浙江杭州卷第19題（根據(jù)四邊形的性質(zhì)或相似三角形進行計算與證明）-2023年中考臨考復習題【浙江杭州】（解析版）

備戰(zhàn)2023年中考臨考題號押題【浙江杭州專用】

押浙江杭州卷第19理

（根據(jù)四邊形的性質(zhì)或相似三角形進行計算與證明）

押題探究

從近幾年中考題型來看，第19題側(cè)重于考察利用幾何圖形證明線段相等等問題。2022年和2020年中

考主要平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定。對于四邊形的計算與考察有時放在第19,有時也會

在第21題考查。例如，2020年和2019年均利用正方形的性質(zhì)與判定證明線段。證明線段相等，是初中階

段學生學習幾何后經(jīng)常遇到的一類問題，是學生學習幾何的常見入門題，也是學生后繼學習的基礎(chǔ)。

解題秘籍

1.與線段相等有關(guān)的定理

解題技巧為：解答時聯(lián)想與線段相等有關(guān)的定理，可快速解答幾何圖形證明線段相等問題。

2.三角形中線段的計算

解題技巧為：首先觀察待證線段是否存在一個三角形中，若在，可轉(zhuǎn)化為證明它們所對的角相等或應

用有關(guān)定理得出結(jié)論。

3.不在三角形中線段的計算

解題技巧為：若待證線段不在一個三角形中，則最基本的思路是運用“全等三角形對應邊相等”。其方

法是找出包含待證線段的兩個三角形（如果不全，可添加輔助線），證明其全等，從而得出結(jié)論。

4.直接引用定理或基本思路證題有困難時

解題技巧為：當直接引用定理或基本思路證題有困難時.，可觀察尋找“中間線段”作為“橋梁”，根據(jù)

等量公理得出結(jié)論。

真題回顧

1.（2022?杭州）如圖，在ANBC中，點。，E,F分別在邊48,AC,BC上，連接DE,EF.已知四邊形

DE1

BFE。是平行四邊形，一=一.

BC4

（1）若/8=8,求線段的長.

（2）若E的面積為1,求平行四邊形B尸Er）的面積.

A

(2)6.

【分析】(1)證明Es?y45C,根據(jù)相似三角形對應邊的比相等列式，可解答：

(2)根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可得a∕8C的面積是16,同理可得△七/C的面積=9,

根據(jù)面積差可得答案.

【詳解】解：(1)Y四邊形BFEo是平行四邊形，

：.DE〃BF,

：.DE〃BC,

：.∕?ADES4ABC,

eADDE1

AB~BC~4

?.?力8=8,

：.AD=2x

(2)?：AADEsAABC,

...≤δ^=(空)2=(1)2=1

SfBCBC416

E的面積為1,

...△Z8C的面積是16,

V四邊形BFED是平行四邊形，

:,EF//AB,

：.AEFCS4ABC,

.SAEFC/3、29

??—=(?F

.?.△EPC的面積=9,

二平行四邊形BFED的面積=16-9-1=6.

【點評】本題主要平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握相似三角形面積的比等于相似比

的平方是解題關(guān)鍵.

2.(2020?杭州)如圖，在C中，點D,E,F分別在NB,BC,ZC邊上，DE//AC,EF//AB.

(1)求證：∕?BDES^EFC.

①若8C=12,求線段BE的長；

②若AErC的面積是20,求C的面積.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出Nz）EB=NFCE,ZDBE=ZFEC,即可得出結(jié)論；

BEAF1

（2）①由平行線的性質(zhì)得出二即可得出結(jié)果；

EC7FC2

pc2

②先求出A=:，易證4EFCs△氏4C,由相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出結(jié)果.

AC3

【詳解】（1）證明：^DE//AC9

/./DEB=/FCE,

?'EF//AB,

???ZDBE=ZFEC,

:ABDEsAEFC;

（2）解：①YEF〃AB,

λBE_AF_1

EC~FC~2

?：EC=BC-BE=12-BE,

?BE_1

ΛΛ12-BE-2

解得：BE=4↑

AF1

（2）V—=一，

FC2

.FC2

??,

AC3

^EF//ABi

：.AEFCSABAC,

.S〉EFC=（F_C_）?2=（2_）,24=1

S"BCAC39

99

:?SAABC=ξS,?EFC=4×20=45.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2019?杭州）如圖，已知正方形488的邊長為1,正方形CE尸G的面積為Si,點E在。C邊上，點G

在8C的延長線上，設以線段/。和。E為鄰邊的矩形的面積為S2,且Sι=S2.

