蘇科版七年級上冊數(shù)學(xué)第2章《有理數(shù)》單元知識(shí)點(diǎn)

第2章有理數(shù)一、正數(shù)、負(fù)數(shù)像+3、+1.5、、+584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)；像－3、－1.5、、－584等在正數(shù)前面加“－”號(hào)的數(shù)，叫做負(fù)數(shù)．要點(diǎn)分析：（1）一個(gè)數(shù)前面的“+”“-”是這個(gè)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)，“+”常省略，但“-”不能省略.（2）用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，哪種為正可任意選擇，但習(xí)慣把“前進(jìn)、上升”等規(guī)定為正，而把“后退、下降”等規(guī)定為負(fù)．（3）0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的“分水嶺”．二、有理數(shù)與無理數(shù)1：有理數(shù)的分類（1）按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：（2）按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：

要點(diǎn)分析：（1）有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù).（2）分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)可以互化，所以有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可看作分?jǐn)?shù)，但無限不循環(huán)小數(shù)不是分?jǐn)?shù)，例如．（3）正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)．2：有理數(shù)我們把能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式（m,n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫做有理數(shù)．要點(diǎn)分析：（1）有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，他們都是有理數(shù)．（2）所有整數(shù)都可以寫成分母是1的分?jǐn)?shù)，因此可以理解為整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．3：無理數(shù)1、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．要點(diǎn)分析：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限．無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式．（2）目前常見的無理數(shù)有兩種形式：①含類．②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111……．2、有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別（1）無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)．（2）任何一個(gè)有理數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)的形式，而無理數(shù)則不能．4：循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)1、定義：如果一個(gè)無限小數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字，從小數(shù)部分的某一位起，按一定順序不斷重復(fù)出現(xiàn)，那么這樣的小數(shù)叫做無限循環(huán)小數(shù)，簡稱循環(huán)小數(shù)，其中重復(fù)出現(xiàn)的一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字叫做它的一個(gè)循環(huán)節(jié)．2、純循環(huán)小數(shù)從小數(shù)點(diǎn)后面第一位起就開始循環(huán)的小數(shù)，叫做純循環(huán)小數(shù)．例如：0．666…、．．純循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法是：分子是一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)；分母的各位數(shù)字都是9，9的個(gè)數(shù)等于一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)．例如，．3、混循環(huán)小數(shù)如果小數(shù)點(diǎn)后面的開頭幾位不循環(huán)，到后面的某一位才開始循環(huán)，這樣的小數(shù)叫做混循環(huán)小數(shù)．例如：、0．3456456…．混循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法是：分子是不循環(huán)部分和一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)減去不循環(huán)部分的數(shù)字組成的數(shù)所得的差，分母就是按一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)寫幾個(gè)9，再在后面按不循環(huán)部分的位數(shù)添寫幾個(gè)0組成的數(shù)．例如，，．要點(diǎn)分析：（1）任何一個(gè)循環(huán)小數(shù)都可化為分?jǐn)?shù)．（2）混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)也可以先化為純循環(huán)小數(shù)，然后再化為分?jǐn)?shù)．三、數(shù)軸1：數(shù)軸定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸．要點(diǎn)分析：（1）定義中的“規(guī)定”二字是說原點(diǎn)的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據(jù)需要“規(guī)定”的．通常，習(xí)慣取向右為正方向．（2）長度單位與單位長度是不同的，單位長度是根據(jù)需要選取的代表“1”的線段，而長度單位是為度量線段的長度而制定的單位．有km、m、dm、cm等．2：數(shù)軸的畫法（1）畫一條直線（通常畫成水平位置）；（2）在這條直線上取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，這點(diǎn)表示0；（3）規(guī)定直線上向右為正方向，畫上箭頭；（4）再選取適當(dāng)?shù)拈L度，從原點(diǎn)向右每隔一個(gè)單位長度取一點(diǎn)，依次標(biāo)上1，2，3，…從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長度取一點(diǎn)，依次標(biāo)上-1，-2，-3，…要點(diǎn)分析：（1）原點(diǎn)的位置、單位長度的大小可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)選?。?）確定單位長度時(shí)根據(jù)實(shí)際情況，有時(shí)也可以每隔兩個(gè)（或更多的）單位長度取一點(diǎn)．3：數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)，還可以表示其他數(shù)，比如．要點(diǎn)分析：（1）一般地，數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示正數(shù)，左邊的點(diǎn)表示負(fù)數(shù)；反過來也對，即正數(shù)用數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)數(shù)用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，零用原點(diǎn)表示．

