2023年上海市16區(qū)數學中考二模匯編4 圖形的性質含詳解

專題04圖形的性質

一、單選題

1.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）下列命題是真命題的是（）

A.平行四邊形的鄰邊相等；B.平行四邊形的對角線互相平分；

C.平行四邊形內角都相等；D.平行四邊形是軸對稱圖形.

2.（2023?上海楊浦?二模）下列命題中，正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對角線相等的平行四邊形是矩形

D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

3.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）如果一個三角形的兩邊長分別為5cm、IOCm,那么這個三角形的第三邊的長可以

是（）

A.3cmB.5cmC.IOcmD.16cm

4.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）如圖，在./BC中，NAeB=90。.用尺規(guī)作圖的方法作出直角三角形斜邊上的中線

CP,那么下列作法一定正確的是（）

5.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）下列命題正確的是（）

A.三點確定一個圓B.圓的任意一條直徑都是它的對稱軸

C.等弧所對的圓心角相等D.平分弦的直徑垂直于這條弦

6.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）順次聯結四邊形ABCo各邊中點所得的四邊形是矩形，那么四邊形ABCO一定是

（）

A.菱形B.對角線相等的四邊形

C.對角線互相垂直的四邊形D.對角線互相垂直且平分的四邊形

7.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）下列圖形中，是中心對稱圖形且旋轉240。后能與自身重合的圖形是（）

A.等邊三角形B.正方形C.正八邊形D.正十二邊形

8.（2023,上海寶山?統(tǒng)考二模）已知點/、B、C在圓。上，那么下列命題為真命題的是（）

A.如果半徑。8平分弦AC,那么四邊形OABC是平行四邊形

B.如果弦AC平分半徑08,那么四邊形OABC是平行四邊形

C.如果四邊形OABC是平行四邊形，那么NAOC=I20。

D.如果NAOC=I20。，那么四邊形。43C是平行四邊形

9.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，在梯形ABCO中，已知AO〃BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,分

別以A8、CD為直徑作圓，這兩圓的位置關系是（）

A.內切B.外切C.相交D.外離

10.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）如圖，已知正方形OEFG的頂點。、E在ABC的邊BC上，點G、尸分別在邊

AB.AC上，如果8C=8,45C的面積是32,那么這個正方形的邊長是（）

IL（2023?上海崇明?統(tǒng)考二模）下列命題是真命題的是（）

A.四邊都相等的四邊形是正方形B.一組鄰邊相等的矩形是正方形

C.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

12.（2023?上海靜安?統(tǒng)考二模）下面是"作/A08的平分線"的尺規(guī)作圖過程：

①在。4、OB上分別截取?！辏?、OE,使OD=OE；②分別以點O、E為圓心，以大于;。E的同一長度為半

徑作弧，兩弧交于ZAOB內的一點C；

③作射線OC.

OC就是所求作的角的平分線.

B.兩邊及它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

C.兩角及它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

D.兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等

13.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）如圖，點G是A3C的重心，四邊形AEG。與45C面積的比值是（）

14.（2023?上海崇明?統(tǒng)考二模）己知在一ABC中，AB=AC=5,BC=6,如果以/為圓心廠為半徑的A和以

BC為直徑的。相交，那么廠的取值范圍（）

A.l<r<4B.4<r<10C.l<r<7D.7<r<10

15.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）把球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知

EF=CD=8,那么球的半徑長是（）

A.4B.5C.6D.8

二、填空題

16.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）如果兩圓的半徑分別為5或2,圓心距為7,那么這兩個圓的位置關系是

17.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）如果正六邊形的半徑長為2,那么它的面積為.

18.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）已知相交兩圓的半徑長分別為R和，如果兩圓的圓心距為6,且R=2r,試寫出

一個符合條件的〃的值：.

19.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）如圖，在正五邊形ABCDE中，尸是邊BC延長線上一點，連接AC,那么NACF的

度數為.

BCF

20.（2023?上海靜安?統(tǒng)考二模）已知半徑分別是2和6的兩圓的圓心距為6,那么這兩個圓有個公共點.

21.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）如圖，已知點E在矩形ABC。的邊AD上，且8C=EC=8,ZABE=I5°,那么

AB的長等于_________.

22.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系Xoy中，點4在直線y=2x上，點/的橫坐標為1,點P

是X軸正半軸上一點，點8在反比例函數yJ（χ>O）圖象上，聯結AP、PB和OB.如果四邊形OAPB是矩形，那

X

么人的值是.

23.（2023?上海崇明?統(tǒng)考二模）如圖，ABC和V45E都是等邊三角形，點。是ABC的重心，那么沁=

A

E

/D?