（1）求線段CE的長；

（2）若點〃為BC邊的中點，連接求證：HD=HG.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）設出正方形CEA'G的邊長，然后根據(jù)S∣=S2,即可求得線段CE的長；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果可以題目中的條件，可以分別計算出和“G的長，即可證明結(jié)論成立.

【詳解】解：（1）設正方形CE尸G的邊長為“，

；正方形NBC。的邊長為1,

.,.DE=?-a,

?.'Sι=S2,

.?.∕=1X(I-a),

解得，ɑi=—?-B(舍去),0.2—￥—5,

1

-

即線段CE的長是2

（2）證明：；點，為BC邊的中點，BC=I,

：.CH=0.5,

：.DH=Jl2+0.52??,

VCH=0.5,CG=?-

JHG=*

C.HD=HG.

【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

押題沖關(guān)

一.解答題（共30小題）

1.（2023?拱墅區(qū)模擬）如圖，在菱形/8CD中，//=60°,點E是/。邊上一點（點E不與點4。重

合），點尸在48的延長線上，且BF=DE,連結(jié)E尸交8。于點G.

（1）求證：叢BDE”叢CBF；

(2)求證：EG=GF.

【答案】(1)證明過程見解答；

(2)證明過程見解答.

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)以及//=60°可得A4BD,叢BCD都是等邊三角形，ZABCUOa.可得

出。8=8C,NCBF=∕BDE=60°,利用S/S即可得出結(jié)論；

(2)過點E作E月〃N2,交BD于點、H.證明△￡)￡■〃是等邊三角形，可得EH=DH=DE,由BF=DE

得EH=BF.根據(jù)平行線的性質(zhì)得N"EG=NG尸8.NEHG=NGBF,

可得出AEHG絲AFBG(ASA),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論

【詳解】證明：(1)：四邊形/88是菱形，

,AD=AB=BC=DC.

?.?∕N=60°,

,△ABD,∕?BCD都是等邊三角形.

：.DB=BC,NCBF=∕BDE=60°,

?：DE=BF,

在Z)E和aCBF中：

DB=BC

?CBF=乙BDE,

DE=BF

：ADEBmABFC(SAS)i

(2)過點E作EH〃48,交BD于點、H.

；.NDEH=N4=60°,

又：乙M>8=60°,

.?.△DE4是等邊三角形,

：.EH=DH=DE,

?：BF=DE,

.".EH=BF.

`:EH//AB.

：.ZHEG=ZGFB.ZEHG=ZGBF,

在AEHG與AFBG中,

(ZHEG=/GFB

?EH=BF

(4EHG=乙GBF

：.XEHG/XFBG(ASA),

IEG=GF.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正

確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?杭州一模)如圖，正方形/88,E,尸分別在邊8C,AB±.,BE=BF,AE,CF交于點、P.

(1)求證：AABE出ACBF；

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∕8=8C,進而利用SNS證明4/8E絲aC8F即可;

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理解答即可.

【詳解】(1)證明：???四邊形NBCD是正方形，

.,.AB=BC,

在a∕8E與ACB/中，

AB=CB

乙B=Z-Bf

BE=BF

:.LABE咨LCBF(SAS)；

(2)解：過P作P∕ΛL8C于“，

?：PH〃AB,

APHESAABE,

PHAB6

???—_—————。Q,

HEBE2

設"=α,PH=3a,

?：PH〃BF,

APHCSAFBC,

?PH_C_H

??1—,

FBBC

3cι6-2+0

即一=------,

26

解得：?=

13

：.HE=?PH=N

在RtAPHC中，PC=J（∣）2+&+4）2=翠（

【點睛】此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形的四邊相等解答.

3.（2022?西湖區(qū)校級模擬）已知：如圖，正方形/8。中，尸是邊8C上一點，BEYAP,DFLAP,垂足

分別是點E、F.

（1）求證：EF=AE-BE；

（2）連接8F,若NQ=I3,AF=5,求8尸的長.

【答案】（I）見解析；（2）√74.

【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得N8=/。，ZBAD=90o,根據(jù)等角的余角相等得到/及IE=//。9,

則可判斷△在?絲?O/F,則BE=/凡然后利用等線段代換可得到結(jié)論；

（2）利用全等三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可.

【詳解】⑴證明：?.?四邊形/8C。為正方形，

：.AB=AD,NBAD=90°,

"：BEVAP,DFYAP,

：.NBEA=NAFD=90°,

'：ZBAE+ZFAD=90o,ZE4D+ZADF=90o,

.,.NBAE=ZADF,

在AABE和4D4F中

ZBEA=/AFD

Z.BAE=?ADF,

AB=DA

,△ABE空ADAF(.AAS),

：.BE=AF,

：.EF^AE-AF=AE-BE-,

(2)解：V∕?ABE^∕?DAF,

：.AE=DF,BE=AF=5,

'：AD=?3,AF=5,

J.DF=>JAD2-AF2=√132-52=12,

工EF=12-5=7,

JBF=√βf2+EF2=√52+72=√74.

