第06講 空間向量的應(yīng)用 （七大題型）（原卷版）

第06講空間向量的應(yīng)用【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量：點(diǎn)A是直線l上的一個(gè)點(diǎn)，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點(diǎn)O，則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達(dá)式.知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時(shí)，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運(yùn)算或向量的坐標(biāo)運(yùn)算．2、平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量，那么過(guò)點(diǎn)A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.知識(shí)點(diǎn)詮釋：一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量．3、平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒(méi)有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：（i）設(shè)出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)，；（iii）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；（iv）解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量．由于一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，故可在代入方程組的解中取一個(gè)最簡(jiǎn)單的作為平面的法向量．知識(shí)點(diǎn)二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個(gè)平面平行，可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識(shí)點(diǎn)三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．知識(shí)點(diǎn)四、用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則．知識(shí)點(diǎn)詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過(guò)這兩直線的方向向量的夾角來(lái)求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個(gè)面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角．①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的大?。诋?dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的補(bǔ)角的大?。R(shí)點(diǎn)五、用向量方法求空間距離1、求點(diǎn)面距的一般步驟：①求出該平面的一個(gè)法向量；②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離．即：點(diǎn)A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2、線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3、點(diǎn)線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點(diǎn)P到直線l的距離.【典型例題】題型一：求平面的法向量【例1】（2024·全國(guó)·高二課堂例題）如圖，已知正方體中，的坐標(biāo)分別為，，，．分別求平面與平面的一個(gè)法向量．

【變式1-1】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的一個(gè)法向量．

【變式1-2】（2024·河南漯河·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個(gè)法向量.題型二：利用向量研究平行問(wèn)題【例2】（2024·廣東江門(mén)·高二臺(tái)山市華僑中學(xué)校考期中）長(zhǎng)方體中，，.點(diǎn)為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面.【變式2-1】（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底面和側(cè)面的中心．求證：(1)平面；(2)平面；(3)平面平面．【變式2-2】（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，E，M，N分別是BC，AE，的中點(diǎn)，，．求證：平面．

【變式2-3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，若為中點(diǎn)，為中點(diǎn).

求證：(1)；(2)平面；(3)平面平面．題型三：利用向量研究垂直問(wèn)題【例3】（2024·全國(guó)·高二期末）如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.求證：平面平面.【變式3-1】（2024·全國(guó)·高二期末）如圖，已知直三棱柱為的中點(diǎn)，為側(cè)棱上一點(diǎn)，且，三棱柱的體積為32．過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求證：平面；【變式3-2】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，，是的中點(diǎn).

(1)試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并寫(xiě)出點(diǎn)，的坐標(biāo)；(2)求的長(zhǎng)(3)求證：.【變式3-3】（2024·廣東廣州·高二廣州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：平面題型四：異面直線所成的角【例4】（2024·黑龍江佳木斯·高二?？计谀┤鐖D所示，在長(zhǎng)方體中，分別是線段上的點(diǎn)，且，(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫(xiě)出的坐標(biāo)．(2)求直線與所成角的余弦值.【變式4-1】（2024·新疆喀什·高二?？计谀┮阎忾L(zhǎng)為2的正方體，點(diǎn)M、N分別是和的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

(1)寫(xiě)出圖中、、M、N的坐標(biāo).(2)求直線AM與NC所成角的余弦值.【變式4-2】（2024·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期末）如圖，正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為.(1)設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為，求證：；(2)設(shè)與的夾角為，求側(cè)棱的長(zhǎng)．【變式4-3】（2024·北京順義·高二牛欄山一中?？计谥校┤鐖D，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（1）求證：AB⊥A1C；（2）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，若存在，求出AF長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型五：線面角【例5】（2024·云南臨滄·高二?？计谀┤鐖D，在三棱錐中，為正三角形，平面平面.(1)求證：；(2)若是的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.【變式5-1】（2024·云南昆明·高二云南師大附中?？茧A段練習(xí)）在四棱錐中，底面為梯形，，，，平面．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【變式5-2】（2024·安徽滁州·高二校考階段練習(xí)）在荾形中，，，將菱形沿著翻折，得到三棱錐如圖所示，此時(shí)．(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【變式5-3】（2024·安徽六安·高二六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為.(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型六：二面角【例6】（2024·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┰谌忮F中，平面，，且，，為的中點(diǎn).(1)求異面直線與所成角的正弦值；(2)求二面角的余弦值；【變式6-1】（2024·重慶·高二重慶市楊家坪中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)F，G為的中點(diǎn)，，.