BL-------------------?e

24.（2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模）如圖，在RtA4SC中，NC=90。，AB=I3,SinA=A以點C為圓心，R為半

徑作圓，使4、8兩點一點在圓內，一點在圓外，那么R的取值范圍是.

25.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標系中，已知點A（8,0）、點3（0,6）,A的半徑為5,點C是A

上的動點，點尸是線段3C的中點，那么OP長的取值范圍是.

26.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，已知。的內接正方形ABC。，點F是CO的中點，AP與邊￡>C交于點

E,那么M=

AE

三、解答題

27.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCO中，AD//BC,AD±CD,AD=?,CD=2.

BC

（1）如果BC=3,求CotB的值；

（2）如果AB=BC,求四邊形ABa）的面積.

28.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）如圖，在ΛBC中，NAC8=90。，AC=2,8C=4,點。為AB的中點，過點8

作CO的垂線，交8的延長線于點E.

⑴求線段C/）的長;

⑵求建CD的值.

29.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）已知：如圖，。是ABC的外接圓，AE平分.ABC的外角/D4C,

OM±AB,ONlAC,垂足分別是點Λ/,N,且OM=ON.

D,

⑴求NOAE的度數;

3

(2)如果3C=6,CosB=-,求。的半徑長.

3

30.（2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模）如圖，在ΛBC中，AC=AB,SinA=圓。經過/、8兩點，圓心。在線段

AC上，點C在圓。內，且OC=3.

⑴求圓。的半徑長;

（2）求BC的長.

31.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）如圖，已知在.ABC中，AB=AC=6,BC=4,點E、F分別是AB、AC的中

點，過點C作C￡>〃AB交EF的延長線于點。，連接AD.

A

⑴求/8的正弦值;

(2)求線段A。的長.

32.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模)如圖，AD,分別是,ABC邊BC上的高和中線，已知8C=8,tanβ=∣,

ZC=45°.

⑴求AO的長；

(2)求SinNBAE的值.

33.(2023?上海崇明?統(tǒng)考二模)如圖，已知在.ABC中，AC=5,BC=6,。經過ASC的頂點4C,交

AB邊于點。，AD=4JJ,點C是AO的中點.

⑴求。的半徑長；

(2)聯結OC,求sin/58.

專題04圖形的性質

一、單選題

1.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）下列命題是真命題的是（）

A.平行四邊形的鄰邊相等；B.平行四邊形的對角線互相平分；

C.平行四邊形內角都相等；D.平行四邊形是軸對稱圖形.

【答案】B

【分析】根據平行四邊形的性質可進行求解.

【詳解】解：由平行四邊形的性質可知：平行四邊形的兩組對邊相等；平行四邊形的對角線互相平分；平行四邊

形的對角相等；平行四邊形是中心對稱圖形；

故選B.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質及真命題，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵.

2.（2023?上海楊浦?二模）下列命題中，正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對角線相等的平行四邊形是矩形

D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

【答案】C

【分析】根據平行四邊形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，對選項逐個判斷即可;

【詳解】A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題，不符合題意；

B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，原命題是假命題，不符合題意；

C.對角線相等的平行四邊形是矩形，是真命題，符合題意；

D.對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形，原命題是假命題，不符合題意；

故選：C.

【點睛】此題考查了平行四邊形、矩形、菱形以及正方形的判定，掌握它們的判定方法是解題的關鍵.

3.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）如果一個三角形的兩邊長分別為5cm、IOCm,那么這個三角形的第三邊的長可以

是（）

A.3cmB.5cmC.IOcmD.16cm

【答案】C

【分析】利用三角形的三邊關系求出第三邊的取值范圍，進而可作出選擇.

【詳解】解：設這個三角形的第三邊長為XCm,

則10-5<x<l（）+5,BP5<x<15,

選項C中的IOCm滿足條件，

故選：C.

【點睛】本題考查三角形的三邊關系，會利用三角形的三邊關系求得第三邊的取值范圍是解答的關鍵.

4.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）如圖，在JLBC中，ZAeS=90。.用尺規(guī)作圖的方法作出直角三角形斜邊上的中線

CP,那么下列作法一定正確的是（）

【答案】C

【分析】根據線段垂直平分線的作圖、角平分線的作圖及直角三角形斜邊中線定理可進行求解.

【詳解】解：A、由作圖可知CP=BC,不滿足點P是AB的中點，故不符合題意；

B、由作圖可知BP=BC,不滿足點P是A8的中點，故不符合題意；

C、由作圖可知點P是A3的中點，故符合題意；

D、由作圖可知CP平分NAC8,故不符合題意；

故選C.

