常見數(shù)列通項(xiàng)公式的求法講義-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

§常見數(shù)列通項(xiàng)公式的求法題型一：觀察法求數(shù)列通項(xiàng)已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng).【題型專練】【例1】將正奇數(shù)排列如下表，其中第i行第j個(gè)數(shù)表示，例如，若，則______．【例2】（1）數(shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為=______；（2）數(shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為=______；（3）數(shù)列1，11，111，1111，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為=______．【例3】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)．(1)，，，；(2)，，，；(3)3，4，3，4；(4)6，66，666，6666．名師點(diǎn)撥?常見數(shù)列的通項(xiàng)1，2，3，4，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n.2，4，6，8，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n.3，5，7，9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n＋1.2，4，8，16，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n.－1，1，－1，1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n.1，0，1，0，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1＋（－1）n－1,2).a，b，a，b，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).9，99，999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1.題型二：定義法求數(shù)列通項(xiàng)⑴等差等比定義求通項(xiàng)等差數(shù)列判定：①定義法：“欲證等差，直接作差”，即證an＋1－an＝定值；②等差中項(xiàng)法：即證2an＋1＝an＋an＋2； ③函數(shù)結(jié)論法：即an為一次函數(shù)或Sn為無常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù).等比數(shù)列的判定方法：①定義法：“欲證等比，直接作比”，即證eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0的常數(shù))?數(shù)列{an}是等比數(shù)列；②等比中項(xiàng)法：即證aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?數(shù)列{an}是等比數(shù)列．⑵.利用與的關(guān)系，依據(jù)求出.已知Sn求an的三個(gè)步驟①先利用a1＝S1求出a1.②用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式．③對n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫注：an與Sn關(guān)系的應(yīng)用策略?僅含有Sn的遞推數(shù)列或既含有Sn又含有an的遞推數(shù)列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)實(shí)施消元法，將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含an的關(guān)系式或僅含Sn的關(guān)系式，即“二者消元留一象”．?究竟消去an留Sn好，還是消去Sn留an好？取決于消元后的代數(shù)式經(jīng)過恒等變形后能否得到簡單可求的數(shù)列關(guān)系，如等差數(shù)列關(guān)系或等比數(shù)列關(guān)系，若消去an留Sn可以得到簡單可求的數(shù)列關(guān)系，那么就應(yīng)當(dāng)消去an留Sn，否則就嘗試消去Sn留an，即“何知去留誰更好，變形易把關(guān)系找”．?值得一提的是：數(shù)列通項(xiàng)公式an求出后，還需要驗(yàn)證數(shù)列首項(xiàng)a1是否也滿足通項(xiàng)公式，即“通項(xiàng)求出莫疏忽，驗(yàn)證首項(xiàng)滿足否”，這一步學(xué)生容易忘記，切記！【題型專練】1．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．2．在等比數(shù)列中，，，則是（

）A．1 B．3 C． D．3．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．9 B．8 C．7 D．64．已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A．1 B． C．3 D．5．已知數(shù)列滿足，且，則.6．已知等差數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為.7．已知數(shù)列滿足，且，那么.8．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則..題型三：累加法求數(shù)列通項(xiàng)形如型的的遞推公式均可用累加法求通項(xiàng)公式.當(dāng)為常數(shù)時(shí)，為等差數(shù)列，則；當(dāng)為的函數(shù)時(shí)，用累加法.方法如下：由得，當(dāng)時(shí)，，，，以上個(gè)等式累加得（3）已知，，其中可以是關(guān)于的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).=1\*GB3①若可以是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若可以是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=3\*GB3③若可以是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=4\*GB3④若可以是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和求和.【題型專練】1．已知數(shù)列滿足，，則（

） A． B． C． D．2．已知數(shù)列滿足，，則．3．已知數(shù)列，.以后各項(xiàng)由給出.(1)寫出數(shù)列的前項(xiàng)；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式名師點(diǎn)撥?累加法求通項(xiàng)公式的4步驟題型四：累乘法求數(shù)列通項(xiàng)形如型的的遞推公式均可用累乘法求通項(xiàng)公式.給遞推公式中的依次取1,2,3，……，,可得到下面?zhèn)€式子：利用公式可得：【題型專練】1．已知數(shù)列{an}，a1＝1，(n＋1)an＋1＝nan，求通項(xiàng)公式an.已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．4．（1）已知數(shù)列{an}滿足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通項(xiàng)公式an；（2）設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通項(xiàng)公式an.名師點(diǎn)撥?累乘法求通項(xiàng)公式的4步驟題型五：構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)(1)形如型的遞推式：①待定系數(shù)法：（其中均為常數(shù)，）解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.②待定系數(shù)法：（其中均為常數(shù)，）.（或其中均為常數(shù)）.解法：在原遞推公式兩邊同除以，得：，令，得：，再按第①種情況求解.③待定系數(shù)法：解法：一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列.④待定系數(shù)法：解法：一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列.(2)形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型分式型取倒數(shù)法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求．【題型專練】?用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列【例1】已知數(shù)列滿足，且，求的通項(xiàng)公式?！纠?】在數(shù)列中，，，則通項(xiàng)公式______．名師點(diǎn)撥?形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。?用“同除指數(shù)法”構(gòu)造等差數(shù)列【例1】已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【例2】已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.名師點(diǎn)撥?形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式。?用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列【例2】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【例3】（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學(xué)高二開學(xué)考試）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求；(2)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式．名師點(diǎn)撥?形如，的數(shù)列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.題型六：周期性【例1】（2023全國·高三專題練習(xí)（文））已知正整數(shù)數(shù)列滿足,則當(dāng)時(shí)，___________.【答案】4【解析】由題意，，，，，，…，數(shù)列從第二項(xiàng)起是周期數(shù)列，周期為3，所以．故答案為：4．【例2】（2022·廣東深圳·高三）已知數(shù)列中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，兩式相減得，所以，，故，故選：D.題型七：已知數(shù)列前n項(xiàng)積型求通項(xiàng)【例1】（2022重慶模擬）若數(shù)列滿足其前項(xiàng)的積為，則．【解析】解：數(shù)列滿足其前項(xiàng)的積為，故前項(xiàng)的積為，，，當(dāng)時(shí)，，顯然，它對于第一項(xiàng)也是成立的，故，．故答案為：，．題型八：雙數(shù)列問題【例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列和滿足，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)，得到，即可得到的通項(xiàng)公式，代入即可；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，即，又，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，又，即，所以所以；故選：C【例2】（2022·河北秦皇島·三模）已知數(shù)列和滿足．(1)證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式以及的前項(xiàng)和．【解析】(1)證明：因?yàn)?，所以，即，所以是公比為的等比?shù)列．將方程左右兩邊分別相減，得，化簡得，所以是公差為2的等差數(shù)列．(2)由（1）知，，上式兩邊相加并化簡，得，所以．§常見數(shù)列通項(xiàng)公式的求法題型一：觀察法求數(shù)列通項(xiàng)【例1】67【分析】找到每行最后一個(gè)數(shù)的規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式，確定位于第行，再確定其所在的列數(shù)，從而求出答案.【詳解】每行最后一個(gè)數(shù)的排列為1,5,11,19,29，第行最后一個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式為，其中，，所以位于第行，且，所以位于第行，第22列，所以.故答案為：67【例2】

