新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)線面平行、面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用2種題型 同步講義

27、線面平行面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用2種題型

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

①直線與平面平行的性質(zhì)定理

一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直

文字語(yǔ)言

線平行

圖形語(yǔ)言

%b/

符號(hào)語(yǔ)言a//?,aup,aΓ?β=b=i>a∕/b

作用證明兩直線平行

②平面與平面平行的性質(zhì)定理

文字

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行

語(yǔ)言

圖形

語(yǔ)言

符號(hào)

a∕∕βfa∏γ=a9βCy=b=a"b

語(yǔ)言

作用證明兩直線平行

【題型目錄】

題型一：線面平行證線線平行

題型二：面面平行證線線平行

【典型例題】

題型一：線面平行證線線平行

【例1】如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，PD=AB=2,AD=4,點(diǎn)E、F分別為A。、PC的

中點(diǎn).設(shè)平面C平面PBE=/.

P

F

(1)證明：￡＞尸〃平面P8E；

(2)證明：DF//l.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析；

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合平行四邊形的判定定理、平行四邊形的性質(zhì)、線

面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；

(2)根據(jù)面面平行的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.

(1)

取/,8中點(diǎn)G,連接尸G,EG,

因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為AC、尸C的中點(diǎn),

所以FG"CB,FG=；BC,

因?yàn)樗倪呅蜛BCQ為長(zhǎng)方形，所以8C∕∕AZ),RBC=AD,

所以DE∕∕FG,DE=FG,所以四邊形。EGF為平行四邊形，

所以DF7/GE因?yàn)镈F①平面PBE,HEu平面PBE,DF//平面PBE：

(2)

山(1)知。F〃平面尸8E,又DFu平面尸。C,平面PDC平面PBE=/,

所以DF/〃.

【例2】如圖，已知正方體ABCD-A"CR的棱長(zhǎng)為2,E是。A的中點(diǎn).設(shè)平面與

平面ACE的交線為/,求證：/〃平面ACE

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】由平面CDAG//平面AB4A，結(jié)合面面平行的性質(zhì)可得///CE,再根據(jù)線面平

行的判定定理即可證得結(jié)論.

【詳解】證明：在正方體48。-AMCQ中，平面Cz）AG//平面ABAA,

又因?yàn)槠矫嫫霣M∩平面ACE=/,平面CZ）RGn平面ACE=CE,所以///CE,

又因?yàn)楱M<Z平面ACE,CEu平一面ACE,所以/∕∕平IMACE'.

【例3】如圖，AEl.平面ABa）,〃平面ADE,CFHAE,求證：ADHBC

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)題意，先證明平面BCF//平面AOE,進(jìn)而利用面面平行的性質(zhì)定理即可得到

答案.

【詳解】由題意CF〃AE，CFa平面Ar）E,AEU平面ADE,CT;■〃平面ADE,

又5尸〃平面AOE,BFcCF=尸，二平面BC尸〃平面AT>E,

而平面BcT7c平面ASCD=AD,平面Az）E1平面AβCD=BC..*.AD//BC.

【例4】如圖，四棱錐P-ABC。的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PDL平面48CD,點(diǎn)E是AB

的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作平行于平面243的截面，與直線CRPCPB分別交于點(diǎn)RGH.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

【解析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理可得BC〃平面皿>,再由平面BW〃平面EFGH,

可得BC//平面EFG”，再由線面平行的性質(zhì)定理可得8C〃G〃和BC//EF,即可證出

GHHEFi

【詳解】（1）證明：因?yàn)?C∕/ARBC（Z平面PA。，仞U平面PAD,所以3C7/平面PAD,

又平面PA?！ㄆ矫鍱FGH,BCa平面EFGH,所以BC〃平面EFGH,

又SCu-sPffifPBC,平面PBCc平面EFG〃=G",.所以BC〃G”.

同理，BCHEF,所以GH//EF.

【例5】如圖，在四棱錐B4BCf）中,M是雨上的點(diǎn)，aABO為正三角形，CB=CD,PAYBD.

（1）若/88=120。，OM〃平面8PC,求證：點(diǎn)”為線段心的中點(diǎn).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）取AB的中點(diǎn)N,連結(jié)MN和。M首先可得AB工BC,DNLA5,所以DN/7BC,

即可得到。V〃平面BPC.又由DM〃平面BPC,可得平面QAm//平面BPC.根據(jù)面面平

行的性質(zhì)可得MN//P8,即可得證；

【詳解】（1）取AB的中點(diǎn)N,連結(jié)MN和QM

因?yàn)?38=120。，fl.BC=DC,所以NCBD=30°

所以NA8C=90。，即4513C.

：ZXABO為正三角形，，DNJ_A3.

又DN,BC,A8共面，ΛDNHCB.

?.?DN0平面BPC,CBU平面BPC,

：.ZW〃平面BPC.

,.?DMH平面BPC,DN,DMU平面DMN,

：.平面DMV//平面BPC.

'：MNU平面DMN,：.MNu平面BPC.

