常州市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)研九年級數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每小題2分，共16分）1．下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．將代數(shù)式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A．（x-2）2+3 B．（x+2）2-4 C．（x+2）2-5 D．（x+2）2+43．不解方程，判斷方程的根的情況是()A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定．4．如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)，在半圓上．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．下列說法正確的是（）A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．任何三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓C．長度相等的弧是等弧 D．三角形的外心是三條角平分線的交點(diǎn)6．某食品廠七月份生產(chǎn)了52萬個(gè)面包，第三季度共生產(chǎn)了196萬個(gè)面包．若x滿足方程，則x表示的意義是（）A．該廠七月份生產(chǎn)面包數(shù)量的增長率B．該廠八月份生產(chǎn)面包數(shù)量的增長串C．該廠七、八月份平均每月生產(chǎn)面包數(shù)量增長率D．該廠八、九月份平均每月生產(chǎn)面包數(shù)量的增長率7．如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，連接OC與半圓相交于點(diǎn)D，則CD的長為（）A．2 B．3 C．1 D．2.58．如圖，在中，，點(diǎn)D在上，且，點(diǎn)E是上的動(dòng)點(diǎn)，連線，點(diǎn)F，G分別是和的中點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)時(shí)，線段長為（）A． B． C． D．4二、填空題（每小題2分，共20分）9．方程的解為________________．10．已知⊙O半徑為5cm，圓心O到直線的距離為6cm，則直線與⊙O的位置關(guān)系是_____．11．已知圓錐的母線長，底面圓的直徑，則該圓錐的側(cè)面積為______．12．已知m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是_________．13．如圖，為的外接圓，，，則半徑長為_____．14．如圖，中，，，與邊，的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，．則的大小為______°．15．已知△ABC三邊長分別為5cm，12cm，13cm，則這個(gè)三角形的外接圓的半徑＝___．16．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于E點(diǎn)，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，則CD的長為______．17．已知等腰的邊長分別是，，，且，是關(guān)于的方程的兩根．則的值為__________．18．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，連接的最大值為_____．三．解下列方程（每題4分，共16分）19．解方程：（1）（2）（3）（4）四．解答題（20題5分，22題、23題、25題每題各6分，21題、24題每題各8分，26題9分）20．已知：關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論a取任何實(shí)數(shù)，此方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個(gè)根大于3，求a的取值范圍．21．超市銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，了擴(kuò)大銷量，增加盈利，該店采取了降價(jià)措施．經(jīng)過一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降價(jià)6元，則平均每天銷售數(shù)量為______件：（2）為盡快減少庫存，要使該商店每天銷售利潤為1200元，每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？22．一次綜合實(shí)踐的主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測量一次性紙杯杯口的直徑？小明阿學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A、B、C、D四點(diǎn)，利用刻度尺量得該紙條寬為，，．請你幫忙計(jì)算紙杯的直徑．23．如圖，已知．（1）請利用直尺和圓規(guī)，作的外接圓．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）僅用無刻度的直尺，在上找兩點(diǎn)D、E，使它們與點(diǎn)A、點(diǎn)B構(gòu)成矩形．24．如圖，在中，，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，交延長線于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）當(dāng)時(shí)，求的長．25．如圖所示，已知甲、乙、丙三種圖案的地磚，它們都是邊長為4的正方形．①甲地磚以正方形的邊長為半徑作弧得到甲圖所示的陰影部分；②乙地磚以正方形的邊長為直徑作弧得到乙圖所示的陰影部分；③丙地磚以正方形邊長的一半為直徑作弧得到丙圖所示的陰影部分；設(shè)三種地磚的陰影部分面積分別為、和（1）請你寫出陰影部分的面積________，（結(jié)果保留）（2）請你直接將和的數(shù)量關(guān)系填在橫線上．_______．（3）由題（2）中面積的數(shù)量關(guān)系，可直接求得（結(jié)果保留）26．小明學(xué)習(xí)了垂徑定理后，作了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多新的發(fā)現(xiàn)．如圖，在中，是的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則可以得到＝，請證明此結(jié)論．（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)兩條弦所組成的折線，稱為該圓的一條折弦．如圖，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)，若、是的折弦，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)．則．這就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何來證明這個(gè)結(jié)論呢？小明的證明思路是∶在上截取，連接、、、…請你按照小明的思路完成證明過程．