【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、

SAS.ASA、AAS.HL.判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三

角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.

4.(2022?杭州模擬)如圖，E是正方形/88的邊OC上的一點，過工作ZFL4E,交CB延長線于點EAE

的延長線交BC的延長線于點G.

(1)求證：AE=AF-,

91

(2)EG=虧.

【分析1(1)首先利用余角的性質(zhì)證明∕E4B=NNE,然后利用ASA即可證明a/8F出根據(jù)

全等三角形的對應邊相等即可證得；

(2)在直角廠中利用勾股定理求得/8的長，則EC的長度即可求得，易證ESZ?GCE,根據(jù)

相似三角形的對應邊的比相等即可求解.

【詳解】(1)證明：正方形力BC。中，NBAD=90°,AD=AB9

9

JAFLAE9

：.∕E4B+NBAE=W

?：NDAE+NBAE=90°,

???ZFAB=ZDAEf

Y在△力8斤與E中.

(ZFAB=ZDAE

?AB=AD，

{?EBA=Z-D

：.∕?ABF^ΛADE(ASA)f

：.AE=AF;

(2)解：在Rt△4①7中，

VZFBA=Wo,AF=?3,BF=DE=5,

：.AB=√(13)2-52=12,AE=U,

：.EC=DC-DE=12-5=7,

TNO=NECG=90°,NDEA=NCEG,

：.AADEsAGCE,

.DEAE

??=,

CEEG

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確證明4/8尸

段Z?NQE是關(guān)鍵.

5.（2022?余杭區(qū)一模）在①Zo=CO,②BO=OD,③NBAD=NBCD這三個條件選擇其中一個，補充在

下面的問題中，并完成問題的解答.

如圖，在四邊形NBCD中，對角線/C與8。相交于點。，AB//CD,若①或②或③.（選擇①，②，

③中的一項）

求證：四邊形ZBCD是平行四邊形.

【答案】①或②或③.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平行四邊形的判定解答即可.

【詳解】解：①添加/O=CO,

?'AB∕∕CD,

：.NBAO=ZDCO,

在A∕O8與ACOZ）中，

（z^BAO=ZDCO

??0=OC，

{?BOA=?COD

.?ΛAOB^ΛCOD（.ASA）,

.".OB=OD,

二四邊形ABCD是平行四邊形.

②添加BO=OD,

同理可證明四邊形/8C。是平行四邊形；

③添加NBZD=N8CD,

,,"AB∕∕CD,

.".ZBAD+ZADC=?SO°,

ΛZBCD+ZADC=↑80Q,

：.AD//BC,

：.四邊形ABCD是平行四邊形.

故答案為：①或②或③.

【點睛】此題考查了平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平

行四邊形的判定方法.

6.（2022?濱江區(qū)二模）在①∕O=8C,②AD〃BC,③NBAD=NBCD這三個條件中選擇其中一個你認為

合適的，補充在下面的問題中，并完成問題的解答.

問題：如圖，在四邊形/8CO中，對角線ZC,8。交于點0,OA=OC,若②（請?zhí)钚蛱枺?求證：

【答案】②.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平行四邊形的判定解答即可.

【詳解】解：添加/Z)〃5C,

?'AD∕∕BC,

ZDAO=ZBCO,

在44OZ)與ACOB中，

ZDAO=ZBCO

?B0C=4DoA，

OA=OC

：./\A0D%ACOB(ASA),

IOB=OD,

：.四邊形ABCD是平行四邊形.

故答案為：②.

【點睛】此題考查平行四邊形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形解答.

7.(2022?杭州模擬)如圖，點E是正方形N3CD對角線ZC上的一點，連接8E.過點E作E∕UCD,EG

LAD,分別交邊CΣ),DA于點F,G,連接尸G.

(1)求證：FG=BE.

(2)若/2=4,EC=3AE,求線段尸G的長.

【答案】(1)證明見解析；

(2)√10.

【分析】(1)連接DE,根據(jù)矩形的判定得出四邊形EFDG是矩形，進而利用SAS證明4/BE與AADE

全等，進而解答即可；

(2)由正方形的性質(zhì)和勾股定理得出ZC,進而利用勾股定理解答即可.

