正弦定理和余弦定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)附答案

高頻考點(diǎn)一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝eq\r(6)，A＝45°，則滿足條件的三角形有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．0個(gè) D．無法確定(2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝eq\r(2)∶1，c2＝b2＋eq\r(2)bc，則三內(nèi)角A，B，C的度數(shù)依次是________．(3)(2015·廣東)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,6)，則b＝________.答案(1)B(2)45°，30°，105°(3)1解析(1)∵bsinA＝eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(3)，∴bsinA<a<b.∴滿足條件的三角形有2個(gè)．(2)由題意知a＝eq\r(2)b，a2＝b2＋c2－2bccosA，即2b2＝b2＋c2－2bccosA，又c2＝b2＋eq\r(2)bc，∴cosA＝eq\f(\r(2),2)，A＝45°，sinB＝eq\f(1,2)，B＝30°，∴C＝105°.【感悟提升】(1)判斷三角形解的個(gè)數(shù)的兩種方法①代數(shù)法：根據(jù)大邊對(duì)大角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和公式、正弦函數(shù)的值域等判斷．②幾何圖形法：根據(jù)條件畫出圖形，通過圖形直觀判斷解的個(gè)數(shù)．(2)已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理時(shí)，需判斷其解的個(gè)數(shù)，用余弦定理時(shí)，可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個(gè)數(shù)．【變式探究】(1)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是()A．x＞2 B．x＜2C．2＜x＜2eq\r(2) D．2＜x＜2eq\r(3)(2)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝eq\r(3)，則AB＝________.答案(1)C(2)1解析(1)若三角形有兩解，則必有a＞b，∴x＞2，又由sinA＝eq\f(a,b)sinB＝eq\f(x,2)×eq\f(\r(2),2)＜1，可得x＜2eq\r(2)，∴x的取值范圍是2＜x＜2eq\r(2).(2)∵A＝60°，AC＝2，BC＝eq\r(3)，設(shè)AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，化簡(jiǎn)得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.高頻考點(diǎn)二和三角形面積有關(guān)的問題例2、(2015·浙江)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知A＝eq\f(π,4)，b2－a2＝eq\f(1,2)c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面積為3，求b的值．解(1)由b2－a2＝eq\f(1,2)c2及正弦定理得sin2B－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2C.所以－cos2B＝sin2C.①又由A＝eq\f(π,4)，即B＋C＝eq\f(3,4)π，得－cos2B＝－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π－C))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－2C))＝sin2C＝2sinCcosC，②由①②解得tanC＝2.【感悟提升】(1)對(duì)于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．【變式探究】四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四邊形ABCD的面積．解(1)由題設(shè)A與C互補(bǔ)及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②由①②得cosC＝eq\f(1,2)，BD＝eq\r(7)，因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，故C＝60°.(2)四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)AB·DAsinA＋eq\f(1,2)BC·CDsinC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2＋\f(1,2)×3×2))sin60°＝2eq\r(3).高頻考點(diǎn)三正弦、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3、(1)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，則△ABC為()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．等邊三角形(2)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案(1)A(2)B【舉一反三】(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．(1)求eq\f(sinB,sinC)；(2)若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的長(zhǎng)．解(1)S△ABD＝eq\f(1,2)AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠CAD.因?yàn)镾△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).(2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝eq\r(2).在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.【感悟提升】(1)判斷三角形形狀的方法①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．②化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．(2)求解幾何計(jì)算問題要注意①根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標(biāo)示；②選擇在某個(gè)三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理．【變式探究】(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形(2)如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，則BD的長(zhǎng)為______．答案(1)D(2)eq\r(3)(2)sin∠BAC＝sin(eq\f(π,2)＋∠BAD)＝cos∠BAD，∴cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3).BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝(3eq\r(2))2＋32－2×3eq\r(2)×3×eq\f(2\r(2),3)，即BD2＝3，BD＝eq\r(3).1．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝eq\f(π,3)，b＝2acosB，c＝1，則△ABC的面積等于()\f(\r(3),2)\f(\r(3),4)\f(\r(3),6)\f(\r(3),8)2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若C＝2B，則eq\f(c,b)為()A．2sinCB．2cosBC．2sinBD．2cosC解析：由于C＝2B，故sinC＝sin2B＝2sinBcosB，所以eq\f(sinC,sinB)＝2cosB，由正弦定理可得eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB)＝2cosB，故選B。答案：B3．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)，則B＝()\f(π,6)\f(π,4)\f(π,3)\f(3π,4)解析：由sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，代入整理得：eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(a,c＋b)?c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(π,3)。答案：C4．在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lgeq\f(1,b＋c)，則A＝()A．90°B．60°C．120°D．150°5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若3a＝2b，則eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)的值為()A．－eq\f(1,9)\f(1,3)C．1\f(7,2)解析：由正弦定理可得eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinB,sinA)))2－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2－1，因?yàn)?a＝2b，所以eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)，所以eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2－1＝eq\f(7,2)。答案：D6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足csinA＝eq\r(3)acosC，則sinA＋sinB的最大值是()A．1\r(2)\r(3)D．3解析：由csinA＝eq\r(3)acosC，所以sinCsinA＝eq\r(3)sinAcosC，即sinC＝eq\r(3)cosC，所以tanC＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，A＝eq\f(2π,3)－B，所以sinA＋sinB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＋sinB＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))，∵0＜B＜eq\f(2π,3)，∴eq\f(π,6)＜B＋eq\f(π,6)＜eq\f(5π,6)，∴當(dāng)B＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即B＝eq\f(π,3)時(shí)，sinA＋sinB的最大值為eq\r(3).故選C。答案：C7.在△ABC中,若A=π3,B=π4,BC=3A.32 B.3 3 【答案】C?！窘馕觥坑烧叶ɡ砜傻?BCsinA=即有AC=BC·sinBsinA=328.在△ABC中,若a2+b2<c2,則△ABC的形狀是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不能確定【答案】C【解析】由余弦定理:a2+b2-2abcosC=c2,因?yàn)閍2+b2<c2,所以2abcosC<0,所以C為鈍角,△ABC是鈍角三角形.9.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且c-bc-a=A.π6 B.π4 C.π【答案】C.10.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c.若C=120°,c=2a,則()>b<b=b與b的大小關(guān)系不能確定【答案】A【解析】由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,即ba2+ba-1=0,b11.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,則cosB=.【解析】由正弦定理可得1532=10sinB再由b<a,可得B為銳角,所以cosB=1-sin2答案:612.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=3sinAsinC,則B=.【解析】在△ABC中,因?yàn)閟in2A+sin2C-sin2B=3sinAsinC,所以利用正弦定理得:a2+c2-b2=3ac,所以cosB=a2+c2-答案:π13.△ABC中,點(diǎn)D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinB(2)若∠BAC=60°,求B.【解析】(1)如圖,由正弦定理得:ADsinB=BDsin∠BAD,因?yàn)锳D平分∠BAC,BD=2DC,所以sinBsinC=DC(2)因?yàn)镃=180°-(∠BAC+B),∠BAC=60°,所以sinC=sin(∠BAC+B)=32cosB+1由(1)知2sinB=sinC,所以tanB=3314.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若BA→·BC【解析】(1)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,