重慶市烏江新高考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測數(shù)學(xué)試題

20232024學(xué)年（上）期末學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測高二數(shù)學(xué)試題（分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將圓一般方程配方得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定圓心坐標(biāo)得選項(xiàng).【詳解】圓的方程，可化為，即，所以圓心坐標(biāo)為．故選：D2.下列直線中，傾斜角最大的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出直線的傾斜角即可判斷.【詳解】可得的傾斜角為，因?yàn)榈男甭蕿?，所以直線的傾斜角為，易得直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率為1，所以直線的傾斜角為，綜上，傾斜角最大的是.故選：B.3.已知圓的圓心為，且圓與軸的交點(diǎn)分別為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，圓心在直線上，從而求出圓心坐標(biāo)，即可得到圓的半徑以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】因?yàn)閳A與軸的交點(diǎn)分別為，所以圓心在直線上，即有，圓心，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．4.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的空間幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長為1，則直線CQ與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的方法求線面角即可.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以.故選：B.5.已知直線：和圓：交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB所對(duì)的圓心角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用幾何法求弦長，再利用余弦定理即可求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以弦長，在中，由余弦定理可得：.故選：C6.折紙是一種以紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，折紙大約起游于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時(shí)的中國，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支.如圖，現(xiàn)有一半徑為4的圓紙片(A為圓心，B為圓內(nèi)的一定點(diǎn))，且，如圖將圓折起一角，使圓周正好過點(diǎn)B，把紙片展開，并留下一條折痕，折痕上到A，B兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為P，如此往復(fù)，就能得到越來越多的折痕，設(shè)P點(diǎn)的軌跡為曲線C.在C上任取一點(diǎn)M，則△MAB面積的最大值是（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系可得到為定值4，由橢圓定義可知點(diǎn)軌跡方程為橢圓，結(jié)果由橢圓性質(zhì)可得.【詳解】設(shè)點(diǎn)，關(guān)于“折痕”所在直線對(duì)稱，即折前點(diǎn)在圓上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn).連接交“折痕”于點(diǎn)，則點(diǎn)到，兩點(diǎn)距離之和最小，且，所以的軌跡是以，為焦點(diǎn)，且長軸長為的橢圓，焦距，，故短半軸，所以面積的最大值為.故選：D.7.已知橢圓的方程為，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，則面積的最大值為.若已知，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)面積的最大值時(shí)，直線與橢圓相切，設(shè)與直線平行的橢圓的切線方程為，與橢圓聯(lián)立得到，由面積的最大值為，求得，，由均值不等式即得解.【詳解】在橢圓中，點(diǎn)，則，，直線的方程為，設(shè)與直線平行的橢圓的切線方程為，由方程組得，由，得，則，兩平行線間的距離，則面積的最大值為，得，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.8.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，漸近線方程為，過直線交雙曲線左支于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.9 B.10 C.14 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程求得，利用雙曲線的定義，通過求的最小值來求得的最小值.【詳解】雙曲線，對(duì)應(yīng)，漸近線方程為，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，根據(jù)雙曲線的定義有，兩式相加得，，依題意可知直線與軸不重合，雙曲線的左焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，由，解得，由于直線與雙曲線左支相交于兩點(diǎn)，所以，設(shè)，則，所以，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以的最小值為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分.9.已知點(diǎn),在z軸上求一點(diǎn)B，使|AB|＝7，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為,根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式列式求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為,由空間兩點(diǎn)間距離公式可得，解得或10,所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：AC.10.下列四個(gè)命題中真命題有（）A.直線在軸上的截距為B.經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示C.直線必過定點(diǎn)D.已知直線與直線平行，則平行線間的距離是【答案】CD【解析】【分析】利用截距的定義可判斷A選項(xiàng)；取點(diǎn)且垂直于軸的直線，可判斷B選項(xiàng)；求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷C選項(xiàng)；利用兩直線平行求出的值，結(jié)合平行線間的距離公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線在軸上的截距為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線方程為，不能用方程表示，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，將直線方程變形為，由可得，故直線過定點(diǎn)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若直線與直線平行，則，解得，直線方程可化為，故兩平行直線間的距離為，D對(duì).故選：CD.11.設(shè)．若，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)方程表示的曲線或函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項(xiàng)?！驹斀狻拷夥ㄒ唬焊鶕?jù)題意，，于是該方程對(duì)應(yīng)的圖象是雙曲線的一部分，如圖．因此的取值位于雙曲線在點(diǎn)O處的切線斜率和雙曲線的漸近線斜率之間．考慮到雙曲線在點(diǎn)O處的切線方程，其斜率為．因此．由，可得，故C正確；由，可得，，故BD正確，A錯(cuò)誤.解法二：因?yàn)?，而在上單調(diào)遞增，所以．故選：BCD12.已知雙曲線C:（，），過左焦點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足為P，過右焦點(diǎn)作一條直線交C的右支于A，B兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)Q，則（）A.線段AB的最小值為B.的內(nèi)切圓與直線AB相切于點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，C的離心率為2D.當(dāng)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上時(shí)，C的漸近線方程為【答案】BD【解析】【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式可判斷A，根據(jù)雙曲線的定義和內(nèi)切圓性質(zhì)可判斷B，由題可得進(jìn)而可判斷C，根據(jù)條件可得漸近線與x軸的夾角為可判斷D.