「MNu平面以8,平面PABC平面BPC=PB,

，MNHPB.

「N是AB的中點(diǎn)，,W為線段出的中點(diǎn).

【例6】如圖所示正四棱錐S-ABeD,SA=SB=SC=SD=2,AB=G.,P為側(cè)棱S3上的點(diǎn).且

SP=3PD,求：

S

（1）側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE//平面E4C.若存在，求含的值；若不存在，試說(shuō)

EC

明理由.

【答案】（1）在側(cè)棱SC上存在一點(diǎn)E,使BE〃平面PAC,滿足普=2?

EC

【分析】（1）分析可得在側(cè)棱SC上存在一點(diǎn)E,使5E//平面尸AC,滿足義=2.證得平

EC

血5E。//平面PAC,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可證出結(jié)論.

（1）

在側(cè)棱SC匕存在一點(diǎn)E，使BE//平面PAC,滿足*=2.

EC

理由如下：

取SZ）中點(diǎn)為Q,因?yàn)镾P=3PO,則PQ=P。，

過(guò)。作PC的平行線交SC于E，連接BQ,BE.

在aBOQ中，有BQUPO,

POU平面PAC,8Q<Z平面PAC,???8Q∕/平面PAC,

些,S^_SQ_

iQP'"ECQP'

又由于QE〃PC,

PCU平面PAC,QEU平面PAC,QE//平面PAC,

BQcQE=Q,???平面3E?！ㄆ矫鍼4C,得BE〃平面PAC,

【題型專練】

1.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCO是菱形，N8AO=60。，ASAB為等邊三角形，G

是線段SB上的一點(diǎn)，且SzM平面GAC.

（1）求證：G為SB的中點(diǎn)；

【答案】（1）見(jiàn)解析；

【解析】（1）連接8。交AC于點(diǎn)E,連接GE,利用線面平行的性質(zhì)定理可得,Sr√∕GE,再由E為

8。的中點(diǎn)即可得證；

【詳解】（1）證明：如圖，連接BE）交AC于點(diǎn)E,則E為8。的中點(diǎn)，連接GE,

；S。//平面GAC,平面SDB、平面G4C=GE,SDu平面SBQ,

ΛSDHGE,而E為BD的中點(diǎn)，,G為S3的中點(diǎn).

2.在正四棱錐P-ABCz）中，已知AB=2,PA=3,E,G分別為PB,Po的中點(diǎn)，平面AEGi

平面ABa)=/.

⑴求證：EGHl；

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】⑴連接B。，即可得到EG〃%）,從而得到EG//平面ABCD,根據(jù)線面平行的性質(zhì)

即可得證；

【詳解】（1）證明：連接50，???E,G分別為PB,PZ）的中點(diǎn),

EGHBD

又：EGɑ平面ABCD,BDU平面ABCD,

/.EG//平面ABCD,

又；EGu平面AGE,平面AGE「平面ABCD=/,

3.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCO為正方形，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn).

（1）設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、E三點(diǎn)的平面交PD于F,證明：尸為P。的中點(diǎn)；

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理證明，

【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB//CZ）.又ABa平面尸8,且CDU平面PC。，

所以AB//平面尸CD又ABU平面ABE,且平面ABEC平面PCD=EF,

所以4?〃EF.又因?yàn)锳S//CZ）,所以CD//EF

因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以尸為Po的中點(diǎn).

4.如圖，四棱錐P-ABCO中，底面A5C。為矩形，側(cè)面R4。為正三角形，4）=2,43=3,

平面R4。，平面ABCr>,E為棱尸B上一點(diǎn)（不與P、B重合），平面AnE交棱PC于點(diǎn)F.

R

⑴求證：ADHEF；

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

［分析［（1）證明出AD//平面PBC,利用線面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立：

【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCZ）為矩形，.?.A）∕8C,

y

QAr）（Z平面PBC,BCU平面PBC,:.AD∕∕f^iPBC,

A￡>U平面ADE,平面Af）E、平面PBC=EFAfWEF.

5.如圖，四棱錐E—A5C。，AB=AD=百,CD=CB=I,AC=2,平面E4C_L平面ABC。,

平面43EC平面CDE=1.

⑴若點(diǎn)M為線段AE中點(diǎn)，求證：BMIIl；

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）取AC中點(diǎn)尸，根據(jù)ZXABC絲ZVlDC,勾股定理可確定NACB=ACD=60,由

△8FC為正「角形可知BFHCD,由線面平行的判定得到BFH平面CDE；由MFHEC可得

Mp〃平面CDE:由面面平行判定知平面BMFH平面CDE,由面面平行和線面平行性質(zhì)可證

得結(jié)論；

（1）

取AC中點(diǎn)F,連接MF,3F,

B

AB=AD=>/3.CD=CB=1,AC=2,

ABC^ADCiLAC2=AB-+BC2=AD2+DC2,..ABlBC,ADA.DC.

