【高考大贏家·提升】學(xué)渣逆襲解密卷（押題卷）（解析版）

絕密★啟用前【高考沖刺滿分】2022年高考數(shù)學(xué)名師押題預(yù)測全真模擬卷（全國乙卷）理科數(shù)學(xué)【高考大贏家·提升】學(xué)渣逆襲解密卷（押題卷）（試卷滿分：150分，考試用時：120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必填寫好自己的姓名、準(zhǔn)考證考號等信息。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并上交。一、單項(xiàng)選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為實(shí)數(shù)，且為純虛數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則化簡，再根據(jù)純虛數(shù)的定義即可得出．【詳解】解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（其中是虛數(shù)單位），為實(shí)數(shù)．，解得．故選：A．2．已知函數(shù)，，則函數(shù)的最大值是（

）A． B． C．-1 D．【答案】B【分析】直接求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最大值.【詳解】解：依題意函數(shù)，，則函數(shù)在上遞增，在上遞減．因此在上，．故選：B．3．銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，利用余弦定理得到，再利用正弦定理結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)得到，結(jié)合外接圓半徑得到，進(jìn)而得到，利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：由，得，由余弦定理，可得，又由正弦定理，可得，所以，得，又，所以，所以.又，所以，所以.又，且，故，所以.又，所以，得，所以，故選：C.4．已知集合，，若有2個元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題知，進(jìn)而根據(jù)題意求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，，若?個元素，則或，解得或，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D．5．等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為40，，則（

）A．12 B．14 C．6 D．7【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式得到方程組，解得和，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得解；【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，解得，所以，所以；故選：B6．在△中，，E是上一點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖形可設(shè)，從而得到，根據(jù)已知條件，即可求出的值.【詳解】解：如圖所示，設(shè)，則，又∵，∴，∴，故選：．7．若存在實(shí)數(shù)x，y，使得成立，且對任意a，，，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式組有解，得出的一個范圍，利用基本不等式得出的又一個范圍，兩者的公共部分即為所求．【詳解】解：的解為，若存在實(shí)數(shù)x，y，使得成立，則應(yīng)滿足，即，所以，又，所以，所以t的取值范圍是，故選：B．8．設(shè)，為兩個不同的平面，則的一個充分條件是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個平面C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線【答案】D【分析】利用空間中線面、面面的位置關(guān)系判斷即可；【詳解】解：對于A：內(nèi)有無數(shù)條直線與平行推不出，只有內(nèi)所有直線與平行才能得出，故A錯誤，對于B：，垂直于同一平面，得到或與相交，故B錯誤，對于C：，平行于同一條直線，得到或與相交，故C錯誤，對于D：因?yàn)榇怪迸c同一條直線的兩平面平行，故，垂直于同一條直線，故D正確．故選：D．9．已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，C的準(zhǔn)線與對稱軸交于點(diǎn)D，過D的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，若FB為∠DFA的角平分線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義，過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，然后利用，得到，進(jìn)而利用，化簡，可求出的值【詳解】解：：，則，所以．過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，則，因?yàn)镕B為∠DFA的平分線，則，又，所以，所以，又，所以．故選：B10．如圖，某城市的街區(qū)由12個全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），段馬路由于正在維修，暫時不通，則從到的最短路徑有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】先考慮所有的最短路徑有種，再減去經(jīng)過段的最短路程即可.【詳解】解：由題意知：從從到的最短路徑要通過7段馬路，4段水平馬路，3段豎直馬路，共有種，又因?yàn)榻?jīng)過段的走法有種，故不經(jīng)過段的最短路程有種.故選：B.11．科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖①，將線段AB等分為AC，CD，DB，如圖②，以CD為底向外作等邊三角形CMD，并去掉線段CD，在圖②的各條線段上重復(fù)上述操作，當(dāng)進(jìn)行三次操作后形成圖③的曲線，設(shè)線段AB的長度為1，則圖③曲線的長度為（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別求得，，，進(jìn)而求得的值，即可求解.【詳解】解：由題意可得，未進(jìn)行操作時，曲線為，長度為，進(jìn)行1次操作時，曲線的長度為；進(jìn)行2次操作時，曲線的長度為，所以曲線的長度構(gòu)成一個等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為1，故，所以當(dāng)進(jìn)行3次操作后形成圖③的曲線時，曲線的長度.故選：C.12．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）（是自然對數(shù)的底數(shù)）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除A，根據(jù)函數(shù)的定義域可排除CD.【詳解】解：對于A，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為奇函數(shù)，不符合題意；對于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，由，所以函?shù)為偶函數(shù)，符合題意；對于C，函數(shù)，則，得且，故函數(shù)的定義域?yàn)榍遥Y(jié)合函數(shù)圖像可知，不符題意；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)榍?，結(jié)合函數(shù)圖像可知，不符題意.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量，，若，則＝___．【答案】【分析】先求出的坐標(biāo)，再由垂直關(guān)系利用數(shù)量積為，即可求解.【詳解】解：由題，，因?yàn)?，所以，即，解得，故答案為?4．已知函數(shù)，若，則的最大值為_________．【答案】【分析】根據(jù)，得到，，由在上單調(diào)遞增，得到，進(jìn)而得到，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：由題意，，得，所以，即，又，得，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．故答案為：15．定義為數(shù)列的“勻稱值”，若數(shù)列的“勻稱值”為，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則_________.【答案】【分析】由已知可得出，利用前項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系可求得，然后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列求和、裂項(xiàng)相消法結(jié)合分組求和法可求得的值.【詳解】解：由題意可得，所，，當(dāng)時，則有；當(dāng)時，由得，上述兩個等式作差可得，則，也滿足，故對任意的，，則，所以，.故答案為：.16．如圖，等腰與矩形所在平面垂直，且，則四棱錐的外接球的表面積為______．【答案】【分析】連接，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則由已知可得平面，連接，，然后利用已知條件可求出，從而可得點(diǎn)為四棱錐的外接球的球心，從而可求出其表面積【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)榈妊c矩形所在平面垂直，平面平面，所以平面，連接，，則因?yàn)榈妊途匦沃?，，所以，所以，所以，所以，所以點(diǎn)為四棱錐的外接球的球心，則球的半徑為所以四棱錐的外接球的表面積為，故答案為：三、解答題：本題共7小題，共70分。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22-23題為選答題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（本題滿分12分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且___________．請?jiān)冖伲虎?；③是和的等差中?xiàng)；這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問題．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．【答案】(1)；(2)【分析】（1）選①，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公比，即可求解；選②，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式可求得公比，進(jìn)而得解；選③，利用等差中項(xiàng)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得解；（2）由裂項(xiàng)相消法可求解.【詳解】解：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于，則有．選擇條件①，由已知得，又，所以，解得（舍去）或，所以．選擇條件②，由已知得，所以，即，又，所以，解得（舍去）或，所以．選擇條件③，由題，可知，又，則有，解得（舍去）或，所以．(2)由（1）得，，所以．所以．18．（本題滿分12分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求的最大值．【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）將代入，求導(dǎo)后判斷導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系即可得單調(diào)性；（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為，通過證明不小于函數(shù)切線所對應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)而得到，再次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.【詳解】解：(1)當(dāng)時，，定義域?yàn)椋?，?dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．(2)由，得，故．設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，，則在點(diǎn)處的切線為．設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．故，所以．令，則，設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．故，所以的最大值為．【點(diǎn)睛】該題證明不等式主要是由含有參數(shù)的一次函數(shù)聯(lián)想到曲線的切線問題，證明曲線始終再切線的上方，進(jìn)而將分別用表示是解題的關(guān)鍵.19．（本題滿分12分）如圖，在三棱錐中，，二面角為直二面角．(1)若，證明：平面ABD⊥平面ACD；(2)若，，二面角的余弦值為．求CD的長．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】(1)二面角為直二面角推出平面，所以，又，得到平面AB⊥平面ACD，進(jìn)一步得平面ABD⊥平面ACD.(2)以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以面內(nèi)垂直于的直線、直線、直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

