數(shù)恒成立；為周期函數(shù)恒成立.【例10】〔2007年·寧夏卷·理14)設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，那么．〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以恒成立，即恒成立恒成立恒成立，故．2.別離參數(shù)法將含參數(shù)的恒成立式子中的參數(shù)別離出來，化成形如：或或恒成立的形式.那么恒成立的范圍是的值域；恒成立；恒成立.假設(shè)在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，那么可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解.【例11】〔2007年·山東卷·文15)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，那么的取值范圍是.〖解析〗當(dāng)時(shí)，由得.令，那么易知在上是減函數(shù)，所以，∴.【例12】〔2007年·江西卷·理12)設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，，那么是的〔〕 Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件〖解析〗由題意知在恒成立，那么對(duì)任意的恒成立.∵時(shí)，，∴的最大值要小于-5，不妨設(shè)為，∴不可能推出，但由可推出.故答案B正確.【例13】〔2007年·上海卷·理19)函數(shù)，常數(shù)．(Ⅰ)討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(Ⅱ)假設(shè)函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍．〖解析〗(Ⅰ)略〔Ⅱ〕函數(shù)在上為增函數(shù)在上恒成立在上恒成立在上恒成立．∵，∴，∴，即的取值范圍為．3.數(shù)形結(jié)合法