【詳解】(1)證明：連接OE,

：四邊形N88是正方形，

ΛZGDF=90°,AB=AD,NBAE=NDAE=45

YEFLCD,EGVAD,

：?/EGD=NEFD=90°,

???四邊形瓦管G是矩形，

LDE=GF,

在A4BE與DE中,

AB=AD

乙BAE=Z-DAE=45。，

AE-AE

：.ΛABE^∕?ADE（SAS）t

：.BE=DE,

：.BE=GF;

（2）解：；四邊形/8CD是正方形，AB=4,

ΛJC=4√2,

".'EC=3AE,

J.AE=√2,

VZDAE=45°,

.?.ZXENG是等腰直角三角形，

：.AG=EG=

J.GD=AD-AG=^-1=3,

：.DE=GF=√EG2+GD2=√12+32=√10.

【點睛】此題考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)成全等

三角形是解題關(guān)鍵.

8.（2022?拱墅區(qū)一模）問題：如圖，在回/8CZ）中，點E,點尸在對角線/C上（不與點4點C重合），

連接8E,DF.若,求證：BE=DF.

在①NE=CF,②NABE=NCDF,③NBEC=NDE4這三個條件中選擇其中一個，補充在上面問題中，

并完成問題的解答.

-----------------

【答案】選①，證明見解析.

【分析】由四邊形/8CO是平行四邊形得80=。。，加上條件OE=O凡從而得出四邊形89尸為平行

四邊形，從而有BE=DF.

【詳解】解：選①，如圖，連接B尸，DE,BD,

A

B

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

.?BO=DO,

?'OA=OC,AE=CF,

JOE=OF,

，四邊形BEDF為平行四邊形,

J.BE=DF.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.(2023?濱江區(qū)校級模擬)如圖，正方形/8CD中，E是對角線8。上一點，連接∕E,CE,延長/E交

8邊于點尸.

(1)求證：AE=CE.

(2)設/∕EC=2α,NAFD=R試求β與α之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)證明過程見解答;

(2)β+α=135o.

【分析】(1)由uSAS"證明4/8E也aC8E,即可解決問題；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可求NC￡8,由三角形的外角的性質(zhì)可求解.

【詳解】(1)證明：???四邊形/3。是正方形，

JAB=CB,ZABC^ZADC=90o,NABE=NCBE=NADB=45°,

在4/BE和aCBE中，

(AB=CB

??ABE=?CBE,

(BE=BE

,△ABE9XCBE(SAS),

：.AE=CE-,

⑵解：MABEWACBE,

ZAEB=ZCEB,

又：/ZEC=2a,

1

.?./CEB=?x2a=a=N4EB,

：.NDEF=ZAEB=a,

：.ZAFD=ISOo-ZDEF-Z￡￡>F=1800-45o-α=β.

Λa+β=135o.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

10.(2022?臨安區(qū)一模)如圖，正方形/8CD的邊長為1,點E是邊/8上一點，過點、E作EF〃BC.

(1)設以線段工￡,為鄰邊的矩形的面積為Si,以BE為邊的正方形的面積為S2,且S∣=S2,求BE

的長；

(2)連結(jié)NC,DE,若〃是OE的中點，GHLDE交AC于點、G,連結(jié)EG,求證：BG=EG.

【分析】(1)設8E=x,則NE=l-χ,可得SI=IX(I-x),S2=?x2,進而可以解決問題；

(2)連接DG,BD,根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分可得BG=DG,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

EG=DG,進而可以解決問題.

【詳解】(1)解：設8E=x,則ZE=I-X,

.?.S1=1X(I-x),S2=，，

??1-X，

解得X=與?,X=畛避(舍去),

,/C垂直平分線8。,

：.BG=DG,

：，是。E的中點，GHLDE,

：.EG=DG,

IBG=EG.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形

的性質(zhì).

11.(2023?下城區(qū)校級模擬)已知，如圖，矩形/8CD,延長4B至點、E,使得BE=4B,連接8。、CE.

(1)求證：ZABD=ZBEC.

(2)若/。=2,/8=3,連接?！?求SinN/EO的值.

【答案】(1)見解析過程；

√10

(2)-----.

10

【分析】(1)由aSASff可證AD4B咨ACBE,可得結(jié)論；

(2)由勾股定理可求Z)E的長，即可求解.

【詳解】(1)證明：Y四邊形/38為矩形，

；?AD=BC,/A=NCBE=90°,

在和ACBE中，

AB=BE

?DAB=Z-CBEJ

AD=BC

：.∕?DAB^∕?CBE(SAS)f

，ZABD=ZBEC;

(2)?,18=3,

：?BE=AB=3,

.?AE=6y

又?：AD=2,NZ=90°,

/.DE=?∕AD2+AE2—V22+62=2√Tθ,

....,AD2√10

?.smc∕n∕3而=亞=W

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，靈活運用這些性質(zhì)解決問

題是解題的關(guān)鍵.

