5．6 函數(shù) y=Asin(ωx+φ)（八大題型）（解析版）

5．6函數(shù)【題型歸納目錄】題型一：根據(jù)函數(shù)圖象求解析式題型二：同名函數(shù)圖象的變換題型三：異名函數(shù)圖象的變換題型四：變換的重合問題題型五：求圖象變換前、后的解析式題型六：由圖象變換研究函數(shù)的性質(zhì)題型七：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型八：用五點法作函數(shù)的圖象【知識點梳理】知識點一：用五點法作函數(shù)的圖象用“五點法”作的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)，由z取來求出相應(yīng)的，通過列表，計算得出五點坐標(biāo)，描點后得出圖象．知識點二：函數(shù)中有關(guān)概念表示一個振動量時，A叫做振幅，叫做周期，叫做頻率，叫做相位，x=0時的相位稱為初相．知識點三：由得圖象通過變換得到的圖象1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點的縱坐標(biāo)伸長（）或縮短（）到原來的倍得到的（橫坐標(biāo)不變），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的圖象，再以軸為對稱軸翻折，稱為振幅．2、周期變換：函數(shù)，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標(biāo)縮短或伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）．若則可用誘導(dǎo)公式將符號“提出”再作圖．決定了函數(shù)的周期．3、相位變換：函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左（當(dāng)時）或向右（當(dāng)時）平行移動個單位長度而得到．（用平移法注意講清方向：“左加右減”）．4、函數(shù)的圖象經(jīng)變換得到的圖象的兩種途徑知識點詮釋：一般地，函數(shù)，的圖象可以看作是用下面的方法得到的：（1）先把y=sinx的圖象上所有的點向左（）或右（）平行移動個單位；（2）再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短或伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）；（3）再把所得各點的縱坐標(biāo)伸長（）或縮短（）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變）．【典型例題】題型一：根據(jù)函數(shù)圖象求解析式例1．函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，此函數(shù)的解析式為（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)圖象可知，又，所以，解得，將代入得到，，因為，所以，故，解得，所以.故選：B例2．（多選題）如圖是函數(shù)的部分圖像，若圖象經(jīng)過點，則=（

）

A． B． C． D．【答案】BC【解析】因為的圖象過點，所以，所以或，的周期為，當(dāng)時，由圖象可得，得，所以，所以，當(dāng)時，由圖象可得，得，所以，所以，所以，故選：BC例3．函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖，此函數(shù)的解析式為.

【答案】【解析】根據(jù)所給的圖象，可以看出圖象的振幅是，得到，看出半個周期的值，得到，根據(jù)函數(shù)的圖象過點，把點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，結(jié)合的取值范圍求出的值，從而得到三角函數(shù)的解析式.由圖象可知，，函數(shù)的最小正周期為，所以，，則函數(shù)解析式為，因為函數(shù)的圖象過點，則，可得，因為，則，所以，，解得，故函數(shù)解析式為.故答案為：.變式1．函數(shù)是常數(shù)，的部分圖象如圖所示，則的值是.

【答案】【解析】觀察圖象知，，函數(shù)的周期，則，由，得，而，于是，，因此，所以.故答案為：變式2．如圖所示為函數(shù)的部分圖象，其中，則此函數(shù)的解析式為．

【答案】【解析】由函數(shù)的部分圖象，設(shè)，其中，因為，可得，解得，即，所以，可得，所以，又由，可得，因為，所以．故答案為：.變式3．已知，若函數(shù)的圖像如圖所示，則．【答案】【解析】由圖可知（同理），,解得：,此時，又函數(shù)過點，即，解得，取，所以，，，，，，，，，即，所以.故答案為：變式4．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為．