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，則，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為聯(lián)立，消去，得，，由，解得或，所以，所以當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，的長最小，即最小值為，故A錯(cuò)誤；設(shè)的內(nèi)切圓與三角形三邊的切點(diǎn)分別是，由切線長性質(zhì)，可得，因?yàn)椋?，所以與重合，即的內(nèi)切圓與直線AB相切于點(diǎn)，故B正確；由題可知雙曲線的漸近線為，，則，由上可知，所以，所以，故C錯(cuò)誤；若關(guān)于P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上時(shí)，則漸近線與x軸的夾角為，則其漸近線方程為，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線方程為，則該直線的傾斜角為_________.【答案】####45°【解析】【分析】求出直線的斜率，進(jìn)而得到直線的傾斜角.【詳解】直線的斜率為1，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所?故答案為：.14.橢圓上有且僅有4個(gè)不同的點(diǎn)滿足，其中，則橢圓C的離心率的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出點(diǎn)的軌跡方程，從而圓與橢圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn),由得,化簡得,依題意得圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，所以，即，即，所以，所以.故答案為:.15.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga，約公元前262~190年）發(fā)現(xiàn)：平面上兩定點(diǎn)A，B，則滿足的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則面積的最大值為_________.【答案】13【解析】【分析】根據(jù)題意求點(diǎn)的方程與邊，利用圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為圓心到直線的距離加上半徑，即可求出邊的高，進(jìn)而求出面積的最大值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，故點(diǎn)的方程為.直線的方程為圓心到直線的距離.設(shè)點(diǎn)到邊的高為，的最大值為.故答案為：13.16.如圖拋物線的頂點(diǎn)為A，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點(diǎn)為B，焦點(diǎn)也為F，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于P、Q兩點(diǎn)，分別過P、Q作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過F的直線與封閉曲線APBQ交于C、D兩點(diǎn)，則下列說法正確的是______①；②四邊形MNST的面積為；③；④的取值范圍為.【答案】①②③④【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義可得判斷①，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可得拋物線的方程為，可得，進(jìn)而判斷②，利用拋物線的定義結(jié)合條件可得可判斷③，利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可判斷④.【詳解】設(shè)直線與直線分別交于由題可知，所以，，故①正確；如圖以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以拋物線的方程為，連接，由拋物線的定義可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四邊形的面積為，故②正確；連接，因?yàn)?，所以，所以，故，故③正確；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，，當(dāng)與重合時(shí)，最小，最小值為，當(dāng)與重合，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，因?yàn)椋本€，與拋物線方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以；當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，設(shè)，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，；綜上，，故④正確.故答案為：①②③④.【點(diǎn)睛】構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合拋物線定義可求解長度和角度問題，判斷①②，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，判斷，從而，從而判斷③，分別討論的位置，然后判斷的取值范圍，判斷④，是本題的難點(diǎn).四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，為直角，AB∥CD，，，，請(qǐng)建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】答案見解析【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的概念求解.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，．18.圓截直線所得的弦長為，求的值【答案】【解析】【分析】先化圓標(biāo)準(zhǔn)式方程，再求圓心到直線距離，最后根據(jù)垂徑定理列方程解得結(jié)果.【詳解】因此圓心到直線距離為因?yàn)閳A截直線所得的弦長為，所以【點(diǎn)睛】本題考查由圓弦長求參數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19.已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上一點(diǎn)且三角形MOF的面積為（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），不過點(diǎn)M的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M，過點(diǎn)M作交PQ于點(diǎn)N.（1）求拋物線C的方程；（2）求證直線PQ恒過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)N的軌跡方程.【答案】（1）；（2）證明見解析，.【解析】【分析】（1）由題可得，利用條件可求，即得；（2）由題可設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理法可得直線PQ恒過定點(diǎn)，然后利用條件可求點(diǎn)N的軌跡方程.【詳解】（1）由題意得，故，解得，故拋物線C的方程為.（2）易得，由題意可設(shè)直線PQ的方程為，，由，消去x，得，故，因?yàn)椋?，即，整理得，即，∴，所以，所以或，?dāng)，即時(shí)，直線PQ的方程為，此時(shí)直線過點(diǎn)，不合題意舍去；當(dāng)，即時(shí)，直線PQ的方程為，此時(shí)直線PQ恒過定點(diǎn).設(shè)，則由，即，得，即點(diǎn)N的軌跡方程為.20.如圖，在四棱錐中，平面平面，且是邊長為2的等邊三角形，四邊形是矩形，，M為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)D到平面的距離．【答案】（1）見解析.（2）（3）【解析】【分析】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得.（2）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值（3）利用空間向量法可點(diǎn)D到平面的距離.【小問1詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意，可得，即,∴.【小問2詳解】設(shè)為平面的法向量，則即取得,.【小問3詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,由(2)可知為平面的一個(gè)法向量，即點(diǎn)到平面的距離為.21.圖1是由正三角形和正方形組成的一個(gè)平面圖形，將其沿折起使得平面底面，連結(jié)、，如圖2．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，以及面面垂直的性質(zhì)定理可知平面，最后可得線線垂直.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面、平面的法向量，然后使用向量的夾角公式可得結(jié)果.【詳解】（1）由題可知：在正方形中，有又平而平面，平而平面平面，所以平面又