2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第七章第5節(jié)　直接證明與間接證明

第5節(jié)直接證明與間接證明

考綱要求1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思

考過程和特點(diǎn)；2.了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程和特點(diǎn).

知識(shí)分類落實(shí)回扣知識(shí)?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.直接證明

內(nèi)容綜合法分析法

從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立

利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定

的充分條件,直到最后把要證明的結(jié)論歸

定義理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)

結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條

出所要證明的結(jié)論成立

件、定理、定義、公理等)為止

實(shí)質(zhì)山因?qū)Ч麍?zhí)果索因

框圖

…T。，戶臼I垣卜1I叵I1iT得成到立一*個(gè)的明薪顯I

表示

文字因?yàn)椤浴C……只需證……

語言或由……得……即證……

2.間接證明

間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法.

(1)反證法的定義：假設(shè)原命題丕成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理,

最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立的證明方法.

(2)用反證法證明的一般步驟：①反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②歸謬——根據(jù)假設(shè)進(jìn)

行推理，直到推出矛盾為止；③結(jié)論——斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立.

?——常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

I.分析法是執(zhí)果索因，實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件；綜合法是由因?qū)Ч?，就是?/p>

找已知的必要條件.

2.綜合法與分析法都是直接證明的方法，反證法是間接證明的方法.

3.用反證法證題時(shí)，首先否定結(jié)論，否定結(jié)論就是找出結(jié)論的反面的情況，然后推出矛盾,

矛盾可以與已知、公理、定理、事實(shí)或者假設(shè)等相矛盾.

診斷自測

??思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“，”或“X”)

(D分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.()

(2)用反證法證明結(jié)論“α>∕時(shí)，應(yīng)假設(shè)Z6”.()

答案(1)×(2)×

解析(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.

(2)應(yīng)假設(shè)''"W∕√'.

〉教材衍化

2.若P=?ja+6+7a+7,(2=?χ∕α+8+^?+5(?^0),則P,Q的大小關(guān)系是()

A.P>QB.P=QC.P<QD.不能確定

答案A

解析假設(shè)P>Q,只需產(chǎn)>Q2,gp2α+13+2√(?+6)^+7)>20+13+2√(α+8)(0+5),只需

a2+13a+42>α2+l3α+40.θτ?42>40?±,所以P>Q成立.故選A.

3.實(shí)數(shù)α,b,C滿足α+Z>+c=O,ahc>O,則：+[+(的值()

A.一定是正數(shù)B.一定是負(fù)數(shù)

C.可能是0D.正、負(fù)不確定

答案B

解析由α+6+c=0,abc>O得α,b,c中必有兩負(fù)一正，不妨設(shè)“<0,b<0,c>0,且⑷<∣c∣,

則玩？從而一另，而胸，所以5+H%°?

??考題體驗(yàn)

4.命題“對(duì)于任意角仇COSilJ-Sirf4O=Cos2/'的證明："cos，。一sin%=(COS20—siMOXcos2。

÷sin20)=cos20-sin20=cos2Θ",其過程應(yīng)用了()

A.分析法B.綜合法

C.綜合法、分析法綜合使用D.間接證法

答案B

5.(2020.西安月考)利用反證法證明：若m+√}=0,則x=y=O,應(yīng)假設(shè)為()

A.X,y都不為0

B.X,y不都為0

C.X,y都不為0,且XWy

D.X,y至少有一個(gè)為0

答案B

解析x=y=O的否定為XWo或yW0,即x,y不都為0,選B.

6.(2020.安慶檢測)在不等邊三角形中，.為最大邊，要想得到A為鈍角的結(jié)論，三邊a,b,

c應(yīng)滿足.

答案b2+c2<a1

按+/一屋

解析根據(jù)余弦定理，CosA=—說一<0,

所以b2+ci<a1.

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一綜合法的應(yīng)用師生共研

【例1】設(shè)小b,C均為正數(shù)，且。+8+c?=l,證明：

(l)ab+bc+cawg；

Q2RcP-

(2)ι-+-+^^1.

''bca

222221

證明(1)由a÷?≥2fz?,b+c^2bc9c+a^2ca,

得6Γ2÷?2÷C2^67?÷?C÷Ca.

由題設(shè)得(α+8+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,

所以3(6r?÷?c+c6r)≤1,即ah+hc+ca^^9

當(dāng)且僅當(dāng)iia=b=cff時(shí)等號(hào)成立.

〃2/

(2)因?yàn)槭?0224,—+c≥2?,—+tz≥2c,

當(dāng)且僅當(dāng)“〃2=抉=C2”時(shí)等號(hào)成立,

。2b?

故石+7~+5+(α+8+c)N2m+A+c),

后h2C2

則7十一+—Nα+8+c.

hca

所以5。2+吩日￠2

感悟升華1.綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的

邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理,

最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性.

