高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)之-指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第5講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【2014年高考會這樣考】1．考查指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)及其應(yīng)用．2．以指數(shù)與指數(shù)函數(shù)為知識載體，考查指數(shù)冪的運算和函數(shù)圖像的應(yīng)用．3．以指數(shù)或指數(shù)型函數(shù)為命題背景，重點考查參數(shù)的計算和冪的比較大小．4．考查指數(shù)函數(shù)與函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容結(jié)合的綜合問題.考點梳理(1)根式的概念1．根式xn＝a(2)兩個重要公式a－aaa2．分數(shù)指數(shù)冪03．有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)ar＋sarsarbr4．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖像定義域____值域__________R(0，＋∞)性質(zhì)過定點______當x>0時，y>1；x<0時，0<y<1當x>0時，0<y<1x<0時，y>1在(－∞，＋∞)上遞增在(－∞，＋∞)上遞減(0,1)一個關(guān)系分數(shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系根式與分數(shù)指數(shù)冪的實質(zhì)是相同的，分數(shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式的化簡運算．兩個防范(1)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a的大小決定的，因此解題時通常對底數(shù)a按0<a<1和a>1進行分類討論．(2)換元時注意換元后“新元”的范圍．三個關(guān)鍵點【助學(xué)·微博】A．a(chǎn)>1，b>0 B．a(chǎn)>1，b<0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0答案

D考點自測答案

AA．關(guān)于直線y＝x對稱

B．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于y軸對稱

D．關(guān)于原點對稱答案

C3．假設(shè)lga＋lgb＝0(其中a≠1，b≠1)，那么函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝bx的圖像 ()．答案

C答案

7

[審題視點]熟記有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是化簡的關(guān)鍵．考向一指數(shù)冪的化簡與求值

在解決分數(shù)指數(shù)冪的運算時，應(yīng)注意如下幾點：(1)盡量將根式、小數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪；(2)盡量運用乘法公式；(3)對于有些指數(shù)式的問題，有時應(yīng)轉(zhuǎn)化為對數(shù)；(4)注意整體代換思想在指數(shù)式運算中的應(yīng)用．[審題視點]對a分a>1和0<a<1兩種情況討論，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性)進行判斷．考向二指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用答案

D (1)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖像的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像，通過平移、對稱變換得到其圖像．(2)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解．【訓(xùn)練2】畫出函數(shù)y＝|3x－1|的圖像，并利用圖像答復(fù)：k為何值時，方程|3x－1|＝k無解？有一解？有兩解？解函數(shù)y＝|3x－1|的圖像是由函數(shù)y＝3x的圖像向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖像沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖像如下圖．當k<0時，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖像無交點，即方程無解；當k＝0或k≥1時，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖像有唯一的交點，所以方程有一解；當0<k<1時，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖像有兩個不同交點，所以方程有兩解．

(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)當x∈[－1,1]時，f(x)≥b恒成立，求b的取值范圍．[審題視點]對解析式較復(fù)雜的函數(shù)判斷其奇偶性要適當變形；恒成立問題可通過求最值解決．考向三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(2)當a>1時，a2－1>0，y＝ax為增函數(shù)，y＝a－x為減函數(shù)，從而y＝ax－a－x為增函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)．當0<a<1時，a2－1<0，y＝ax為減函數(shù)，y＝a－x為增函數(shù)，從而y＝ax－a－x為減函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)．故當a>0，且a≠1時，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)，所以在區(qū)間[－1,1]上為增函數(shù)，所以f(－1)≤f(x)≤f(1)， (1)判斷函數(shù)的奇偶性，先看定義域是否關(guān)于原點對稱，再看f(－x)與f(x)的關(guān)系；(2)在利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決相關(guān)綜合問題時，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時進行分類討論；(3)解決恒成立問題，一般需通過別離變量，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值等來實現(xiàn)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)討論函數(shù)f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范圍，使f(x)>0在定義域上恒成立．解

(1)由于ax－1≠0，且ax≠1，所以x≠0.∴函數(shù)f(x)的定義域為{x|x∈R，且x≠0}．即當x>0時，f(x)>0.又由(2)知f(x)為偶函數(shù)，即f(－x)＝f(x)，那么當x<0時，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．綜上可知，當a>1時，f(x)>0在定義域上恒成立．【命題研究】通過對近三年高考試題分析，對本講考查的題目源于教材，略高于教材，是教材中問題的延伸與組合，指數(shù)函數(shù)作為中學(xué)階段的根本函數(shù)，其圖像侚和性質(zhì)是重要的考查熱點．題型有：解簡單的指數(shù)方程、不等式，利用數(shù)形結(jié)合思想判斷方程解的個數(shù)、與不等式相結(jié)合考查代數(shù)式的最值或參數(shù)的取值范圍等．多以選擇題、填空題出現(xiàn)，難度以中檔題為主．熱點突破5——有關(guān)求解指數(shù)型函數(shù)中參數(shù)的取值范圍問題[教你審題]此題為指數(shù)型的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定判斷，結(jié)合函數(shù)圖像求解．[解法]因為y＝eu是R上的增函數(shù)，所以f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，只需u＝|x－a|在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，由函數(shù)圖像可知a≤1.[答案](－∞，1][反思]有關(guān)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性要利用“同增異減”的判定法那么來求解，假設(shè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時還要進行分類討論．【真題探究】?