【答案】【解析】由圖像可知，，即，則，將代入可得，，即，，解得，，且，則，再將代入可得，可得，所以函數(shù)解析式為.故答案為:變式5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，則．【答案】【解析】由圖可知，因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且在處函數(shù)取得最大值，所以，所以，，解得，，又，即，即且，所以，所以或，當(dāng)時，此時，不符合題意，當(dāng)時，此時，符合題意，所以.故答案為：變式6．如圖是函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的一個解析式為.【答案】（答案不唯一）【解析】依題意知，，所以，由得，所以，由圖知，所以：，解得：，所以函數(shù)的一個解析式為：（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.【方法技巧與總結(jié)】確定函數(shù)（）的解析式的步驟（1）求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則，．（2）求，確定函數(shù)的周期，則．（3）求，常用方法有①代入法：把圖象上的一個已知點代入（此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）或把圖象的最高點或最低點代入．②五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口．題型二：同名函數(shù)圖象的變換例4．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上各點（）．A．橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)伸長為原來的倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)縮短為原來的，橫坐標(biāo)不變【答案】D【解析】先將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)縮短到原來的，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，即將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)縮短到原來的，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，故選：D.例5．為了得到函數(shù)的圖象，只需將余弦函數(shù)圖象上各點（）．A．橫坐標(biāo)向左平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)向右平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變C．橫坐標(biāo)向左平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變D．橫坐標(biāo)向右平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變【答案】D【解析】把上的所有點向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.故選：D.例6．由的圖象怎樣得到的圖象？【解析】將函數(shù)的圖象依次進行如下變換：①把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；②把得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；③把得到的圖象上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.經(jīng)過上述變換，就得到函數(shù)的圖象.變式7．將函數(shù)的圖象作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖象？【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個單位，可得函數(shù)的圖象；再把所得圖象上點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮傻煤瘮?shù)的圖象；再把所得圖象點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮傻煤瘮?shù)的圖象．變式8．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的每個點（

）A．橫坐標(biāo)向左平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)向右平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變C．橫坐標(biāo)向左平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變D．橫坐標(biāo)向右平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象上的每個點橫坐標(biāo)向右平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變，即可得出.故選：D.變式9．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的每個點（

）A．橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)縮短為原來的，橫坐標(biāo)不變【答案】B【解析】將函數(shù)的圖象上的每個點橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，即可得到函數(shù)的圖象.故選：B.變式10．已知曲線C1：，C2：，則錯誤的是（

）A．把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平行移動個單位長度，得到曲線B．把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平行移動個單位長度，得到曲線C．把向左平行移動個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線D．把向左平行移動個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線【答案】D【解析】對于A.上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，再向左平移個單位長度，得到，正確；對于B.上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，再向右平移個單位長度，得到，正確；對于C.向左平移個單位長度，得到，再把各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，正確；對于D.向左平移個單位長度，得到，再把各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，錯誤.故選：D變式11．已知函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象，只需（

）A．將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位B．將函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位C．將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位D．將函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位【答案】B【解析】由題設(shè)，即只需將圖象上所有的點向右平移個單位.故選：B變式12．為了得到的圖象，則需將的圖象（

）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的，再向右平移個單位B．橫坐標(biāo)縮短到原來的，再向左平移個單位C．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移個單位D．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移個單位【答案】C【解析】把的圖象上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變得的圖象，再把的圖象向右平移個單位得的圖象．故選：C．【方法技巧與總結(jié)】對，，的三點說明（1）越大，函數(shù)圖象的最大值越大，最大值與是正比例關(guān)系．（2）越大，函數(shù)圖象的周期越小，越小，周期越大，周期與為反比例關(guān)系．（3）大于0時，函數(shù)圖象向左平移，小于0時，函數(shù)圖象向右平移，即“加左減右”．題型三：異名函數(shù)圖象的變換例7．已知函數(shù)的圖象，問需要經(jīng)過怎樣的變換得到函數(shù)的圖象，并且平移路程最短？【解析】易知所以可將的圖象向右平移個單位長度可得.或者即也可將的圖象向左平移個單位長度可得.顯然，所以向左平移個單位長度路程最短，綜上可知，平移路程最短的方法是：向左平移個單位長度．例8．要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有的點（

）A．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）再向左平移個單位長度B．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）再向左平移個單位長度C．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）再向左平移個單位長度D．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）再向左平移個單位長度【答案】C【解析】因為，將的圖象上所有的點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）得到，再向左平移個單位長度得，即得到函數(shù)的圖象.故選：C例9．把函數(shù)的圖像適當(dāng)變動就可以得到圖像，這種變動可以是（