12.(2022?蕭山區(qū)校級一模)如圖，NM/8為銳角，射線〃射線8N,作和的平分線分

別交BN和于點。和。，連接CQ,求證：四邊形/8C。為菱形.

【答案】四邊形/8CZ)是菱形，理由見解析.

【分析】先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證明力AB=BC,由4M〃切V,根據(jù)一組對邊平

行且相等的四邊形是平行四邊形，由對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可得結(jié)論.

【詳解】證明：??,4C平分NDBD平分NABC,

11

ΛZDAP=ZPAB=^ZDAB9∕PBA="ABC,

9

JAM//BN9

.?.ND48+N46C=180°,NDAP=∕BCP,

，/PAB+NPBA=90°,/BAP=NPCB,

：.ZAPB=90o,AB=BC,

/.AC-LBD9

VZDAP=ZBAP,∕APD=NAPB=90°,

.φ.NADP=NABP,

.FD=AB=BC,

?：AD〃BC,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

*：ACLBD,

???四邊形488是菱形.

【點睛】主要考查了菱形的判定，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

13.(2022?拱墅區(qū)模擬)如圖，在四邊形Z8C。中，AB∕∕DC,AB=AD,對角線ZC、BD交于O,NC平分

ZBAD.

(1)求證：四邊形力BC。是菱形；

(2)過點。作CELZB交48的延長線于點￡連接若力5=3?，BD=6,求OE的長.

【答案】(1)證明見解析；

(2)6.

【分析】(1)先證/C48=/。。，再證/Q4C=NOC/,得CD=AD=4B,然后證四邊形N8CZ)是平

行四邊形，即可得出結(jié)論；

(2)先證OE=O4=OC,再求出。8=3,然后由勾股定理求出。4=6,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：?.18"CZλ

.".ZCAB=ZDCA,

?：AC為NDAB的平分線，

：.ZCAB=ADAC,

.'.ZDCA^ZDAC,

：.CD=AD,

：.CD=AB,

,JAB∕∕CD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

又?：AD=AB,

團/8C。是菱形；

(2)解：：四邊形ZBCA是菱形，BD=6,

1

J.OA=OC,BDLAC,OB=WBD=3,

'：CELAB,

.?.NZEC=90°,

：.OE=^AC=OA=OC,

在RtZ?Z08中，AB=3底08=3,

：.OA=y∕AB2-OB2=J(3√5)2-32=6,

：.OE=OA=6.

【點睛】此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理

等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.(2022?拱墅區(qū)模擬)如圖，四邊形438是菱形，點〃為對角線NC的中點，點E在/8的延長線上，

CELAB,垂足為￡,點尸在/O的延長線上，垂足為尸.

(1)若/840=60°,求證：四邊形CE1是菱形；

(2)若CE=8,ANCE的面積為64,求菱形/8CD的面積.

【答案】(1)證明見解析；

(2)80.

【分析】(1)證CE=CF=EH=FH,即可得出結(jié)論；

(2)由三角形面積求出ZE=16,設N8=C8=x,則BE=16-X,再在Rt48CE中，由勾股定理得出方

程，求出/8=10,即可解決問題.

【詳解】(1)證明：；C￡_L/8,CFIAJD,

：.NAEC=NAFC=90°,

；四邊形”8是菱形，

ZCAE=ZCAF=^ZBAD=30Q,

.,.CE=^AC,CF=^AC,

；點，為對角線ZC的中點，

：.EH=FH=%C,

ICE=EH=FH=CF,

.?.四邊形CE”「是菱形；

(2)解：?.?四邊形ZBCD是菱形,

：.AB=CB,

'：CEVAB,Z?4CE的面積為64,

1

：.-AE?CE=64,

2

即UEX8=64,

2

.?.NE=16,

設∕8=C8=x,則BE=16-X,

在RtZ?8CE中，由勾股定理得：82+(16-χ)2=x2,

解得：x=10,

.?AB=?0f

JS菱形/BGD=∕8?CE=10X8=80?

【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)

等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.(2022?江干區(qū)校級模擬)如圖，四邊形ZBCO是菱形，E是/8的中點，ZC的垂線EF交/。于點A/,

交CO的延長線于點E

(1)求證：AM=AEx

(2)連接CA/,DF=2.

①求菱形NBCO的周長；

②若/∕OC=2NΛ√C凡求Λ∕E的長.