2.綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.

【訓(xùn)練1】本例的條件不變，證明儲(chǔ)+爐+/當(dāng)

證明因?yàn)椤?%+c=l,

所以1=(α+8+c)2=/+?2+c2+208+28c+20c,

因?yàn)?4bW42+82'2∕?CWb2+c2,2αcWq2+c2,

當(dāng)且僅當(dāng)"a=b=c”時(shí)，等號(hào)成立，

所以240+28c+2Qc≤2(α2+按+c2),

所以1?〃2+抉+/+2(/+62+”)，

即α2+?2+c2≥∣.

考點(diǎn)二分析法師生共研

【例2】若m?≡(1,+∞),證明?/ɑ+Xdl+"?

證明要iiy∣a+b<y∣I+ab,

只需證Na+b)2<(y/1+〃。)2,

只需證a-?-b—1—ah<O,即證(α—1)(1—h)<0.

因?yàn)棣?gt;l,b>l,所以。一1>0』一XO,

即(ɑ-l)(l一份<0成立，所以原不等式成立.

感悟升華分析法的證明思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，

而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條

件時(shí)命題得證.

【訓(xùn)練2】己知aABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，A,B,C的對(duì)邊分別為mb,

c.

11?

求證：

Fa-↑-b+Kb-χ-c=a-,rb1-r.c

113

證明要證F+k=F?-,

a-rbb-vc。十。十C

rr-"+8+c,α+b+c,v,c,a

即證—T7~+>.=3,也就k是tF+k=l,

a-vbb-?-ca-↑-bb-τc

只需證c3+c)+〃(〃+》)=(〃+b)S+c),

需證c2+tz2=πc+?2,

又三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，故8=60。，

由余弦定理，得b2=c2+a2-2accos60°,

222112

即b=c+a~act故c+a=ac+b成立.

于是原等式成立.

考點(diǎn)三反證法師生共研

【例3】設(shè)數(shù)列｛斯｝是公比為4的等比數(shù)列，S“是它的前”項(xiàng)和.

(1)求證：數(shù)列｛S,｝不是等比數(shù)列；

(2)數(shù)列｛S.｝是等差數(shù)列嗎？為什么？

⑴證明假設(shè)數(shù)列｛S.｝是等比數(shù)列，則Z=SlS3,

即同(l+q)2=αι?4r(l+q+q2),

因?yàn)棣力伞?,所以(l+q)2=l+q+q2,

即q=0,這與公比q≠0矛盾，所以數(shù)列｛S,｝不是等比數(shù)列.

(2)解當(dāng)q=l時(shí)，Sn=na↑,故｛*｝是等差數(shù)列；

當(dāng)(7W1時(shí)，｛S,,｝不是等差數(shù)列，否則2S2=S+S3,

即2α∣(l+q)="ι+αι(l+q+q2),得q=0,這與公比qW0矛盾.綜上，當(dāng)q=l時(shí)，數(shù)列｛SJ

是等差數(shù)列；當(dāng)qWl時(shí)，數(shù)列｛S,｝不是等差數(shù)列.

感悟升華L適用范圍：當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形

式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法來證.

2.關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、

公理、定理矛盾，與事實(shí)矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.

【訓(xùn)練3】已知“，b,c,J∈R.且α+b=l,c+d=1,αc+慶Z>l.求證：a,b,c,"中

至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).

證明假設(shè)dh,c,d都是非負(fù)數(shù)，

因?yàn)椤?6=c+4=l,所以（α+6）（c+J）=l,

即ac+bd+ad+bc=1,又ac-i^hd+ad+bc^ac+hd,

所以αc+"Wl,與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，

故4,b,c,"中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).

、課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.下列表述：①綜合法是由因?qū)Ч?；②綜合法是順推法；③分析法是執(zhí)果索因法；④分

析法是逆推法；⑤反證法是間接證法.其中正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

答案D

解析由定義可知①②③④⑤都正確，選D.

2.若a,b,C為實(shí)數(shù)，且“<?<0,則下列命題正確的是（）

A.ac2<bc2B.a2>ab>b2

11、ba

C.^^<7D.^^>7

abab

答案B

解析a2-ab=a（a-h）,'."a<h<O,.'.a-h<O,a2-ab>0,a2>ab.φ

又ab~b2-b（a~b）>0,.'.ab>b2,②

由①②得a2>ab>h2.

（?廈門月考）用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程）有有理數(shù)根,

3.2020αχ2+fcc+c=om≠θ

那么α,b,C中至少有一個(gè)是偶數(shù).用反證法證明時(shí)，下列假設(shè)正確的是（）

A.假設(shè)〃，h,C都是偶數(shù)

B.假設(shè)α,b,C都不是偶數(shù)

C.假設(shè)α,b,C至多有一個(gè)偶數(shù)

D.假設(shè)a,b,C至多有兩個(gè)偶數(shù)

答案B

解析“至少有一個(gè)”的否定為“都不是”，故B正確.