）A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移【答案】D【解析】，，函數(shù)的圖象向左平移可以得到的圖象.故選：D變式13．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位【答案】D【解析】因為，所以將向右平移個單位即可得圖象．故選：D變式14．已知曲線，則下面結(jié)論正確的是（

）A．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度C2D．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2【答案】C【解析】曲線，把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象；再把得到的曲線向左平移個單位長度，可以得到曲線的圖象.故選：C.變式15．為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上的所有點的（

）A．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度B．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度C．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度D．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度【答案】D【解析】.對選項A：得到的函數(shù)為，A錯誤；對選項B：得到的函數(shù)為，B錯誤；對選項C：得到的函數(shù)為，C錯誤；對選項D：得到的函數(shù)為，D正確，故選：D【方法技巧與總結(jié)】變?yōu)橥僮儞Q．題型四：變換的重合問題例10．函數(shù)的圖象向右平移個單位后與函數(shù)的圖象重合，則下列結(jié)論中正確的是（

）①的一個周期為；②的圖象關(guān)于對稱；③是的一個零點；④在單調(diào)遞減.A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【解析】函數(shù)的圖象向右平移個單位后與函數(shù)的圖象重合，所以，所以的一個周期為，故①正確；的對稱軸滿足，，當(dāng)時，的圖象關(guān)于對稱，故②正確；由，得,當(dāng)時，，所以是的一個零點，故③正確；當(dāng)時，，此時為單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增，故④錯誤.故選：A.例11．已知函數(shù)，，將函數(shù)的圖象經(jīng)過下列變換可以與的圖象重合的是（

）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位【答案】D【解析】因為，所以將向右平移個單位得到.故選：D例12．函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后為又因為，則的最小值為，故選：．變式16．將函數(shù)的圖象向左平移個單位后與的圖象重合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知可得.故選：C.變式17．已知函數(shù)，將的圖像向右平移個單位長度后，若所得圖像與原圖像重合，則的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】,的周期為,將的圖像向右平移個單位長度后，所得圖像與原圖像重合，是周期的整數(shù)倍，，，，的最小值等于.故選：B變式18．的圖象向左平移個單位，恰與的圖象重合，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的圖像向左平移個單位后得，，與圖象重合，所以，解得：，當(dāng)時，.故選：D變式19．將函數(shù)的圖像向左平移2個單位長度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】函數(shù)的圖像向左平移2個單位長度后可得，，與函數(shù)的圖象重合，所以，由，所以.故選：A.題型五：求圖象變換前、后的解析式例13．已知函數(shù)的最小正周期為，其圖像向左平移個單位長度后所得圖像關(guān)于軸對稱，則．【答案】【解析】函數(shù)的最小正周期為，，．其圖象向左平移個單位后，可得的圖象；根據(jù)所得圖象關(guān)于軸對稱，可得，，即，，又，則．所以故答案為：例14．將函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位，再把所得到的曲線上的所有點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，則.【答案】【解析】將函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，再把圖象上的所有點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象.故答案為：例15．將函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度后，再將所得圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求出圖象的一個對稱中心的坐標(biāo)．【答案】答案舉例：，等（寫出一個或一個以上就給分）【解析】由題可知則函數(shù)圖象的一個對稱中心的橫坐標(biāo)滿足，所以則函數(shù)的對稱中心為.故答案為：（寫出一個或一個以上就給分）變式20．函數(shù)的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，再將圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，則．