【點睛】本題主要考查直角三角形斜邊中線定理及線段垂直平分線的作圖、角平分線的作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖

是解題的關鍵.

5.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）下列命題正確的是（）

A.三點確定一個圓B.圓的任意一條直徑都是它的對稱軸

C.等弧所對的圓心角相等D.平分弦的直徑垂直于這條弦

【答案】C

【分析】根據確定圓的條件對A進行判斷；根據圓的軸對稱性對B進行判斷；根據圓心角定理對C進行判斷；根

據垂徑定理的推論對D進行判斷.

【詳解】A.不共線的三點確定一個圓，故A是假命題；

B.對稱是直線，而圓的直徑是線段，故B是假命題：

C.弧相等，則弧所對的圓心角相等，故C是真命題；

D.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故D是假命題.

故選：C.

【點睛】本題考查了命題、真命題和假命題的概念，任何一個命題非真即假，要說明一個命題的正確性，一般需

要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可.

6.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）順次聯結四邊形ABCO各邊中點所得的四邊形是矩形，那么四邊形ABS一定是

（）

A.菱形B.對角線相等的四邊形

C.對角線互相垂直的四邊形D.對角線互相垂直且平分的四邊形

【答案】C

【分析】根據三角形中位線定理得到所得四邊形的對邊都平行且相等，那么其必為平行四邊形，若所得四邊形是

矩形，那么鄰邊互相垂直，繼而即可求解.

【詳解】解：回E、RG、，分別是AB、BC、CD、Ao的中點，

^EH//FG//BD,EF//AC//HG,

回四邊形EFG”是平行四邊形，

回四邊形EFG〃是矩形形，即所_LFG,

故選：C.

【點睛】本題考查的是三角形中位線定理以及矩形的判定，解題的關鍵是構造三角形利用三角形的中位線定理解

答.

7.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）下列圖形中，是中心對稱圖形且旋轉240。后能與自身重合的圖形是（）

A.等邊三角形B.正方形C.正八邊形D.正十二邊形

【答案】D

【分析】根據中心對稱圖形排除A,計算360型°判斷240。是36"0°-的倍數即可.

nn

【詳解】A、等邊三角形不是中心對稱圖形，錯誤，不符合題意；

360°

B、正方形是中心對稱圖形，--=90°,240。不是90。的整數倍數，錯誤，不符合題意；

n

C、正八邊形是中心對稱圖形，*=45。，240。不是45。的整數倍數，錯誤，不符合題意;

O

360°

D、正十二邊形是中心對稱圖形，3=30°，240。是30。的整數倍數，正確，符合題意；

故選D.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形即圖形繞某點旋轉180。后與原圖形完全重合，熟練掌握定義是解題的關鍵.

8.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）已知點4B、C在圓。上，那么下列命題為裒命型的是（）

A.如果半徑。8平分弦AC,那么四邊形Q4BC是平行四邊形

B.如果弦AC平分半徑OB,那么四邊形。ABC是平行四邊形

C.如果四邊形OABC是平行四邊形，那么NAOC=I20。

D.如果NAOC=I20。，那么四邊形。WC是平行四邊形

【答案】C

【分析】根據平行四邊形的性質與判定，圓周角定理，圓內接四邊形的性質逐一判定即可.

【詳解】解：A、如圖1所示，當AC是直徑時，滿足半徑。3平分弦AC,但是。、4B、C不能構成四邊形，故

原命題是假命題，不符合題意；

B、如圖2所示，團弦AC平分半徑。8,但是半徑。B并不一定平分弦AC,回四邊形。4BC不一定是平行四邊形，

故原命題是假命題，不符合題意；

C、如圖2所示，回四邊形OABC是平行四邊形，

β）ZABC=ZAOC=2ZADC,

13NABC+NADC=180°,

BlZABC=ZAOC=120°,

回原命題是真命題，符合題意：

D、如圖2所示，當點8在點。的位置時，滿足NAOC=I20。，但是四邊形33C不是平行四邊形，故原命題是假

命題，不符合題意；

故選C.

【點睛】本題主要考查了判斷命題真假，圓周角定理，垂徑定理，圓內接四邊形的性質，平行四邊形的性質與判

定，靈活運用所學知識是解題的關鍵.

9.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，在梯形ABCr）中，已知A。〃BC,AD=3,BC=9,AB=6,CO=4,分

別以A3、CD為直徑作圓，這兩圓的位置關系是（）

A.內切B.外切C.相交D.外離

【答案】D

【分析】先求出兩圓的圓心距，AB和CO的一半為兩圓的半徑，利用半徑之和和兩圓的圓心距的大小關系求解.