（3）如圖，已知等邊三角形內(nèi)接于，＝，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，＝，AE⊥BD于點(diǎn)，則的周長為_________．參考答案一、選擇題（每小題2分，共16分）1．C【解析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、B、D都是軸對稱圖形，C是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱圖形的概念，理解軸對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．2．C【解析】將代數(shù)式前兩項(xiàng)結(jié)合，加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即加上4，后面減去4保證與原式相等．【詳解】根據(jù)配方法，若二次項(xiàng)系數(shù)為1，則需要配一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則可先提取二次項(xiàng)系數(shù)，將其化為1后再計(jì)算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用.3．B【解析】利用根的判別式進(jìn)行求解并判斷即可．【詳解】解：∵∴原方程中，，，，，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式是解答此題的關(guān)鍵，當(dāng)判別式時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)判別式時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)判別式時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．4．D【解析】由題意易得∠ACB=90°，則有∠A=40°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵是半圓的直徑，∴∠ACB=90°，∵，∴∠A=40°，∵四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．B【解析】根據(jù)確定圓的條件、等弧的概念、三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、外心的概念判斷即可．【詳解】解：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，A錯(cuò)誤；任何三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，B正確；能夠互相重合的弧是等弧，C錯(cuò)誤；三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，D錯(cuò)誤；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．6．D【解析】增長后的量增長前的量增長率，根據(jù)方程結(jié)合題意確定x的意義即可．【詳解】解：根據(jù)題意：x表示的意義是該廠八、九月份平均每月生產(chǎn)面包數(shù)量的增長率．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用——增長率問題，一般形式為，a為起始時(shí)間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量．7．A【解析】【分析】連接，根據(jù)勾股定理逆定理的性質(zhì)，得，根據(jù)切線和相似三角形的性質(zhì)，推導(dǎo)得、，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，推導(dǎo)得，通過計(jì)算即可得到答案．【詳解】如圖，設(shè)切線AC與半圓的切點(diǎn)為E，連接根據(jù)題意，得，，∵AB=10，AC=8，BC=6∴∴∵∴∴∴，∴，和中∴∴∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓、勾股定理逆定理、相似三角形、全等三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線、相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．8．C【解析】【分析】連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出，再根據(jù)勾股定理求出．【詳解】解：連接，在中，，∴，∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，且，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形斜邊中線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線、掌握直角三角形的性質(zhì)．二、填空題（每小題2分，共20分）9．【解析】【分析】此題考查了解一元二次方程，將一次項(xiàng)移到等式左邊，利用因式分解法解方程，由此得到一元二次方程的解，正確確定一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∴，故答案為：．10．相離．【解析】【分析】設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，當(dāng)d<r時(shí)，直線和圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線和圓相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線和圓相離，因?yàn)?>5，所以直線與圓相離.【詳解】根據(jù)圓心到直線的距離是6大于圓的半徑5，則直線和圓相離．故答案：相離．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓的半徑與圓心到直線的距離的大小關(guān)系決定了其位置關(guān)系，熟練掌握其判斷方法是解題的關(guān)鍵.11．【解析】【詳解】先求出圓錐底面圓的周長為，再根據(jù)扇形面積公式即可求解．解：∵圓錐底面圓的直徑，∴圓錐底面圓的周長為，∴該圓錐的側(cè)面積為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積．熟知圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，其中扇形的半徑為圓錐的母線，扇形的弧長為底面圓周長是解題的關(guān)鍵．12．2028【解析】【分析】根據(jù)方程解的定義得到，進(jìn)而整體代入所求式子中求解即可．【詳解】解：∵m是方程的一個(gè)根，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．13．2【解析】【分析】連接、，根據(jù)圓周角定理得出，證明為等邊三角形，進(jìn)而求出直徑．【詳解】解：連接、，如圖所示：∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴半徑長2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是連接半徑，證明三角形是等邊三角形．14．80【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得，從而求得的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，，∴，∴，∵，，∴，故答案為．