，分別求出平面和平面法向量，由面角的余弦值為，求出解得，則.【詳解】(1)因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，所以平面平?又平面平面=，平面，，所以，所以平面，又平面，所以，又，，所以平面AB⊥平面ACD，又因?yàn)槠矫?，所以平面ABD⊥平面ACD.(2)如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以面內(nèi)垂直于的直線、直線、直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)

，因?yàn)?，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，得平面的一個法向量，同理，得平面的一個法向量，由二面角的余弦值為，有，解得，則.20．（本題滿分12分）某廠新開設(shè)了一條生產(chǎn)線生產(chǎn)一種零件，為了監(jiān)控生產(chǎn)線的生產(chǎn)情況，每天需抽檢10個零件，監(jiān)測各個零件的核心指標(biāo)，下表是某天抽檢的核心指標(biāo)數(shù)據(jù)：9.710.19.810.29.79.910.210.210.010.2(1)求上表數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.下面是另一天抽檢的核心指標(biāo)數(shù)據(jù)：10.110.39.79.810.09.810.310.010.79.8從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？【答案】(1)，；(2)這天需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備﹒【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)和方差計(jì)算公式計(jì)算即可；(2)根據(jù)(1)中的平均數(shù)和方差，判斷是否有數(shù)據(jù)落在之外即可．【詳解】解：(1)由表中數(shù)據(jù)，得，．(2)由(1)可知，故．∵表中第9個數(shù)據(jù)，故這天需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．21．（本題滿分12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．從下列①②這兩個條件中選擇一個補(bǔ)充在橫線處，并作答．①O為的內(nèi)心；②O為的外心．注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計(jì)分．(1)求A；(2)若，________，求的面積．【答案】(1)；(2)選①，；選②，．【分析】（1）由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換求得角；（2）選①，由余弦定理求得，由面積公式求得三角形面積，再結(jié)合內(nèi)切圓半徑表示三角形面積求得內(nèi)切圓半徑，即可求面積；選②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圓半徑，由圓周角定理和圓心角定理求得，直接由面積公式計(jì)算出面積．【詳解】解：(1)因?yàn)?，由正弦定理得，，，三角形中，，所以，，則，所以，；(2)選①O為的內(nèi)心，如圖，分別是內(nèi)切圓在各邊上的切點(diǎn)，，，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，所以；選②O為的外心，在外部，如圖，外接圓上，由（1），所以，又，，，．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（10分）22．在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），其中.在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若與相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn)，求.【答案】（1），或；﹒（2）6【分析】（1）由曲線（為參數(shù)），消去參數(shù)，即可求得曲線普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將曲線代入，結(jié)合直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】解：（1）由題意，曲線（為參數(shù)），可得（為參數(shù)）兩式相除，可得，整理得曲線的普通方程或；由曲線，兩邊同乘，可得，又因?yàn)?，代入可得，即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為﹒（2）將曲線代入，得，整理得﹐設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為，，則，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的綜合應(yīng)用，著重