（2）一般地，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．四、相反數(shù)1、定義：如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)．特別地，0的相反數(shù)是0．要點(diǎn)分析：（1）“只”字是說僅僅是符號(hào)不同，其它部分完全相同．

（2）“0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分，不能漏掉．（3）相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能說是相反數(shù)．（4）求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上“-”號(hào)即可．2、性質(zhì)：（1）互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等（這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱）．（2）互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0．五、多重符號(hào)的化簡多重符號(hào)的化簡，由數(shù)字前面“-”號(hào)的個(gè)數(shù)來確定，若有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡結(jié)果為正，如-{-[-(-4)]}=4；若有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡結(jié)果為負(fù)，如-{+[-(-4)]}=-4．要點(diǎn)分析：（1）在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“＋”，仍然與原數(shù)相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．

（2）在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“－”，就成為原數(shù)的相反數(shù)．如－（－3）就是－3的相反數(shù)，因此，－（－3）＝3．六、絕對值1、定義：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值，例如+2的絕對值等于2，記作|+2|=2；-3的絕對值等于3，記作|-3|=3．要點(diǎn)分析：（1）絕對值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．即對于任何有理數(shù)a都有：（2）絕對值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，絕對值越大；離原點(diǎn)的距離越近，絕對值越小．（3）一個(gè)有理數(shù)是由符號(hào)和絕對值兩個(gè)方面來確定的．2、性質(zhì)：（1）0除外，絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．（2）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)（0除外）的絕對值相等.（3）絕對值具有非負(fù)性，即任何一個(gè)數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0．七、有理數(shù)的大小比較1、數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出這兩個(gè)有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)?。纾篴與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a＜b．2、法則比較法：兩個(gè)數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號(hào)分類，情況如下：兩數(shù)同號(hào)同為正號(hào)：絕對值大的數(shù)大同為負(fù)號(hào)：絕對值大的反而小兩數(shù)異號(hào)正數(shù)大于負(fù)數(shù)－數(shù)為0正數(shù)與0：正數(shù)大于0負(fù)數(shù)與0：負(fù)數(shù)小于0要點(diǎn)分析：利用絕對值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟：（1）分別計(jì)算兩數(shù)的絕對值；（2）比較絕對值的大?。海?）判定兩數(shù)的大?。?、作差法：設(shè)a、b為任意數(shù)，若a-b＞0，則a＞b；若a-b＝0，則a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．4、求商法：設(shè)a、b為任意正數(shù)，若，則；若，則；若，則；反之也成立．若a、b為任意負(fù)數(shù)，則與上述結(jié)論相反．5．倒數(shù)比較法：如果兩個(gè)數(shù)都大于零，那么倒數(shù)大的反而?。?、有理數(shù)的運(yùn)算1、法則：（1）加法法則：①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．（2）減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：①負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；③如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．要點(diǎn)詮釋：“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：（1）多重負(fù)號(hào)的化簡，這里奇偶指的是“－”號(hào)的個(gè)數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個(gè)非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號(hào)，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：，．2．運(yùn)算律：（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；（2）結(jié)合律:①加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結(jié)合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac九、科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)及精確度1、科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成的形式（其中，是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法．例如：200000=．2、近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)，叫做這個(gè)精確數(shù)的近似數(shù)或近似值.如長江的長約為6300㎞，這里的6300㎞就是近似數(shù).要點(diǎn)詮釋：一般采用四舍五入法取近似數(shù)，只要看要保留位數(shù)的下一位是舍還