15．cm【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理發(fā)現(xiàn)該三角形是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的外接圓的半徑等于斜邊的一半進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：，是直角三角形，則外接圓半徑是斜邊的一半，即為cm；故答案為：cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的外接圓與外心，解題的關(guān)鍵是熟記直角三角形的外接圓的半徑等于斜邊的一半．16．【解析】【分析】作于點(diǎn)，連接，在直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)求得的長，然后在直角中，利用勾股定理即可求得的長，進(jìn)而求得的長．【詳解】解：作于點(diǎn)，連接，則，，，，，中，，，在中，，即，解得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理及直角三角形的性質(zhì)，解答此類題目時(shí)要先作出輔助線，再利用勾股定理求解．17．或【解析】【分析】①當(dāng)時(shí)，②或時(shí)，根據(jù)根的判別式和三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，∵，是關(guān)于方程的兩根，∴，解得，，∴關(guān)于的方程為，解得：，∵，∴，，為邊能組成三角形；②或時(shí)，∴是關(guān)于的方程的根，∴，解得：，∴關(guān)于的方程為，解得：，，∵，∴，，為邊能組成三角形；綜上所述：的值為或．故答案為：或．18．##【解析】【分析】先根據(jù)題意得到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是在半徑為2的上，如圖，取，連接，則是的中位線，即可得到，從而得到最大值時(shí)，取最大值，此時(shí)D、B、C三點(diǎn)共線，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是在半徑為2的上，如圖，取，連接，∵點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴最大值時(shí)，取最大值，此時(shí)D、B、C三點(diǎn)共線，此時(shí)在中，，∴，∴的最大值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問題，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，中位線定理，正確作出輔助線構(gòu)造中位線是解題的關(guān)鍵．三．解下列方程（每題4分，共16分）19．（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）利用直接開平方法解方程；（2）利用配方法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用直接開平方法解方程．【小問1詳解】,∴∴；【小問2詳解】∴，∴；【小問3詳解】∴；【小問4詳解】∴或∴．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握一元二次方程的解法并根據(jù)每個(gè)方程的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．四．解答題（20題5分，22題、23題、25題每題各6分，21題、24題每題各8分，26題9分）20．（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用根的判別式證明即可；（2）求出方程兩根，，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根大于3，所以，解得：a＜－2．【小問1詳解】證明：∵，∴無論a取任何實(shí)數(shù)，此方程總有實(shí)數(shù)根．【小問2詳解】解：由（1）知，∴，∴，，∵方程有一個(gè)根大于3，∴，解得：a＜－2．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式，公式法解一元二次方程．21．（1）32（2）每件商品應(yīng)降價(jià)20元【解析】【分析】（1）根據(jù)在每天銷售20件的基礎(chǔ)上銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，則每天的銷售量為件，再根據(jù)總利潤單件利潤銷售量列出方程求解即可．【小問1詳解】解：由題意得，若降價(jià)6元，則平均每天銷售數(shù)量為件，故答案為：32【小問2詳解】解：設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，由題意得，，整理得：，解得或，∵要盡快減少庫存，∴，∴每件商品應(yīng)降價(jià)20元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．22．【解析】【分析】設(shè)圓心為O，根據(jù)垂徑定理可以得到，，再根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程解題即可【詳解】設(shè)圓心為O，為紙條寬，連接，則，∴，，設(shè)，則，又∵，∴，即，解得：，∴半徑，即直徑為，【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理計(jì)算是解題關(guān)鍵．23．（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）作線段的垂直平分線，交點(diǎn)即為點(diǎn)P，以點(diǎn)P為圓心，為半徑作圓即可；（2）根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分的性質(zhì)，連接并延長交于點(diǎn)D，連接并延長交于點(diǎn)E，則四邊形即為矩形．【小問1詳解】如圖，即為所求；【小問2詳解】矩形即為所求；【點(diǎn)睛】此題考查了作線段的垂直平分線，矩形的性質(zhì)，三角形外接圓的性質(zhì)，熟練掌握各圖形的性質(zhì)并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．24．（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，由，根據(jù)等邊對等角得到一對角相等，再由，根據(jù)等邊對等角得到又一對角相等，根據(jù)同位角相等兩直線平行可得與平行，又垂直于，得與也垂直，可得為圓O的切線；（2）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得，根據(jù)三線合一得到D為中點(diǎn)，由求出的長，再由的長，用勾股定理求出的長，三角形的面積有兩種求法，列出兩個(gè)關(guān)系式，兩關(guān)系式相等可求出的長．小問1詳解】證明：連接，，，，，，，，，是的切線；【小問2詳解】解：連接，為的直徑，，又，且，，在中，，根據(jù)勾股定理得：，又，即，．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理以及切線的判定，其中證明切線是解題關(guān)鍵．25．（