【詳解】解：回分別以AB、8為直徑作圓，

SI兩圓的圓心分別是A8、CD的中點，

回兩圓心的連線是梯形的中位線.

（3AO=3,BC=9,

3+9

回兩圓的圓心距為受=6,

0AB=6,CD=4,

回兩圓的半徑分別為3和2,

團3+2<6,

田兩圓外離，

故選：D.

【點睛】本題考查了梯形的中位線，以及圓與圓的位置關系，解題的關鍵是分別求得兩圓的圓心距和兩圓的半

徑.

10.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）如圖，已知正方形DEFG的頂點。、E在二ABC的邊BC上，點G、尸分別在邊

AB、AC上，如果BC=8,.ABC的面積是32,那么這個正方形的邊長是（）

【答案】A

【分析】過點力作AHJ_BC于〃，交G尸于"，如圖，先利用三角形面積公式計算出47=8,設正方形QEfG的

邊長為X,則GF=X,M"=x,A∕=8-x,再證明二AGFS./臺。，則根據相似三角形的性質得方程，然后解關于X

的方程即可.

【詳解】解：如圖，過點4作AHLBC于H,交Gb于用,

團.ABC的面積是32,BC=Sf

BC-AH=32,

2

0AH=8,

設正方形QEFG的邊長為X,則G/=x,M"=x,AM=8-x,

0GF√BC,

0AGFSABC,

GFAM

團---=----，

BCAH

X3—γ

二弓=一，解得［≡x=4,

88

即這個正方形的邊長是4.

故選：A.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質及正方形的性質，添加合適的輔助線是解題的關鍵.

11.（2023?上海崇明?統(tǒng)考二模）下列命題是真命題的是（）

A.四邊都相等的四邊形是正方形B.一組鄰邊相等的矩形是正方形

C.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

【答案】B

【分析】根據正方形的判定方法，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：A、四邊都相等的四邊形是菱形，原命題是假命題，不符合題意：

B、一組鄰邊相等的矩形是正方形，是真命題，符合題意；

C、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，原命題是假命題，不符合題意；

D、對角線互相垂直且相等的四邊形不一定是正方形，原命題是假命題，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查判斷命題的真假.熟練掌握正方形的判定方法，是解題的關鍵.

12.（2023?上海靜安?統(tǒng)考二模）下面是"作/A08的平分線"的尺規(guī)作圖過程：

①在。4、08上分別截取。。、OE,使OD=QE；②分別以點。、E為圓心，以大于;。E的同一長度為半

徑作弧，兩弧交于NAOB內的一點C；

③作射線OC.

OC就是所求作的角的平分線.

該尺規(guī)作圖可直接利用三角形全等說明，其中三角形全等的依據是（）

A.三邊對應相等的兩個三角形全等

B.兩邊及它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

C.兩角及它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

D.兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等

【答案】A

【分析】由作圖可得￡0=0。，EC=DC,根據三角形全等的判定方法"SSS"解答.

【詳解】解回連接EC,DC,由作圖可得EO=OO,EC=DC,EO=DO,

在.。EC和。OC中

EC=DC

<CO=CO

OD=OE

EOEC?ODC（SSS）,

^ZAOC=ZBOC,

圈0C平分NAQ8.

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的應用，以及基本作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法并讀懂題目信息是解題

的關鍵.

13.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）如圖，點G是.SBC的重心，四邊形AEG。與C面積的比值是（）

D

H

【答案】B

【分析】連接OE，根據三角形中位線定理以及中線的性質可得。E〃BC,OE=；BC,SABD=；S

從而得到進而得到黑=第

SBDE=^SABD,ESZVU%,=UΓ繼而得到

2BDCE3S

SDEG=NSBDE，ADE=~：ABC可得2。EG=ZXZSA品=二S八"，再由S四邊形AEGo=SA"+S。即，即可.

j4oZIZ

【詳解】解：如圖，連接OE,

回點G是一ABC的重心,

回點。，E分別為ACAB的中點，

團DE//BC,DE=—BC,SABD=5^ABC,SBDE=3S

團AADESAACB,

DGEGDE1

0--=--=--=—，

BGCGBC2

回變=空?SAED

's

BDCEJ3IJABC

_i??

團SDEG-3。BDE9?ADE-4'ABC'

_1l」

0SDEG-*52?ADD一%3ABD'

DEG=^XgSΛBC=^S,

團Sλbc

回S四邊形AEGD=Sade+SDEG=WSABC十五SABC=mSabc,

即四邊形AEGD與一ABC面積的比值是?.