【分析】（1）所給數(shù)列的前4項(xiàng)中，分母是項(xiàng)數(shù)的平方，分子是分母減1，由此可歸納；（2）各項(xiàng)負(fù)正相間，分子都是1，分母是3的正整數(shù)倍，由此歸納結(jié)論；（3）每一項(xiàng)都是由數(shù)字1組成的，數(shù)字個(gè)數(shù)正好是項(xiàng)數(shù)，把1與9聯(lián)系，易歸納通項(xiàng)公式．【詳解】（1）所給數(shù)列的前4項(xiàng)中，每一項(xiàng)的分子比分母少1，且分母依次為，，，（分式中應(yīng)分別考慮分子、分母的特征），所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．（2）所給數(shù)列可寫成，，，，…，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．（3）所給數(shù)列可寫成，，，，…，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．故答案為：；；．【例3】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）觀察給定的4項(xiàng)，結(jié)合數(shù)據(jù)特征寫出一個(gè)通項(xiàng)作答.（1）4個(gè)項(xiàng)都是分?jǐn)?shù)，它們的分子依次為，分母是正奇數(shù)，依次為，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（2）4個(gè)項(xiàng)按先負(fù)數(shù)，后正數(shù)，正負(fù)相間排列，其絕對值的分子依次為，分母比對應(yīng)分子多1，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（3）4個(gè)項(xiàng)是第1，3項(xiàng)均為3，第2，4項(xiàng)均為4，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（4）4個(gè)項(xiàng)，所有項(xiàng)都是由數(shù)字6組成的正整數(shù)，其中6的個(gè)數(shù)與對應(yīng)項(xiàng)數(shù)一致，依次可寫為題型二：定義法求數(shù)列通項(xiàng)1．C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故選：C.2．D【詳解】等比數(shù)列中,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，且，，所以3．A【詳解】因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，所以，則可化為，解得，或(舍）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則,所以，則.故選：.4．C【詳解】由，且為等比數(shù)列，故，故.選：C.5．【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：.6．(1)(2)【詳解】（1）設(shè)公差為，由，，得，解得，所以；（2）.7．【詳解】，因此數(shù)列是公差的等差數(shù)列，而，所以.8．3【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，用表示，可求解，結(jié)合，可得解【詳解】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，又故答案為：3題型三：累加法求數(shù)列通項(xiàng)1．B【分析】利用累加法可求得的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，，累加可得，解得．故選：B.2．63【分析】由題設(shè)可得，應(yīng)用累加法，結(jié)合已知即可求.【詳解】由題設(shè)，，所以，又，所以.3．(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)和遞推式寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）根據(jù)累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）；（2）故，故，當(dāng)時(shí)，此通項(xiàng)公式也成立.故4．【分析】由遞推關(guān)系式，利用累加法即可求解.【詳解】∵，∴，，，…，，∴，即．∴，又當(dāng)時(shí)，，也符合上式．∴題型四：累乘法求數(shù)列通項(xiàng)an＝【分析】由題得＝，再利用累乘法求解.【詳解】∵(n＋1)an＋1＝nan，∴＝.∴＝(n≥2)．以上各式相乘，得.∵an＝(n≥2)，又a1＝1滿足上式，∴an＝(n∈N*)．2．【分析】將題中條件變形為，再利用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由，得，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闀r(shí)，滿足上式，所以3．【分析】已知遞推式變形得出時(shí)，，用累乘法求得，得通項(xiàng)公式．【詳解】由，得，所以當(dāng)時(shí)，．又，所以，從而，因?yàn)楫?dāng)時(shí)也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．4．（1）an＝－(n∈N*)；（2）an＝(n∈N*)．【分析】（1）由已知條件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求出通項(xiàng)公式an.（2）由an＝an－1，可得＝，然后利用累乘法可求出通項(xiàng)公式【詳解】（1）∵an＋1－an＝，∴a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝；…an－an－1＝.以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－.∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．又∵n＝1時(shí)，a1＝－1，符合上式，∴an＝－(n∈N*)．（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.又∵n＝1時(shí)，a1＝1