【答案】【解析】由圖可知，，因為，所以，即，又，所以，所以，由圖知，是函數(shù)在軸右側(cè)的第二個零點，所以，即，所以，將其圖象向左平移個單位長度，可得，再將圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到．故答案為：．變式21．將函數(shù)的圖像向左平移個單位后得到函數(shù)，若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則．【答案】【解析】因為將函數(shù)的圖像向左平移個單位后得到函數(shù)，所以，因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以，得，且，即，所以.故答案為：.變式22．若函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，若對滿足的，，有的最小值為，則．【答案】【解析】由函數(shù)的圖像向右平移，可得由可知一個取得最大值一個取得最小值，不妨設(shè)取得最大值，取得最小值，，，．可得，所以，的最小值為，，得，故答案為：.變式23．把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，所得圖象的解析式是，則函數(shù)的解析式為．【答案】【解析】將函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)縮短到原來的得到函數(shù)的圖象，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以.故答案為：.變式24．將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，若是奇函數(shù)，則的可能取值是（只需填一個值）【答案】(答案不唯一)【解析】將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得，是奇函數(shù)，，，則的可能取值是.故答案為：.變式25．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再把所得函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】，【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個單位可得：，再把所得函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，可得，令，，解得，，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，，故答案為：，變式26．將函數(shù)且的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，再將所得圖象向左平移個單位長度后，得到一個偶函數(shù)圖象，則．【答案】【解析】將函數(shù)且的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)，因為為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)的圖象的一條對稱軸為，所以有，解得.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】常規(guī)法主要有兩種：先平移后伸縮；先伸縮后平移．值得注意的是，對于三角函數(shù)圖象的平移變換問題，其平移變換規(guī)則是“左加、右減”，并且在變換過程中只變換自變量x，如果x的系數(shù)不是1，那么需把x的系數(shù)提取后再確定平移的單位和方向．題型六：由圖象變換研究函數(shù)的性質(zhì)例16．將函數(shù)的圖像先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是.【答案】【解析】將函數(shù)的圖像先向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，再把所得函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，當(dāng)時，.由在上沒有零點，得，即，解得或.故答案為：.例17．若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為．【答案】【解析】由題設(shè)，將的圖象向右平移個單位長度后，有與圖象重合，所以，則，又，故的最小值為.故答案為：例18．函數(shù)的圖象向左平移個單位后與函數(shù)的圖象重合，則．【答案】/【解析】，，因為平移后圖象重合，故，因為，故．故答案為：.變式27．設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，取最小值時，若在區(qū)間上有解，則實數(shù)t的取值范圍為.【答案】【解析】，的圖像向右平移個單位長度后變?yōu)椋遗c重合，所以，，又，所以當(dāng)時，取得最小值，所以，即.因為在區(qū)間上有解，所以時，.因為，，，所以，所以，.故答案為：變式28．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向上平移一個單位，得到的圖像，若，且，則的最大值為．【答案】/【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,再向上平移1個單位長度,得到的圖象，，則，故函數(shù)的最大值為2,最小值為0，若,則,或(舍去).故有,即.又,.要使取得最大值,則應(yīng)有,故取得最大值為，故答案為：.變式29．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到偶函數(shù)的圖象，則的最小值是.【答案】【解析】由題意可得：，∵為偶函數(shù)，則，∴，又∵，即，則，∴當(dāng)時，取到最小值為5.故答案為：5.變式30．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后的圖象過原點，則m的最小值是.【答案】【解析】由題意可知，平移后函數(shù)解析式為，因為函數(shù)的圖象過原點，所以，即，解得，即，又，故時，m取最小值故答案為：.變式31．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將圖象上每一點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，所得圖象關(guān)于直線對稱，則的最小正值為__________.【答案】【解析】由題意得，的圖象向右平移個單位，變?yōu)?，再將圖象上每一點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，所得解析式為，因為所得圖象關(guān)于直線對稱，所以，，當(dāng)時，取得最小正值為.故答案為：變式32．已知函數(shù)（其中為常數(shù)，且）有且僅有三個零點，則的取值范圍是．【答案】【解析】因為函數(shù)（其中為常數(shù)，且）有且僅有三個零點，故必有一個零點為x=0，所以.所以問題等價于函數(shù)與直線y=1的圖像在上有3個交點，如圖所示：所以.故答案為：[2,4).變式33．已知函數(shù)，將函數(shù)f（x）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變成原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，且當(dāng)x∈時，，則a的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可得，當(dāng)時，，又，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得，所以.故答案為：.變式34．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，記與的圖象在軸的右側(cè)的所有公共點為，則的最小值為.【答案】【解析】由題意，，由，得，所以，即，當(dāng)時，取得最小值．故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)周期、最值、單調(diào)區(qū)間的方法步驟：①利用公式求周期；②根據(jù)自變量的范圍確定的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時，根據(jù)所給關(guān)系式的特點，也可換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值；③根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)或的單調(diào)區(qū)間．題型七：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例19．