故選：B

【點睛】本題主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性質，三角形中位線定理，熟練掌握三角形的重

心，相似三角形的判定和性質，三角形中位線定理是解題的關鍵.

14.（2023?上海崇明?統(tǒng)考二模）已知在JlBC中，Aβ=AC=5,BC=6,如果以/為圓心r為半徑的A和以

8C為直徑的。相交，那么/■的取值范圍（）

A.l<r<4B.4<r<10C.l<r<7D.7<r<10

【答案】C

【分析】首先利用勾股定理求得兩圓的圓心距，然后利用兩圓相交時兩圓的圓心距和兩圓的半徑之間的關系求

解.

【詳解】解：如圖，由題意得：BD=DC=3,

AB=AC=5,

由勾股定理得：AD=4,

設：A的半徑為，

根據兩圓相交得：

r-3<4<r+3,

解答：l<r<7,

故選：C.

【點睛】本題考查兩圓之間的位置關系.熟練掌握兩圓之間的位置關系的判定方法，是解題的關鍵.

15.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）把球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知

EF=CD=8,那么球的半徑長是（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】過點。作OM_LE/于點利用垂徑定理，勾股定理計算即可.

【詳解】過點。作OMJ_M于點連接OE,

OEF=CD=8,

SiEM=-EF=4,OM=S-OE,

2

0OE2=42+(8-OE)2,

解得OE=5,

故選B.

【點睛】本題考查了矩形的性質，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關鍵.

二、填空題

16.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）如果兩圓的半徑分別為5或2,圓心距為7,那么這兩個圓的位置關系是

【答案】外切

【分析】根據圓心距力以及兩圓半徑七廠的數量關系間的聯系得出兩圓位置關系.

【詳解】解：07=5+2,

回這兩個圓外切.

故答案為：外切.

【點睛】被踢主要考查了圓于圓之間的位置關系，解題的管家是掌握：當4>R+r時，兩圓外離；當d=R+r

時，兩圓外切；當d=R—r時，兩圓內切；當d<R—r時，兩圓內離；當R-r<d<R+r時，兩圓相交.

17.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）如果正六邊形的半徑長為2,那么它的面積為.

【答案】6√3

【分析】過點。作OGLAe于點G,證明二OAB是等邊三角形，求出OG=Ja2+廿=J2?一『=后,得出

SAoB=；ABXOG=有=有，即可得出S^KAKDEF=6Sλ0ii=6√3.

【詳解】解：過點。作OGLAB于點G,如圖所示：

GB

團六邊形ABCDEF為正六邊形,

360°

^OA=OB,ZAOB=--=60°,

6

GLOAB是等邊三角形，

團AB=OA=29

0OG±Aβ,

0AG=BG=?AB=1,

2

回OG=y∣a2+h2=Λ∕22—12=5/3'

團S?∩R=~ABXOG=?×2×>∕3=Λ∣3，

Λijti22VV

圖S六邊形ABCDEF=6SAOB=-

故答案為：6>/3.

【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質，勾股定理，三角形面積的計算，等邊三角形的判定和性質，解題的關

鍵是證明。AB是等邊三角形，求出SAOB=6.

18.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）己知相交兩圓的半徑長分別為R和，，如果兩圓的圓心距為6,且R=2r,試寫出

一個符合條件的"的值：.

【答案】4（答案不唯一）

【分析】根據相交兩圓的半徑長分別為R和r,則R-r<d<R+r,R=2r,列出不等式即可求解.

【詳解】解：依題意，r<6<3r

02<r<6

EIr可以是4,

故答案為：4（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了圓與圓的位置關系：設兩圓的圓心距為d,兩圓半徑分別為R、r，當兩圓外離=d>R+r;兩

圓外切Od=R+r；兩圓相交OR-r<1<R+r（R≥r）;兩圓內切θ"=R-r（R>r）;兩圓內含

U>d<R-r（R>r）.

19.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）如圖，在正五邊形4BCDE中，F是邊BC延長線上一點，連接AC,那么NACF的

度數為.

【答案】144。/144度

【分析】利用正多邊形的內角和定理計算得出N8=108。，再利用等邊對等角求得NACB=36。，利用鄰補角關系

即可求解.

【詳解】解：ZB=∣(5-2)×180o=108o,

團AB=BC,

0ZACB=∣(18Oo-lO8o)=36o,

Glz≤4CF=180o-ZACB=144°,

故答案為：144。.

【點睛】本題主要考考查正多邊形的性質、三角形內角和定理，熟練掌握正多邊形的性質、三角形的內角和定理

是解決本題的關鍵.