4.在aABC中，sinAsinC<cosAcosC,則AABC一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不確定

答案C

解析由SinASinC<cosAcosC得cosAcosC-sinAsin。>0,即COS（A+O>0,所以A+C是

TT

銳角，從而B>],ZVlBC必是鈍角三角形.故選C.

5.分析法又稱執(zhí)果索因法，已知x>0,用分析法證明?√1+x<l+5時(shí),索的因是（）

A.Λ2>2B.Λ2>4

C.x2>0D.x2>l

答案C

解析因?yàn)镼O,所以要證√幣<1+不只需證（護(hù)金）2<（1+今2，即證O告，即證Λ2>0,

因?yàn)镼O,所以χ2>0成立，故原不等式成立.故選C.

6.（2021.西安模擬）已知”,b,c∈R,若*1且如注一2,則下列結(jié)論成立的是（）

A.a,b,C同號(hào)

B.b,C同號(hào)，α與它們異號(hào)

C.a,C同號(hào)，人與它們異號(hào)

D.b,C同號(hào)，。與4C的符號(hào)關(guān)系不確定

答案A

解析由號(hào)1知3與加號(hào)，若/）且呆O,不等式3+如-2顯然成立，若，且10,則

一沁一2H）+（-?2寸]一飄司>2,即/宗—2,這與桿念—2矛盾，故

hC

7>0且70,即G,b,C同號(hào).故選A.

二、填空題

7.布+幣與2巾+小的大小關(guān)系為.

答案√6+√7>2√2+√5

解析要比較加+幣與2加+小的大小，

只需比較（#+幣）2與（2吸+小F的大小，

只需比較6+7+2日與8+5+4、所的大小，

只需比較順與2√而的大小，只需比較42與40的大小，

V42>40,Λ√6+√7>2√2+√5.

8.下列條件：①加>0；②帥<0；③G>0,?>0;?a<0,KO.其中能使，月22成立的條件的

序號(hào)是.

答案①③?

解析要使與+￡22,只需］>0且￡>0成立，即α,b不為O且同號(hào)即可，故①③④均能使§+

注2成立.

9.若二次函數(shù)./U)=4χ2-2(P—2)X—2p2—p+1,在區(qū)間［-1,1］內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使#c)>0,

則實(shí)數(shù)P的取值范圍是.

答案(-3,1)

解析若二次函數(shù)yu)WO在區(qū)間［—1』］內(nèi)恒成立，

∫Λ-l)=-2p2++l≤0,

則彳?p

hl)=-2p2-3p+9W0,

3

解得PW—3或〃21

故滿足條件的P的取值范圍為(一3,1).

三、解答題

10.已知％y,z是互不相等的正數(shù)，且x+y+z=l,求證：Q-l)(?-1)Q-1)>8.

證明因?yàn)閄,y,Z是互不相等的正數(shù)，且x+y+z=l,

所以'—1=3=∑?嶇，①

XXXX

1l-yx+z2?∕^

-1--=>ι②

yyyy

?-l=l-zx+y2?[xy^

③

ZZZZ

又無，y,Z為正數(shù)，由①X②X③，

得—M

11.已知〃>5,求證：y∣a-5-y∣a-3??∣a-2-y[cι.

證明要證Na—5-y∣a-3<y∣a-2—y[a,

只需證-5-?-y[a??∣a—3~?~y∣a—2,

只需證Na—5+y[a)2<(y∣a-3+y∣a-2)2,

只需證2a—5+2y∣a2—5a<2a—5+2y∣a2—5a+6,

只需證Ma2—5α<d屋一5r+6,

只需證屏一5Q<Q2-5Q+6,

只需證0<6,

因?yàn)?<6恒成立，

所以7a-5-y∣a_3<?∣a-2-y［^成立.

B級(jí)能力提升

12.(2021?長春模擬)①已知p3+q3=2,求證p+qW2,用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p+q>2;

②設(shè)“為實(shí)數(shù)，&)=x2+0v+”,可證貝1)|與直2)|中至少有一個(gè)不大于今由反證法證明時(shí)可

假設(shè)網(wǎng))|叢且火2)|當(dāng)以下說法正確的是()

A.①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤

B.①與②的假設(shè)都正確

C.①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯(cuò)誤

D.①的假設(shè)錯(cuò)誤，②的假設(shè)正確

答案C

解析用反證法證明時(shí)，應(yīng)假設(shè)結(jié)論不成立，所以①正確；設(shè)”為實(shí)數(shù)，yU)=χ2+0χ+”,

求證IAI)I與次2)沖至少有一個(gè)不大于;，用反證法證明時(shí)假設(shè)應(yīng)為IAl)K且次2忌，所以②