2023-2024學年成都市樹德中學高二數學下學期開學測試卷附答案解析

-2024學年成都市樹德中學高二數學下學期開學測試卷2024年2月23日一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．直線與直線之間的距離為（

）A． B． C． D．12．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．3．今有水平相當的棋手甲和棋手乙進行某項圍棋比賽，勝者可獲得24000元獎金.比賽規(guī)定下滿五局，五局中獲勝局數多者贏得比賽，比賽無平局，若比賽已進行三局，甲兩勝一負，由于突發(fā)因素無法進行后面比賽，如何分配獎金最合理？（

）A．甲12000元，乙12000元 B．甲16000元，乙8000元C．甲20000元，乙4000元 D．甲18000元，乙6000元4．與圓及圓都外切的圓的圓心在（

）A．橢圓上 B．雙曲線上的一支上 C．拋物線上 D．圓上5．已知直線與雙曲線無公共交點，則C的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．6．已知等腰直角三角形ABC，，點D為BC邊上的中點，沿AD折起平面ABD使得，則異面直線AB與DC所成角的余弦值為（

）

A．B．C．D．7．圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，若是該拋物線上一點，點，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．18．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點P為橢圓與雙曲線的交點，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知事件，滿足，，則下列結論正確的是（

）A． B．如果，那么C．如果與互斥，那么 D．如果與相互獨立，那么10．若實數x，y滿足曲線C：，則下列結論正確的是（

）A．B．的最小值為C．直線與曲線C恰有1個交點，則實數D．曲線C上有4個點到直線的距離為1.11．已知雙曲線C：的左焦點為F，P為C右支上的動點，過P作C的一條漸近線的垂線，垂足為A，O為坐標原點，則下列說法正確的是（

）A．點F到C的一條漸近線的距離為2B．雙曲線C的離心率為C．則P到C的兩條漸近線的距離之積大于4D．當最小時，則的周長為12．如圖，在直三棱柱中，，，點D，E分別是線段，上的動點（不含端點），且.則下列說法正確的是（

）

A．平面B．該三棱柱的外接球的表面積為C．異面直線與所成角的正切值為D．二面角的余弦值為三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.13．已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數的取值范圍為.14．口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個黃球”，“取出的2球至少有一個白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為.①與為對立事件；②與是互斥事件；③與是對立事件：④；⑤.15．已知為雙曲線的右支上一點，，分別是圓和上的點，則的最大值為.16．過點作拋物線的兩條切線，切點分別為和，又直線經過拋物線的焦點，那么=.四、解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知直線：和：，(1)求直線與的交點坐標；(2)過點作直線與直線，分別交于點A、B，且滿足，求直線的方程．18．為進一步增強疫情防控期間群眾的防控意識，使廣大群眾充分了解新冠肺炎疫情防護知識，提高預防能力做到科學防護，科學預防.某組織通過網絡進行新冠肺炎疫情防控科普知識問答，共有100人參加了這次問答，將他們的成績（滿分100分）分成，，，，，這六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中的值，并估計這100人問答成績的平均數(同一組數據用該組數據的中點值代替）；(2)用分層抽樣的方法從問答成績在內的人中抽取一個容量為5的樣本，再從樣本中任意抽取2人，求這2人的問答成績均在內的概率.19．甲?乙?丙三人進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.已知在每場比賽中，甲勝乙和甲勝丙的概率均為，乙勝丙的概率為，各場比賽的結果相互獨立.經抽簽，第一場比賽甲輪空.(1)求前三場比賽結束后，丙被淘汰的概率；(2)求只需四場比賽就決出冠軍的概率.20．已知拋物線上第一象限的一點到其焦點的距離為2．(1)求拋物線C的方程和點坐標；(2)過點的直線l交拋物線C于A、B，若的角平分線與y軸垂直，求弦AB的長．21．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，是等腰直角三角形，且，平面平面，點E是線段PC（不含端點）上的一個動點.(1)設平面ADE交PB于點F，求證：EF平面PAD；(2)當點E到平面PAD的距離為時，求平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值.22．已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，點是軸正半軸上的一點，過橢圓的右焦點和點的直線與橢圓交于兩點.(1)求橢圓的標準方程；(2)求的取值范圍.1．C【分析】由兩線距離公式求值即可.【詳解】，顯然與另一條直線平行，則所求距離為.故選：C.2．B【分析】根據已知求出，進而即可根據投影向量求出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故選：B.3．D【分析】根據甲乙兩人最終獲勝的概率即可按比例分配.【詳解】乙最終獲勝的概率為，甲最終獲勝的概率為，所以甲乙兩人按照分配獎金才比較合理，所以甲元，乙元，故選：D4．B【分析】根據兩圓方程得出兩圓的圓心坐標和半徑，判斷出兩圓的位置關系，再利用與兩圓都外切的位置關系得出圓心距離所滿足的等量關系，結合圓錐曲線的定義即可得出答案.【詳解】由圓可知，圓心，半徑，圓化為標準方程，圓心，半徑，因此圓心距，所以兩圓相離，設與兩圓都外切的圓的圓心為，半徑為，則滿足，所以，即圓心的軌跡滿足到兩定點距離之差為定值，且定值小于兩定點距離，根據雙曲線定義可知，圓心的軌跡是某一雙曲線的左支，即圓心在雙曲線的一支上.故選：B.5．D【分析】根據直線與雙曲線無公共點，結合直線與漸近線的位置關系，列不等式求解即可.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，因為直線與C無公共點，所以，即，所以，又，所以C的離心率的取值范圍為.故選：D.