已知函數(shù)的最大值為．(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將的圖象向右平移個單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到的圖象，求滿足的x的取值集合．【解析】（1）．因為的最大值為，所以，解得，所以，的最小正周期．令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）將的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到．若，則，令，解得．綜上，滿足的x的取值集合為．例20．已知函數(shù)，當(dāng)時，取得最大值2，的圖象上與該最大值點相鄰的一個對稱中心為點．(1)求的解析式；(2)將的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的值域．【解析】（1）設(shè)的最小正周期為，由題意可知：，，則，可得，則，且圖象過點，可得，則，解得，又因為，可知，所以．（2）由題意可得：，因為，則，可得，即，所以在區(qū)間上的值域為．例21．已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象經(jīng)過，，且的圖象關(guān)于直線對稱．(1)求的解析式；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范圍．【解析】（1）由題意可得，，，因為，所以．因為在的圖象上，所以，所以，所以．因為，所以只有滿足要求，故；（2）因為，所以．當(dāng)，即時，取得最小值，最小值為．因為存在，使得不等式成立，所以，即，解得，即a的取值范圍為．變式35．已知函數(shù)，滿足______．在：①函數(shù)的一個零點為0；②函數(shù)圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為；③函數(shù)圖象的一個最低點的坐標(biāo)為，這三個條件中任選兩個，補充在上面問題中，并給出問題的解答．(1)求的解析式；(2)把的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的最大值為2，求實數(shù)的最小值．【解析】（1）若選①②：因為函數(shù)的一個零點為，所以，所以，所以，因為，所以．因為函數(shù)圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，所以．因為，所以，所以函數(shù)的解析式為；若選①③：因為函數(shù)的一個零點為，所以，所以，所以，因為，所以．因為函數(shù)圖象的一個最低點的坐標(biāo)為，所以，所以，所以，即，因為，所以．所以函數(shù)的解析式為；若選②③：因為函數(shù)圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，所以，因為，所以，因為函數(shù)圖象的一個最低點的坐標(biāo)為，所以，所以，所以即，因為，所以，所以函數(shù)的解析式為；（2）把的圖象向右平移個單位得到，再將向上平移1個單位得到，即，由得，因為在區(qū)間上的最大值為2，所以在區(qū)間上的最大值為1，所以，所以，所以的最小值為.變式36．已知函數(shù)周期是.(1)求的解析式；(2)將圖像上所有點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，再向左平移個單位，最后將整個函數(shù)圖像向上平移個單位后得到函數(shù)的圖像，若時，恒成立，求m得取值范圍.【解析】（1）依題意，，函數(shù)的周期，解得，所以.（2）依題意，，由，得，則當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，，從而，，即，所以m的取值范圍是.變式37．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，的最大值及相應(yīng)的x值；(2)將的圖象向左平移個單位后關(guān)于原點對稱，，求的所有可能取值．【解析】（1）由函數(shù)因為，可得，即，所以，所以，又由，可得，當(dāng)時，即時，函數(shù)的最大值為.（2）將的圖象向左平移個單位后關(guān)于原點對稱，可得，因為關(guān)于原點對稱，即為奇函數(shù)，可得，因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以的所有可能的取值為或.變式38．已知函數(shù)（其中，，）的圖像如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式及其對稱軸方程；(2)將函數(shù)的圖像上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到了函數(shù)的圖像，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【解析】（1）由圖知，，，則，由，即，故，，所以，，又，則，故．令，得，所以的對稱軸方程為．（2）將上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到圖象，函數(shù)在上單調(diào)遞增,因為，則，而，即，所以當(dāng)，即時，在單調(diào)遞增；所以．變式39．如圖是函數(shù)的部分圖象，M、N是它與x軸的兩個不同交點，D是M、N之間的最高點且橫坐標(biāo)為，點是線段DM的中點．(1)求函數(shù)的解析式及上的單調(diào)增區(qū)間；(2)若時，函數(shù)的最小值為，求實數(shù)a的值.【解析】（1）D是M、N之間的最高點且橫坐標(biāo)為，點是線段DM的中點，，.又，.代入點，，，，，令，得的單調(diào)遞增區(qū)間為又在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由第（1）問知，若，則，令，，對稱軸為，①當(dāng)，即時，，解得（舍）；②當(dāng)，即時，，解得；③當(dāng)，即時，，得（舍）.綜上，.變式40．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式；(2)當(dāng)時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，記方程在上的根從小到大依次為，試確定的值，并求的值.【解析】（1）由題意得，因為圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以，，又由為奇函數(shù)，可得，，此時為奇函數(shù)，符合題意，函數(shù)；（2）令，解得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為：，又，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則，故，即，，可得，設(shè)，其中，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象：可得方程在區(qū)間有5個解，即，其中，即，，解得，所以.變式41．已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象.若在上至少含有10個零點，求的最小值.【解析】（1），因為函數(shù)的最小正周期為，所以，則，令，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；（2）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的圖像，．令，得或，在，上恰好有兩個零點，若在，上至少有10個零點，則不小于第10個零點的橫坐標(biāo)即可，即的最小值為．變式42．已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求圖象的對稱軸方程；(2)將圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)，求函數(shù)在上的值域.【解析】（1），，所以函數(shù)的最小正周期，可得，所以，可得對稱軸滿足的條件，，即對稱軸方程為，；（2）由（1）可得，因為,，所以,，所以,，所以的值域為．【方法技巧與總結(jié)】研究函數(shù)性質(zhì)的基本策略（1）借助周期性：研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱性等問題時，可以先研究在一個周期內(nèi)的單調(diào)區(qū)間、對稱性，再利用周期性推廣到全體實數(shù)．（2）整體思想：研究當(dāng)時的函數(shù)的值域時，應(yīng)將看作一個整體，利用求出的范圍，再結(jié)合的圖象求值域．題型八：用五點法作函數(shù)的圖象例22．已知函數(shù)