【答案】(1)證明過程見解析；

(2)①16；②2叵

【分析】(1)連接BZX由菱形的性質(zhì)得到ZuL8。、AB=AD,結(jié)合ME，/C得到用￡〃83,然后結(jié)合

點、E是的中點得到點”時AD的中點，最后得到AM=AE;

(2)①先證明aM4E也凡然后得到NE=Z)F=2,進而得到/8的長，最后求得菱形的周長；

②連接CA/,記E/與ZC交點為點G,先由4V=∕E,Z?K4E四得到=DW,MF=ME,從

而得到NDMF=NDFM,進而得到乙4。C=2NDFM,然后結(jié)合∕4)C=2NΛ∕CD得到NMCD=NDFΛ/,

從而得到AZr=MC=ME,NEMC=2NFDM=/MDC,再由Affi_L/C,∕Λ∕=Λ∕E得到乙WGC=90°,

ME=IMG,進而得到MC=IMG,即可得到NMGC=60°,故N∕3C=60°,從而得到4/3C為等邊

三角形，△。/C為直角三角形，最后求得CN的長即為ME的長.

【詳解】(1)證明：如圖，連接8D,

；四邊形/88是菱形，

*.ACLDB,AD=AB,

9JEMLAC,

：?ME//BD,

???點E是Z5的中點,

???點M是力。的中點，AE=

?'?AM=*AD,

.?AM=AE.

(2)解：①由(1)得，點〃是4。的中點，

：.AM=MD,

???四邊形488是菱形，

：?AB〃CD,

：.ZF=ZAEMfNEAM=NFDM,

?

：4MDF空叢MAE(AAS)f

：.AE=DF,

TAB=2AE,DF=2,

：.AB=4,

???菱形ABCD的周長為443=4X4=16.

②如圖，連接CM,記EF與AC交點、為點、G,

?；AM=4E,∕?MAE^∕?MDFf

：.DF=DM,MF=ME,

：.ZDMF=ZDFM9

：.ZADC=2ZDFM,

YZADC=2ZMCD9

：.NMCD=NDFM,

：?MF=MC=ME,∕EMC=2NF=NMDC,

?9MELAC,AM=AE,

：.ZMGC=90o,ME=IMG.

:?MC=2MG,

：.AGMC=WQ,

ΛZADC=60o,

ΛZMCD=30Q,

ΛZDMC=90°,

???△/)MC為直角三角形，

VDF=2,

：.DM=2,8=4,

：.CM=y∕CD2-DM2=2√3,

:?ME=2同

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與

性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知菱形的性質(zhì).

16.(2021?余杭區(qū)一模)如圖，在平行四邊形/1BCD中，點。是BC的中點，連接。。并延長，交ZB延長

線于點￡,連接8D,EC.

(1)求證：四邊形8E8是平行四邊形；

(2)若∕Z=50°,則當/ADE=90°時，四邊形JSEa)是菱形.

【答案】(1)證明過程請看解答；

(2)90.

【分析】(1)由44S證明ABOE也ZkCQO,得出OE=0。，即可得出結(jié)論；

(2)先由平行四邊形的性質(zhì)得∕8CO=N∕=50°,AB//CD,則NA。C=I80°-ZJ=130o,再由菱

形的性質(zhì)得8C_LOE,則NCoz)=90°,得∕ODC=90°-NBCD=40°,即可求解.

【詳解】(1)證明：；四邊形18C3為平行四邊形，

J.AB∕∕DC,AB=CD,

'NOEB=NODC,

又為BC的中點，

：.BO=CO,

在480E和ACOD中，

(ZOEB=NoDC

\乙BoE=4CoD>

IBO=co

：.∕?BOE^?CODCAAS)；

.,.OE=OD,

四邊形BECD是平行四邊形；

(2)解：

V四邊形ABCD是平行四邊形，

,/BCD=NZ=50°,AB//CD,

ΛZJDC=180o-ZJ=130°,

；四邊形BECO是菱形，

J.BCYDE,

：.ZCOD=90°,

：.ZODC=90o-ZBCD=40o,

/.NADE=ZADC-NooC=90°,

故答案為：90.

【點睛】此題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟

練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

17.(2023?桐廬縣一模)如圖1,在平行四邊形48CD中，NZBC的平分線與4。邊相交于點E,若ND=

60°.

4BE

(1)求：—.

AB

(2)如圖2,連結(jié)CE并延長，與歷J延長線相交于點尸，求證：AF?DE=CD2.

(3)在(2)條件下，連結(jié)3尸，若/8=4,求△￡>￡產(chǎn)的面積.