20.(2023?上海靜安?統(tǒng)考二模)已知半徑分別是2和6的兩圓的圓心距為6,那么這兩個圓有個公共點.

【答案】2

【分析】根據圓心距于兩個圓半徑間的關系即可判斷得解.

【詳解】解期半徑分別是2和6的兩圓的圓心距為6,

B6-2<√<6+2

回兩圓相交，即是2個圓有兩個交點，

故答案為回2.

【點睛】此題主要考查了圓與圓的位置關系，當外切時，圓心距=兩圓半徑的和，當內切時，圓心距=兩圓半徑的

差，兩圓相交時，圓心距介于兩圓半徑的差與和之間時，圓有兩個交點.

21.(2023?上海寶山?統(tǒng)考二模)如圖，已知點E在矩形ABCD的邊Ao上，且5C=EC=8,ZABE=I5°,那么

AB的長等于.

【答案】4

【分析】利用余角的性質求得NAEB=NEBC=75。，利用等邊對等角求得NcEB=NE8C=75。，再利用平角的定

義求得NeED=30°,根據含30度角的直角三角形的性質即可求解.

【詳解】解：回四邊形ABCo是矩形，

GlZA=ZABC=ZD=90o,AB=CD,ADBC,

13NABE=I5°,

13ZAEB=NEBC=90°-15°=75°,

團BC=EC,

⑦NCEB=NEBC=75。,

0ZCED=180o-75°-75°=30°,

⑦BC=EC=8,

^CD=-CE=A,

2

0AB=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查了矩形的性質，等邊對等角，含30度角的直角三角形的性質，掌握“30度角對應的直角邊長度

為斜邊長度的一半”是解題的關鍵.

22.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系Xoy中，點/在直線y=2x上，點N的橫坐標為1,點產

是X軸正半軸上一點，點B在反比例函數y=,χ>0）圖象上，聯結AP、PB^OB.如果四邊形。4P8是矩形，那

X

么人的值是.

【答案】-8

【分析】當x=l,y=2x=2,即41,2）,如圖，連接AB交OP于O,過A作ACJ_OP于C,則AC=2,

OC=I,。是A3中點，在RtAoC中，由勾股定理求Ao的值，證明AoCSPOA,則善=空，求Po的

POAO

值，進而可得尸，D,3的點坐標，將8點坐標代入反比例函數解析式求解女值即可.

【詳解】解：當X=1,y=2x=2,即“1,2）,

如圖，連接AB交OP于。，過A作ACJ于C,

ISAC=2,OC=I,

13四邊形OAPB是矩形,

回。是AB中點，

在Rt.AOC中，由勾股定理得AO=JoC2+AC?=逐,

回NAZ)O=NB40=90。，ZAOC=ZPOAf

團.AoCSPQ4,

喘噬，βpTO=?,解得「。=5，

SP（5,O）,Q（I,0），

相（4,-2）,

將3（4,—2）代入＞=勺工＞0）得，一2=：,解得女=-8,

故答案為：—8.

【點睛】本題考查了反比例函數與幾何綜合，相似三角形的判定與性質，勾股定理，矩形的性質等知識.解題的

關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

S

23.（2023?上海崇明?統(tǒng)考二模）如圖，ABC和VADE都是等邊三角形，點。是AABC的重心，那么廣=

3ABC

A

【答案】?

【分析】如圖，延長AD交BC于尸，由題意得AO=ZAF,AF=ABsinZB=^-AB,則4。=3AB,由

323

LADESAABC,可得2也也=（四］,計算求解即可.

5Afic

【詳解】解：如圖，延長AD交BC于尸,

回點。是，ABC的重心,

SAD=-AF,

3

回一ABC是等邊三角形,

回AF=A3?sinZB=-AB,

2

AD=—AB,

3

I3V4)E和_45C都是等邊三角形，

0?Af>E,∞?ABC,

4/坐H,

SABCVAB)3

故答案為：?.

【點睛】本題考查了重心，等邊三角形的性質，正弦，相似三角形的判定與性質.解題的關鍵在于對知識的熟練

掌握與靈活運用.

24.(2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模)如圖，在RtZXABC中，ZC=90o,AB=↑3,SinA=得，以點C為圓心，R為半

徑作圓，使4、8兩點一點在圓內，一點在圓外，那么R的取值范圍是.

【答案】5</?<12/12>/?>5

【分析】求出線段AC、BC,再根據點與圓得位置關系判斷即可.

【詳解】解：回在RtZ?A8C中，NC=90。,AB=I3,SinA=,,

(?)BC=ABXSinA=I3χ*=5,

13

SAC=VAB2-BC2=12-

團以點C為圓心，尺為半徑作圓，使4、8兩點一點在圓內，一點在圓外，

B5</?<12.