.-.ZACB=ACD=60，

產(chǎn)為AC中點(diǎn)，.?.A6FC為正三角形，即NBFC=NAC￡>=60,BFHCD,

QBFe平面CDE,8U平面CDE,：.BFH平面CDE；

在NCE中，M尸為中位線，:.MF"EC,

又MF（Z平面C￡>E,ECU平面CDE,.?.MΛ7∕平面CDE；

又BFlMF=F,8F,MFu平面戶平面BΛW∕平面CDE,

又3Λ∕u平面BMF,.?.〃平面CDE,

又平面ABEc平面CDE=/,BMU平面ABE,.?BMHl.

6.如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-AMGR中，AB=Az）=2,AA=I?E為AQ的中點(diǎn)，平面CME

交棱。R于點(diǎn)尸.

⑴求證：BiC//EF.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)可得BC〃面ACRA，再由線面平行的性質(zhì)即可證結(jié)論.

（1）

由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知：面BeCIBI//面ADD1A1,又BCU面BCCiBt,

80〃面4。AA-又面CqEC面AOAA=M,且8,Cu面C&E,

.?.ByCHEF.

題型二：面面平行證線線平行

【例11如圖,矩形ACFE,4E=1,AE_L平面ABC￡），AB〃CD,NBAD=90。,AB^l,AD=CD=2,

平面ADE與棱BE交于點(diǎn)G.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

【分析】（I）由題意，根據(jù)面面平行的判定定理證明平面4%與平面Ca平行，再根據(jù)面面

平行的性質(zhì)定理得到線線平行；

【詳解】（1）證明：山題知，矩形人提，.\AE〃￡F,AB//CD.

且AEU平面AEB,ABU平面AEB,AECAB=A,

CFG平面CFr>,8U平面CF。，CFcCD=C,

???平面AEB//平面CFD,

平面AD尸與棱8E交于點(diǎn)G,且BE=平面AEB,

平面皿7C平面AEB=AG,平面4DFc平面CH>=DF,平面AEB〃平面CFr>,

故AG〃。尸，得證；

【例2】如圖，四棱柱4B8-AAG。的底面ABCD為菱形，ZABC=60。，其中側(cè)面B∕CC∣

為矩形，E、F分別為BC,AG的中點(diǎn)，P在線段AE上，且滿足AP:PE=I:2,過(guò)BC和點(diǎn)P

的平面交AB于G,交DC于H.

B卜:C

⑴證明:BGIlGH；

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由平面ABeD〃平面得到兩條交線平行即可；

(1)

???四棱柱ABCD-AtBlClDiψ,平面ABeD〃平面AlBlQDi,

設(shè)過(guò)BC和P的平面為α,由題可知面ABCf)a=GH,面AlBlClDl-a=B∣C∣,B￡〃GH

【例3】如圖，正方體ABCeHA∕B∕C√λ的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸為棱CG的中點(diǎn)，過(guò)直線AF作一

平面，與棱BB,,分別交于E,G兩點(diǎn).

(1)求證：四邊形AEFG為平行四邊形;

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

【分析】(I)根據(jù)已知條件及平面與平面平行的性質(zhì)定理得出GF〃A￡,EFllAG，

再結(jié)合平形四邊形的判斷即可證明；

(1)

?.?平面AEFG｝平面ABBlAi=AE,

平面AEFG平面DCClDt=GF且平面ABBtA.H平面DCC1D1

ΛGFHAE,同理可證：EFHAG,

故四邊形AEFG為平行四邊形

【題型專練】

1.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCZ)-A4GA中，E為棱片￡的中點(diǎn)，F(xiàn),G分別是棱CG,

BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與頂點(diǎn)重合).

(1)作出平面ADG與平面CBBCl的交線(要求寫(xiě)出作圖過(guò)程)，并證明：若平面43G//平面

DiEF,則EFVM1D;

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)通過(guò)延伸平面A。G內(nèi)的直線Z)G來(lái)作出平面AOG與平面CBBe的交線.通過(guò)

面面平行的性質(zhì)定理證得GQ〃A。、GQ//EF,由此證得EF〃A。.

(1)

如圖，延長(zhǎng)。G交A3的延長(zhǎng)線于P,

連接AF交8用于Q,

則GQ所在的直線即為平面A1DG與平面CB&G的交線.

證明：?.?平面CB8￡〃平面ADD1A1,

平面CBB1C1C平血AtDG=GQ,平面40。MC平面AtDG=A1D.

：.GQ//AiD.

又?.?平面AQG〃平面RE尸，

平面CBB￡c平面A1DG=GQ,

平面CBBGC平面D1EF=EF,

：.GQ//EF,：.EF//AiD.

2.如圖，在四棱錐P-ABeD中，底面A8C3是平行四邊形，M是AD的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)M且平行

于平面PCZ）的平面交棱尸8于點(diǎn)E求生PF的值.

【分析】設(shè)過(guò)點(diǎn)M且平行于平面PCD的平面交棱Be于點(diǎn)M由面面平行性質(zhì)得線線平行,

由平行線性質(zhì)得結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)過(guò)點(diǎn)M且平行于平面PCO