(1)用“五點作圖法”在給定坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在上的圖像；(2)結(jié)合第（1）圖象寫出函數(shù)在上單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時，的取值范圍為，求的取值范圍.【解析】（1），，由可得，，列表如下：25200作圖：（2）結(jié)合圖像，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，（3），，又，所以，所以，，的取值范圍是．例23．已知函數(shù).(1)用“五點作圖法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)在上的圖像；(2)先將函數(shù)的圖像向右平移個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求在上的取值范圍.【解析】（1），作圖如下：（2）將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到，再將得到的圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到，當(dāng)時，，，，所以在上的取值范圍是.例24．已知函數(shù)．(1)用“五點作圖法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)在上的圖像，并寫出圖像的對稱中心；(2)先將函數(shù)的圖像向右平移個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，若在上的值域為，求的取值范圍【解析】（1）0由函數(shù)圖像可知函數(shù)的對稱中心為：；（2）因為將函數(shù)的圖像向右平移個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，而，此時函數(shù)的值域為，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，此時由，解得：，要想在上的值域為，只需，所以的取值范圍是.變式43．已知函數(shù)．（1）用“五點作圖法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)在上的圖像，并寫出圖像的對稱中心；（2）先將函數(shù)的圖像向右平移個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，若在上的值域為，求的取值范圍．【解析】（1），列表如下：012001在上的圖像如圖所示，其對稱中心為，．（2）將函數(shù)的圖像向右平移個單位后得到的圖像，再將得到的圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，∵，∴，結(jié)合正弦函數(shù)圖數(shù)可知，解得，∴的取值范圍是．變式44．某同學(xué)用“五點作圖法”畫函數(shù)在某一個周期的圖像時，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：00200（1）求，，的值及函數(shù)的表達式；（2）將函數(shù)的圖像向左平移個單位可得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【解析】（1）由，解得：，，由，，可得：，，，又∵，∴.∴（2）由題意得：，∴∵時，∴當(dāng)時，即時，.變式45．某同學(xué)用“五點作圖法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖像時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：0020（1）請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并直接寫出函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖像向左平移個單位后，再將得到圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】（1）補充表格：0020-20由最大值為2，最小值為-2，可知A=2，又，故，再根據(jù)五點作圖法，可得，得，故，（2）將函數(shù)的圖像向左平移個單位后，可得到的圖像，再將得到圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，因為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故令，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為.【方法技巧與總結(jié)】用“五點法”作的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)，由取來求出相應(yīng)的，通過列表，計算得出五點坐標(biāo)，描點后得出圖象．【過關(guān)測試】一、單選題1．把函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖像，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得函數(shù)的圖像，由函數(shù)為偶函數(shù)，則有，即，又，所以.故選：A2．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，為了得到函數(shù)的圖象，只需要將的圖象（