圖1圖2

【答案】⑴√3;

(2)證明見解析部分；

(3)4√3.

【分析】(1)如圖1中，過點/作于點證明ANBE是等腰三角形，可得結(jié)論；

AFAE

(2)證明推出一=—，可得結(jié)論；

CDDE

(3)連接。尸，過點、F作FHL4E于點、H.利用三角形面積公式，結(jié)合(2)中結(jié)論，解決問題.

【詳解】(1)解：如圖1中，過點4作4HLBE于點H.

:四邊形NBC。是平行四邊形，

.?AD∕∕BC,ND=NZBC=60°,

?.?8E平分NZBC

ZABE=NEBC=N4EB=3Q°，

??AB=AE,

PAHtBE,

：.BH=EH,

VcosZABH=器=孚，

be

?.?—=寸G3；

AB

(2)證明：Y四邊形是平行四邊形，

J.BF∕∕CD9AB=CD,

FB=AE,

：.AE=CD.

AF//CD9

：.XAFEsXDCE,

AFAE

?.—,

CDDE

：.Cb1=4F?DE;

(3)解：連接。凡過點尸作尸HJ_/IE于點H.

?"AD∕∕BC,

：.ZFAH=ZABC=60a,

.?.FH=AF?cos6Q°=吟AF,

?'CD=4,

J.AF?DE=CD1=Xi),

"."SΔDEF=^?DE?FH=^-?AF?DE=4?13.

【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的

判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于

中考常考題型.

18.(2023?西湖區(qū)模擬)如圖，在C中，點。、E、尸分別在N8、BC、ACL,且DF〃BC,EF//AB.

(1)求證：AFECSAADF；

(2)設CF=jAC.

①若E/=3,求線段18的長：

②若SAFEC=1＞求SHDF的值.

A

(2)AB=9,SZMDF=4.

【分析】(I)利用平行線判定相似的方法，分別說明△/￡＞尸與4∕8C?ACE尸與4C8∕相似，得結(jié)論;

(2)利用相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：：DF〃8C,

.AADFsAABC.

"EF//AB,

.∕?CEFsACBA.

.AFECsAADF.

⑵解：?：XCEFSXCBA,

CFEF1

"AC~AB~3'

.AB=3EF=9.

'CF=^AC,

CF_1

'AF—2

?LFECSAADF,

SAFEC_￡￡2_1

SAADFAF4

*?SΔADF=4S&FEC=4.

【點睛】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

19.(2023?西湖區(qū)模擬)如圖，在菱形/88中，AB=2,ZABC=60°,E,尸分別是線段48和43的延

長線上的一點，且BF=BE,連接CE,DF交于點、G,連接8G.設一=A(QO).

EB

(1)當k=l時，求CE的長;

(2)在(1)的條件下，求BG的長；

(3)求AOCG的面積(用含左的代數(shù)式表示).

(2)BG=~

(Zc+1)y/3

(3)AOCG的面積為

【分析】⑴連接/C,根據(jù)題意和菱形的性質(zhì)可得AABC為等邊三角形，AE=EB=yB=X,在Rt?

8CE中，CE=BC?sinNCBE;

(2)根據(jù)理性的性質(zhì)得/8〃Cr>,進而得NOCG=NZrEG,ZCDG=ZEFG,由4E=EB=B尸可得EF

=CD,以此可通過脛4證明△口)G絲AEFG,則EG=苧，再根據(jù)勾股定理即可求解;

(3)設點G到Cz)的距離為加，點G到/3的距離為協(xié)，則《+/i2=E，即4=次一凡，易證明△

CDh1—∕c+1

CDGS∕?EFG,得一=—’根據(jù)題意可得8=(HD即=2班因此〒=后不,進而得到

EFh2

綽工旦，以此即可求解.

1κ~↑~?

：.BC=AB=2,

,△ABC為等邊三角形,

4E

*/—=k,k=1,

EB

：.AE=EB=^AB=?,即E為48中點,

：.CELAB,

：?NBEC=90°,

在RtASCf中，CE=BC?sin∕CBE=2x?=√3;

(2)：四邊形為菱形，

.?AB∕∕CD,

：./DCG=NFEG,/CDG=NEFG,

由(1)知，AE=EB=X,

?：BF=BE,

：.AB=EF=CD,

在aCOG和aEFG中，

(ZDCG=ZFEG

?cD=EF'

UCDG=NEFG

：.IXCDG4XEFGCASA),

ICG=EG=^CE=?,

在RtAfiFG中，BG=y∕BE*2+EG2=Jl2+(?)2=~

(3)設點G到CQ的距離為加，點G到/8的距離為〃2,

由(1)可知，A1+h2=>∕3f即4=遮一九1，

Y四邊形力BCo為菱形，

：.AB=CD=BC=I,AB//CD,

：.ZDCG=ZFEG,ZCDG=ZEFGf

：?XCDGsXEFG,

.CD_"

ΛΛ9

EF~h2

AE

-=k,

EB

:?AE=kEB,

：.CD=AB=AE+EB=kEB+EB=(Hl)EB,

YBF=BE,

：?EF=EB+BF=2EB,

.(k+l)E8h1k+1h1

2.EB九22九2

***h?=遍—b，

.∕c+l∕ι1

2v?-/i?