6．B【分析】根據題意，證明平面,不妨設,以為基底的空間向量，,再求解，從而求出，根據是異面直線，求解其余弦值.【詳解】已知等腰直角三角形,點是中點，則,沿著翻折平面可得,所以,又,平面，所以平面,不妨設,則，以為基底的空間向量，所以，則所以，因為是異面直線，所以異面直線的余弦值為.故選：B

7．B【分析】由已知點在拋物線上，利用待定系數法求拋物線方程，結合拋物線定義求的最小值.【詳解】設拋物線的方程為，因為，，所以點在拋物線上，所以，故，所以拋物線的方程為，所以拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，在方程中取可得，所以點在拋物線內，過點作與準線垂直，為垂足，點作與準線垂直，為垂足，則，所以，當且僅當直線與準線垂直時等號成立，所以的最小值為3，故選：B.8．B【分析】不妨設點為第一象限的交點，結合橢圓與雙曲線的定義得到，進而結合余弦定理得到，即，令然后結合三角函數即可求出結果.【詳解】

不妨設點為第一象限的交點，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當時，有最大值，最大值為，故選：B.【點睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝a2－c2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．9．BCD【分析】根據獨立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判斷各選項.【詳解】A選項：當與相互獨立時，，A選項錯誤；B選項：若，則，B選項正確；C選項：與互斥，那么，C選項正確；D選項：如果與相互獨立，那么，D選項正確；故選：BCD.10．AB【分析】首先畫出曲線表示的半圓，再根據點與直線，直線與圓的位置關系逐項判斷；【詳解】

對于A:曲線即的圖象是以為圓心，2為半徑的半圓，如圖，，選項A正確；對于B:代表曲線半圓上的點與的斜率，由圖可知，曲線取點時，斜率最小，，選項B正確；對于C：直線過定點，由圖可知，當直線位于之間，或者直線與曲線C相切時恰有1個交點，相切時，解得：或，故實數，選項C錯誤；對于D：如圖，曲線上最多有2個點到直線的距離為1，D錯誤；故選：AB.11．BCD【分析】由點到直線的距離公式，可判斷A項；根據離心率，可判斷B項；設點，根據點到直線的距離公式，可判斷C項；設雙曲線的右焦點，由雙曲線定義可知最小時，則只需最小即可，過作垂直漸近線與點，交雙曲線右支與點，此時最小，再由距離公式即可判斷D項.【詳解】雙曲線的漸近線為，左焦點，所以點到C的一條漸近線的距離為，所以A錯誤；由雙曲線方程可得，，所以離心率，所以B正確；設點，則，即，點到兩漸近線距離分別為和，則，所以C正確；設雙曲線的右焦點，則，所以，若最小，則只需最小即可，過作垂直漸近線與點，交雙曲線右支與點，此時最小，，由勾股定理得，所以，所以，所以的周長為，所以D正確.故選：BCD.12．ABD【分析】根據已知推得.進而即可根據三棱柱的性質，以及線面平行的判定定理得出A；根據直三棱柱的性質得出球心是的中點.求出的長，即可得出球的半徑，進而得出面積；平行可得即等于異面直線與所成角.在中，求解即可判斷C；建立空間直角坐標系，求出平面以及平面的法向量，根據向量即可求出二面角的余弦值.【詳解】對于A項，因為，所以.根據直三棱柱的性質可知，，所以，.因為平面，平面，所以，平面.故A項正確；對于B項，如圖，分別取的中點為，連接，則的中點即為三棱柱的外接球的球心.又根據三棱柱的性質可知，點也是的中點.由已知可得，，，，所以，.所以，，即外接球的直徑為，半徑為，表面積為.故B項正確；對于C項，因為，所以與所成的角即等于異面直線與所成角.在中，有.故C錯誤；