故答案為：5<Λ<12.

【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關系，解直角三角形，勾股定理，解題的關鍵是根據題意求出BC=5,

AC=12.

25.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模)如圖，在直角坐標系中，已知點4(8,0)、點3(0,6),4的半徑為5,點C是A

上的動點，點尸是線段BC的中點，那么OP長的取值范圍是.

【分析】如圖，在y軸上取一點8'(0，-6),連接B'A,B'C,由勾股定理求出B71=10,由三角形中位線定理求

SC=IOP,當C在線段EA上時，B'C的長度最小值10-5=5,當C在線段延長線上時，8'C的長度最大值

10+5=15,即可求解.

【詳解】解：如圖，在y軸上取一點B'(0,-6),連接3'A,B'C,

吶0,-6),A(8,0),

團OB'=OB=6,OA=8,

≡B,A=√OB,2+<M2=10>

12點尸是BC的中點，

⑦BP=PC,

但OB=OR,BP=PC,

回0P是4B5'C的中位線，

^B,C=2OP,

當C在線段B'A上時，B'C的長度最小值為：10-5=5,

當C在線段BN延長線上時，8'C的長度最大值為：10+5=15,

05≤β,C≤15,

Bl2.5≤OP≤7.5,

故答案為：2.5≤OP≤7.5.

【點睛】本題考查的是圓外一點到圓上點距離的最值，三角形中位線定理，勾股定理等知識，添加恰當的輔助線

是解答本題的關鍵.

26.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，已知O的內接正方形A8C。，點尸是CO的中點，AF與邊。C交于點

那么M=

E,

AE

【答案］理二?

2

【分析】連接。尸，交C。于點G,連接AC,根據題意得出G尸〃AD,設AT>=a,則AC=√∑Af>=√Σo，證明

_ADES_FGE,根據相似三角形的性質即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接。尸，交于點G,連接AC,

回AC經過點。，

團點尸是CQ的中點，

^?OFA.CD,GD=GC

^GF//AD

設AD=α,則AC=√∑AO=√L

^OF=OC=-a

2

^OG=-AD=-a,

22

^FG=OF-OG=-a--a

22

^GF//AD,

⑦一ADES_FGE

0EF_GF,GM。6-1,

∑ε^AD^a2

故答案為：也二?.

2

【點睛】本題考查了正多邊形與圓，垂徑定理，正方形的性質，相似三角形的性質，證明“AOEs,FGE是解題的

關鍵.

三、解答題

27.(2023?上海松江?統(tǒng)考二模)如圖，四邊形ABQ)中，AD//BC,AD±CD,AD=?,CD=2.

⑴如果BC=3,求CotB的值；

(2)如果AB=BC,求四邊形ABC。的面積.

【答案】⑴1

(2)3.5

【分析】(1)過點/作4EJ?BC于點E,可得四邊形ADCE是矩形，從而得到CE=Ao=I,AE=8=2,繼而得到

BE=2,再由銳角三角函數，即可求解；

(2)過點工作AELBC于點E,可得四邊形APCE是矩形，從而得到CE=Az)=I,AE=8=2,設AB=BC=X,

貝IJBE=X-1,在Rt?A8E中，利用勾股定理求出X的值，再根據四邊形ABCO的面積=S詆+SW，即可求

解.

【詳解】(1)解：如圖，過點力作AE?LBC于點E,

^?AD∕/BC,ADLCD,

ZAEC=ZD=ZBCD=90°,

團四邊形4X芯是矩形，

團CE=AD=1,AE=CD=2,

0βC=3,

⑦BE=BC—CE=3—1=2,

CnBE2,

國cotB==—=1；

AE2

(2)解：如圖，過點工作AEJ_BC于點E,

^AD//BCJADLCD,

0ZAEC=ZD=NBCD=90°,

回四邊形ADCE是矩形，

^CE=AD=I,AE=CD=2,

設AB=BC=X,則BE=X-1,

在RtZXABE中，AB2=BE2+AE2，

SX2=(X-1)2+22,

解得：X=2.5,

即BC=2.5,

四邊形ABCD的面積=SAZ(C+SAc”=gAEχ8C+gAOXCr>=gx2x2.5+；xlx2=3.5.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形，矩形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.

28.(2023?上海閔行?統(tǒng)考二模)如圖，在一ABC中，NAC8=90。，AC=2,3C=4,點。為AB的中點，過點8

作S的垂線，交CD的延長線于點瓦

⑴求線段CC的長;

⑵求WCD的值.