）

A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】由圖像知，，，，即，由圖可知，，，，又，，，向右平移可得函數(shù).故選：D.3．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在時的值域為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù),因為,所以,所以,故選:D.4．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．的一個零點為【答案】D【解析】根據(jù)，A正確；因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；由，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；因為，又，所以不是的一個零點，D錯誤.故選：D5．若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則的最小正值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象.再根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對稱，可得，即.故當(dāng)時，取最小正值是.故選：C6．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：D.7．將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數(shù)解析式是（）.A． B．C． D．【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度，得到函數(shù)即的圖象，再把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，就得到函數(shù)的圖象，然后再把函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長為原來的4倍，就得到函數(shù)的圖象.故選：A.8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．B．直線是圖象的一條對稱軸C．圖象的對稱中心為D．將的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象【答案】C【解析】對A，由最大值為3可得，由圖知，故，故，由圖象最高點可得，即，又，故，故.故，故A錯誤；對B，，不為函數(shù)最值，故直線不是圖象的一條對稱軸，故B錯誤；對C，令，解得，故對稱中心為，故C正確；對D，的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，故D錯誤；故選：C二、多選題9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來2倍可以得到的圖象B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的最大值為D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】AD【解析】依題意，，對于A，的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來2倍得函數(shù)的圖象，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，函數(shù)取得最大值，則的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；對于C，，取最大值1，則的最大值為，C正確；對于D，當(dāng)時，，而正弦函數(shù)在上不單調(diào)，因此函數(shù)在上不單調(diào)，D錯誤.故選：AD10．若函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則正確的結(jié)論是（

）A．B．的圖象的一個對稱中心為C．的單調(diào)遞增區(qū)間是，D．把的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象【答案】BC【解析】由圖可知，，所以A選項錯誤.，，所以，，所以B選項正確.由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，，C選項正確.把的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到，所以D選項錯誤.故選：BC11．函數(shù)的部分圖象如圖，則下列說法正確的有（

）

A．B．的一個對稱中心為C．的一個增區(qū)間為D．可將函數(shù)向右平移個單位得到【答案】ABD【解析】由圖象可知，，則可得，所以A正確；又，所以，又，所以，即，對于B，當(dāng)時，，所以函數(shù)圖象關(guān)于成中心對稱，即B正確；對于C，由，可得，令，可得是函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間，所以不是函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間，故C錯誤；對于D，將函數(shù)向右平移個單位得到，即D正確；故選：ABD12．已知函數(shù),若,對任意有恒成立,且在上是單調(diào)函數(shù),則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】因為,所以為函數(shù)的對稱中心,因為對任意有恒成立,所以為函數(shù)的對稱軸,設(shè)函數(shù)的最小正周期為,則,解得,因為在上是單調(diào)函數(shù),所以,故排除D.對于A,當(dāng)時,,由,得,因為,所以,此時,當(dāng)時,,所以在上為減函數(shù),滿足題意,故A正確;對于B,當(dāng)時,,由,得,因為,所以,此時,當(dāng)時,,所以在上為減函數(shù),滿足題意,故B正確;對于C,當(dāng)時,,由,得,因為,所以,因為,所以不存在使,故C錯誤.故選:AB.