（?+l）√f3

''nι-k+3，

?c_1_l（k+l）Q_（?+D總

?.‰DCG=2?rcnd?ΛhI=2v×92-k+3=k+3-

【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定與性

質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用所學知識問題解決問題是解題關(guān)鍵.

20.（2022?蕭山區(qū)二模）如圖，已知正方形［8Cz）的邊長為α,正方形CE尸G的邊長為b（b<α）,點E在

8邊上，點G在BC延長線上，點，為BC上的點，連接DRDH.

（1）當。尸時，求證：ADEFSAHCD.

（2）若點以為BC的中點，在（1）的條件下，求出。與b滿足的關(guān)系式.

【分析】（1）證明NEDF=NDHC,再結(jié)合90°角可以證明△。勿's∕v∕8;

（2）根據(jù)（I）中的相似得到對應邊成比例，可以得到關(guān)于“和6的等式即可得解.

【詳解】（1）證明：；四邊形/88,CEFG都是正方形，

：.NHCD=90°,NCEF=NDEF=90°,

：.NDEF=NHCD=90°,

：.NHDC+NDHC=90°,

又YDHLDF,

：.ZHDF=90°,

ΛZHDC+ZEDF=90°,

NEDF=NDHC,

二XDEFSXHCD.

（2）解：：點，為BC的中點，

：.HC=Wa,

"CCD=a,CE=EF=b,：.DE=a-b,

由（1）可知ADEFsAHCD,

DEEF

"HC~CD

.a-bb

.".a=&b,

即。與b滿足的關(guān)系式為a=∣b?

【點睛】本題是四邊形綜合題目，只要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握正方

形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.(2022?西湖區(qū)模擬)如圖，在菱形/88中，ZJfiC=120°,將菱形折疊，使點/恰好落在對角線

8。上的點G處(不與8,。重合)，折痕為EE,若DG=2,BG=G.

(1)求43EG的周長；

(2)求證：ADFGS^BGE;

(3)求BE的長.

(2)見解析；

14

(3)—.

5

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得EG=/E,再證明Sz)是等邊三角形，得N8=8Z)=2+6=8,從而得

出答案；

(2)利用三角形外角的性質(zhì)可得/BGE=/。尸G,再根據(jù)NNOB=//83,即可證明結(jié)論；

(3)利用相似三角形的周長比等于相似比可得答案.

【詳解】(1)解：???將菱形折疊，使點/恰好落在對角線8。上的點G處，

：.EG=AE,

：.叢BEG的周長為EG+BE+BG=AB+BG,

：四邊形N88是菱形，

：.AB=AD,ZDAB=GO0,

...八48。是等邊三角形，

:?AB=BD=2+6=8,

???/XBEG的周長為8+6=14；

(2)證明：是等邊三角形，

ΛZADB=ZABD=ZA=60Q,

?.,ZEGF=ZAf

：.ZEGF=NADB,

YZBGF=ZADB+ZDFG,

.?.NBGE=ZDFG,

.,.?Z>FG∞?5GE;

(3)解：'JAF=FG,

/XDFG的周長為ND+Z)G=IO,

?:叢DFGS叢BGE,

DGCLDFG

BECABEG

210

??一，

BE14

：.BE=苫14.

【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似

三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

22.（2022?杭州模擬）如圖，Z?∕3C中，AC=BC,NCAB=a,。是/8邊上的一點（不與/、8點重合）,

。是CO的中點，過點C作/8的平行線交8。的延長線于點￡,4C與BE交于點、F.

CF

(1)若CE*求酢的值;

(2)若α=45°,AD=3,DB=?,求8尸;

(3)若4D=λBD,CE=ICF,求CoSa（用含入的代數(shù)式表示）.

4√13

(2)-------

5

1+A

(3)----

2÷λ

【分析】（1）首先利用平行加中點證明aCOE咨AOOB（44S）,WCE=BD,則∕8=2CE,再根據(jù)

CECF1

s∕?BAF,可得一=一=一；

ABAF2