【答案】⑴6

（2）1

【分析】（1）由AJAcB勾股定理可求得斜邊，再由斜邊中線可得CQ長度.

（2）通過相似三角形得到比例，求出跖長度,再通過RjE8。勾股定理求出OE長度，再計算比值即可.

［詳解］(1)NACB=90。

.?.Rt.ACBψAB=AC1+BC--代入AC=2,BC=4,

得AB=J2?+不=2小

D為43的中點，ZACB=90°

.-.CD=-AB=-B

2

(2)解法1：

D為43的中點，NACB=90。

CD=LAB=AD=BD=小

2

NDCB=NDBC

XBElCE,ZACB=90°

.?.ZE=ZAC5

.?.ACBBEC

EBAC1EB

CB^AB^ξ^r^V

.?.Rt..BEC中。E=√BD2-EB-=^5-?y

.CD√55

'Dg~3^~3

-3-

解法2：

RtZSBEC與RtBED中EB2=CB2-CE2=BD2-DE2

22

設DE=X得4：-(x+?。?(Λ∕5)-X

WW￡>￡=—

5

.CD√55

"~DE~T∕5~3

【點睛】本題考查幾何圖形中長度的計算，相似三角形，主要利用勾股定理進行長度關系計算，可以設元列勾股

方程或結合相似計算，通常兒何長度的求解可采用3中方法（勾股、相似、面積法），?？贾苯侨切魏秃刑厥?/p>

角度的圖形.在計算中靈活利用勾股定理是解題的關鍵.

29.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）已知：如圖，O是一ABC的外接圓，AE平分JiBC的外角/ZMC,

OMA.AB,ONlAC,垂足分別是點M,N,且OM=CW.

⑴求NQ4E的度數；

3

⑵如果8C=6,COsB=-,求。的半徑長.

【答案】（I）NaAE=9（）。；

【分析】（1）先證明平分/班C,然后由角平分線的定義，即可求出NOAE的度數；

（2）由弦心距和弦的關系，得到Ag=AC,延長AO交BC于點尸，連接防，由等腰三角形的性質，垂徑定理,

以及勾股定理，即可求出：。的半徑.

【詳解】（1）解：SME平分一ABC的外角NzMC,

ZEAC=-ZDAC,

2

^OMLAB,ONYAC,OM=ON.

回。4平分/5AC,

EINOAC=LNBAC,

2

回ZBAC+NZMC=180°,

SZEAC+ZOAC=1（ZBAC+NZMC）=i×18（）°=90°,

22

SZOAE=90°；

（2）解：SOM=ON,

13AB=AC,

回一ABC是等腰三角形，

延長AO交8C于點F,連接BF,如圖:

D

團04平分∕B4C,

AFlBC,BF=CF=-BC=-×6=3,

22

BF3

團COSZ.ABC==—,

AB5

0Aβ=5,

EAF=√52-32=4,

^OA=OB=r,貝∣JOF=4-r,

^OB1=OF1+BF1,

Sr2=(4-r)2+32,

0Cr=T25;

【點睛】本題考查了垂徑定理，角平分線的性質定理，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練

掌握所學的知識，正確的進行解題.

30.(2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模)如圖，在一ABC中，AC=AB,SinA=圓。經過/、8兩點，圓心。在線段

AC上，點C在圓。內，且OC=3?

⑴求圓。的半徑長;

⑵求8C的長.

【答案】⑴5

(2)也

【分析】(1)延長AC交圓。于點。，連接8。，設圓。的半徑長為r，則ΛB=r+3,利用正弦函數列式計算即可

求解；

(2)先求得AB=AC=8,在RtZVWE,利用三角函數的定義求得8E和AE的長，再利用勾股定理求解.

【詳解】(1)解：設圓。的半徑長為人延長AC交圓。于點。，連接3。，

則？ABD90?,

3

又SinA=M,

自變=3

AD5

設如=3x,AD=5x,

-.ABr+34

所rι以F=F-=E

AD2r5

解得r=5,

經檢驗，r=5是方程的解;

自圓的半徑長為5；

（2）解：過點8作A￡）的垂線垂足為E,

由（1）得AS=AC=5+3=8,

RFa24

則SinA=歌==,解得BE==

AB55

,AE4,-.「32

cosA=――=—,解zt7倚z4E=-^-,

AB55

Q

所以CE=Ae-AE=1,

所以BC=√CE2+BE2=

【點睛】本題考查了圓內接三角形，經過圓的直徑構造的三角形為直角三角形，添加輔助線再利用三角函數求

解.

31.（2023?上海金