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【變式6-2】（2024·四川廣安·高二四川省華鎣中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，．，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．

(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值；【變式6-3】（2024·湖北孝感·高二?？计谀┤鐖D，已知四棱錐，平面平面，為梯形，，，.(1)求證：⊥平面；(2)求與平面所成角的余弦值；(3)已知點(diǎn)在線段上，且，求平面與平面所成角的余弦值.【變式6-4】（2024·河北張家口·高二河北省尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，且.(1)求證：平面；(2)若，在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，找出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型七：距離問(wèn)題【例7】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到面的距離．【變式7-1】（2024·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到平面的距離為；(2)求到平面的距離．【變式7-2】（2024·遼寧葫蘆島·高二校聯(lián)考期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．(1)求到直線的距離；(2)求到平面的距離．【變式7-3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，MN是異面直線AC與的公垂線段，試確定點(diǎn)M在AC上及點(diǎn)N在上的位置，并求異面直線AC與間的距離．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第二中學(xué)校聯(lián)考期末）直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A． B．C．或 D．與的位置關(guān)系不能判斷2．（2024·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．3．（2024·山東濟(jì)南·高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)校考階段練習(xí)）直線的方向向量，平面的一個(gè)法向量，若，則（

）A． B．1 C．2 D．34．（2024·湖南益陽(yáng)·高二南縣第一中學(xué)校考期末）已知直線過(guò)點(diǎn)，其方向向量是，則點(diǎn)到直線的距離是（）A． B． C． D．5．（2024·甘肅隴南·高二校考期末）已知正方體中，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．6．（2024·福建泉州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，把沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．7．（2024·四川眉山·高二仁壽一中?？计谀┰诳臻g直角坐標(biāo)系O-xyz中，點(diǎn)，，則（

）A．直線AB∥坐標(biāo)平面xOy B．直線AB⊥坐標(biāo)平面xOyC．直線AB∥坐標(biāo)平面 D．直線AB⊥坐標(biāo)平面8．（2024·河南·高二伊川縣第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀下面材料：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為.根據(jù)上述材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．過(guò)點(diǎn)且在x，y軸上的截距相等的直線方程為B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則直線C．點(diǎn)在圓內(nèi)D．點(diǎn)滿足則點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)橢圓10．（2024·河北石家莊·高二?？计谥校┫铝薪o出的命題正確的是（

）A．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則B．兩個(gè)不重合的平面的法向量分別是，則C．若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底D．已知三棱錐，點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，且，則11．（2024·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)，，，則（

）A．B．方向上的單位向量坐標(biāo)是C．是平面ABC的一個(gè)法向量D．在上的投影向量的模為12．（2024·遼寧·高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則（

）A．與平面所成角的正弦值為B．為平面內(nèi)一點(diǎn)，則C．異面直線與的距離為D．為正方體內(nèi)任意一點(diǎn)，，，，則三、填空題13．（2024·上?！じ叨?fù)旦附中校考期末）已知平面的一個(gè)法向量，直線的方向向量，則直線與平面所成角的正弦值為.14．（2024·上海·高二上海市行知中學(xué)校考期末）在四面體中，若底面的一個(gè)法向量為，且，則頂點(diǎn)P到底面的距離為