對于D項，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，.設是平面的一個法向量，則，取，則.設為平面的一個法向量，則，取，則.所以，.又由圖可知，二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.故D正確.故選：ABD.13．【分析】兩個向量的夾角為鈍角等價于且與不共線.【詳解】由；由.綜上：且.故答案為：.14．①④【分析】在①中，由對立事件定義得與為對立事件；有②中，與有可能同時發(fā)生；在③中，與有可能同時發(fā)生；在④中，（C）（E）；在⑤中，從而（B）（C）．【詳解】口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個黃球”，“取出的2球至少有一個白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”，①，由對立事件定義得與為對立事件，故①正確；②，與有可能同時發(fā)生，故與不是互斥事件，故②錯誤；③，與有可能同時發(fā)生，不是對立事件，故③錯誤；④，（C），（E），，從而（C）（E），故④正確；⑤，，從而（B）（C），故⑤錯誤．故答案為：①④．【點睛】本題考查命題真假的判斷，是基礎題，考查對立互斥事件，解題時要認真審題，注意對立事件、互斥事件等基本概念的合理運用．15．9【分析】先由已知條件可知雙曲線的兩個焦點為兩個圓的圓心,再利用平面幾何知識把轉化為雙曲線上的點到兩焦點之間的距離,結合雙曲線的定義即可求的最大值.【詳解】，，，則故雙曲線的兩個焦點為，，，也分別是兩個圓的圓心，半徑分別為，所以，則，故答案為：916．4【分析】由題意，利用兩種方法化簡所求代數式，方法一：設出過與拋物線的切線的點斜式方程，聯立方程，由切點性質，則，可得方程，根據題意，結合韋達定理，可得，同樣的思路，設出過焦點的直線，聯立方程，結合韋達定理，可得，故可得第一種所求代數式的表示；方法二：利用導數的幾何意義，求切線斜率，可得，結合方法一中，可得第二種所求代數式的表示；綜上建立方程，求得的值，進而求得答案.【詳解】由題意，顯然過點作拋物線的切線的斜率存在，設該斜率為，則該切線方程為，即，聯立，消去可得，由于切線與拋物線只有唯一交點，則，整理可得，由題意，可知為方程的兩個根，則，由題意，設直線的方程為，聯立可得，消去可得，由題意可知為該方程的兩個根，則，故，由拋物線方程，可得函數與函數，則與不妨設在第一象限，則，即，且，由設在第一象限，則在第四象限，即，可得，且，故，由，則，綜上可得，解得，故.故答案為：.【點睛】對于拋物線的焦點弦，要熟記直線與拋物線聯立，消元選擇消去一次項，根據韋達定理，可得兩個交點坐標與之間的等量關系；對于切線的斜率，利用導數的幾何意義進行計算，要善于化簡表達式，可用縱坐標表示，結合韋達定理，可得簡化計算.17．(1)(2)【分析】（1）聯立直線和直線，即可求解交點坐標；（2）首先由題意可知，點是線段的中點，利用對稱和直線方程，即可求解.【詳解】（1）由，得，，所以直線與的交點坐標為；（2）由可知，點是線段的中點，在直線上任取一點，所以點關于的對稱點,點在直線上，把點代入方程，，解得所以，，即直線方程為：，即.18．(1)，72(2)【分析】（1）根據頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，求出參數的值，在根據平均數公式計算可得；（2）求出，中抽取的人數，利用列舉法列出所有可能結果，最后利用古典概型的概率公式計算可得.【詳解】（1）由圖可知，，解得，估計這人問答成績的平均數為：.（2）由頻率分布直方圖可知，問答成績在，這兩組的頻率之比為.用分層隨機抽樣的方法從問答成績在內的人中抽取一個容量為5的樣本，則問答成績在內的有(人)，分別記為、，問答成績在內的有(人)，分別記為、、，從中任意抽取2人，則實驗的樣本空間為：共有個樣本點.設事件為2人的問答成績均在內，則，所以這2人的問答成績均在內的概率.19．(1)(2)【分析】（1）設事件為甲勝乙，為甲勝丙，為乙勝丙，然后得出丙被淘汰可用事件，根據互斥事件的概率公式以及事件的獨立性，即可得出答案；（2）分最終的冠軍為甲，乙，丙，分別求解出概率，然后根據互斥事件的概率公式，即可得出答案.【詳解】（1）記事件為甲勝乙，則，則，事件為甲勝丙，則，，事件為乙勝丙，則，.則丙被淘汰可用事件來表示，所以，前三場比賽結束后，丙被淘汰的概率為.（2）若最終的冠軍為甲，則只需四場比賽就決出冠軍可用事件來表示，；若最終的冠軍為乙，則只需四場比賽就決出冠軍可用事件來表示，；若最終的冠軍為丙，則只需四場比賽就決出冠軍可用事件來表示，.所以，只需四場比賽就決出冠軍的概率為.20．(1)拋物線方程為：，點坐標為（2，1）(2)4【分析】（1）根據題意結合拋物線的定義可求出，則可得拋物線方程，再將代入拋物線方程可求出，從而可求得點的坐標，（2）由題意可得直線l的斜率存在，設直線方程為，，，將直線方程代入拋物線方程化簡利用根與系數的關系，再由的角平分線與y軸垂直，可得，化簡可求