（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 熱點(diǎn)探究課5 直線與圓的綜合問(wèn)題教師用書-人教版高三數(shù)學(xué)試題

熱點(diǎn)探究課(五)直線與圓的綜合問(wèn)題[命題解讀]從近五年的高考試題來(lái)看，高考對(duì)該部分的考查主要以直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系為載體，綜合考查直線方程、圓的方程的求法及與直線、圓相關(guān)的最值范圍問(wèn)題．熱點(diǎn)1與直線、圓有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題該類問(wèn)題以直線、圓的位置關(guān)系為載體，通過(guò)定點(diǎn)圓心，弦心距之間的關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系建立不等式，并借助函數(shù)或不等式求相應(yīng)問(wèn)題的最值．(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172255】(2)(2016·蘇北四市模擬)設(shè)m，n>0，若直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，則m＋n的最小值是________．(1)eq\f(4,3)(2)2＋2eq\r(2)[(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝1，圓心為(4,0)，由題意知(4,0)到kx－y－2＝0的距離應(yīng)不大于2，即eq\f(|4k－2|,\r(k2＋1))≤2整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤eq\f(4,3).故k的最大值是eq\f(4,3).(2)由直線與圓相切可知圓心距d＝eq\f(|m＋1＋n＋1－2|,\r(m＋12＋n＋12))＝1，整理可得(m－1)(n－1)＝2，利用均值不等式2＝(m－1)(n－1)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n－2,2)))2，可知m＋n≥2＋2eq\r(2).等號(hào)成立的條件為m－1＝n－1，即m＝n＝eq\r(2)＋1.][規(guī)律方法]1.研究直線與圓的位置關(guān)系最常用的解題方法為幾何法，將代數(shù)問(wèn)題幾何化，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．2．與圓有關(guān)的最值問(wèn)題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長(zhǎng)度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問(wèn)題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1]已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為________．6[根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r＝1，且AB＝2m，因?yàn)椤螦PB＝90°，連結(jié)OP，易知OP＝eq\f(1,2)AB＝m.要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離．因?yàn)镺C＝eq\r(32＋42)＝5，所以O(shè)Pmax＝OC＋r＝6，即m的最大值為6.]熱點(diǎn)2定點(diǎn)問(wèn)題定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn)．(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)．已知t∈R，圓C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.(1)若圓C的圓心在直線x－y＋2＝0上，求圓C的方程．(2)圓C是否過(guò)定點(diǎn)？如果過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解](1)由原方程配方得(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圓心為C(t，t2)．依題意知t－t2＋2＝0，所以t＝－1或2.即圓C的方程為x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0.6分(2)整理圓C的方程為(x2＋y2－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t2＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,－2x＋4＝0，,－2y＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))所以圓C過(guò)定點(diǎn)(2,0).14分[規(guī)律方法]判定圓是否過(guò)定點(diǎn)，或是求圓所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題，可以在方程形式上轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)參量的方程，結(jié)合恒等式的關(guān)系，再構(gòu)造關(guān)于x，y的方程組求該點(diǎn)的坐標(biāo)．若方程組有解，則說(shuō)明圓過(guò)定點(diǎn)，否則圓不過(guò)定點(diǎn)．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2]如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x＋1)2＋y2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1.設(shè)動(dòng)圓C同時(shí)平分圓C1、圓C2的周長(zhǎng)．(1)求證：動(dòng)圓圓心C在一條定直線上運(yùn)動(dòng)．(2)動(dòng)圓C是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1[解](1)證明：設(shè)圓心C(x，y)，由題意，得CC1＝CC2，即eq\r(x＋12＋y2)＝eq\r(x－32＋y－42)，化簡(jiǎn)得x＋y－3＝0，即動(dòng)圓圓心C在定直線x＋y－3＝0上運(yùn)動(dòng).4分(2)圓C過(guò)定點(diǎn)．設(shè)C(m,3－m)，則動(dòng)圓C的半徑為eq\r(1＋CC\o\al(2,1))＝eq\r(1＋m＋12＋3－m2).于是動(dòng)圓C的方程為(x－m)2＋(y－3＋m)2＝1＋(m＋1)2＋(3－m)2，整理，得x2＋y2－6y－2－2m(x－y＋1)＝0，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x2＋y2－6y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(3\r(2),2)，,y＝2＋\f(3\r(2),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(3\r(2),2)，,y＝2－\f(3\r(2),2).))所以動(dòng)圓C過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3\r(2),2)，2－\f(3\r(2),2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3\r(2),2)，2＋\f(3\r(2),2))).14分熱點(diǎn)3與直線、圓有關(guān)的函數(shù)建模問(wèn)題(答題模板)與直線、圓有關(guān)的函數(shù)建模問(wèn)題也是近幾年的一個(gè)高考亮點(diǎn)，2014年江蘇省第18題曾經(jīng)考查過(guò)，主要考查學(xué)生運(yùn)用直線、圓的知識(shí)及坐標(biāo)法的思想解決問(wèn)題．(本小題滿分14分)(2017·南京鹽城一模)如圖2所示，A，B是兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站，B在A的正東方向16千米處，AB的南面為居民生活區(qū).為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB的北面建一個(gè)垃圾發(fā)電廠P，垃圾發(fā)電廠P的選址擬滿足以下兩個(gè)要求(A，B，P可看成三個(gè)點(diǎn))：①垃圾發(fā)電廠到兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比，比例系數(shù)相同；②垃圾發(fā)電廠應(yīng)盡量遠(yuǎn)離居民區(qū)(這里參考的指標(biāo)是點(diǎn)P到直線AB的距離要盡可能大).現(xiàn)估測(cè)得A，B兩個(gè)中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別約為30噸和50噸，問(wèn)垃圾發(fā)電廠該如何選址才能同時(shí)滿足上述要求？【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172256】圖2[解]以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．則A(－8,0)，B(8,0)．由條件①，得eq\f(PA,PB)＝eq\f(50,30)＝eq\f(5,3).5分設(shè)P(x，y)(y>0)，則3eq\r(x＋82＋y2)＝5eq\r(x－82＋y2)，10分化簡(jiǎn)得(x－17)2＋y2＝152(y>0)，即點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(17,0)為圓心、15為半徑的圓位于x軸上方的半圓.12分則當(dāng)x＝17時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離最大，最大值為15千米．所以點(diǎn)P的選址應(yīng)滿足在上述坐標(biāo)系中其坐標(biāo)為(17,15)即可.14分[答題模板]第1步建系：以線段AB為x軸，其中垂線為y軸建系．第2步建等量關(guān)系：以題設(shè)條件為依托，把文字語(yǔ)言代數(shù)化，數(shù)量化．第3步解模：利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解第2步中的等量關(guān)系，做到等價(jià)變形．第4步回扣主題：把數(shù)學(xué)結(jié)果實(shí)際問(wèn)題化．第5步反思總結(jié)：從第1步到第4步反思一遍，看有無(wú)漏點(diǎn)，錯(cuò)點(diǎn)．[溫馨提示]1.該類問(wèn)題以實(shí)際問(wèn)題為載體，重在考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，求解的關(guān)鍵是如何把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型化．2．注意實(shí)際問(wèn)題隱含的條件、范圍等信息．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]一條形如斜L型的鐵路線MON在經(jīng)過(guò)某城市O時(shí)轉(zhuǎn)彎而改變方向，測(cè)得tan∠MON＝－3，因市內(nèi)不準(zhǔn)建站，故考慮在郊區(qū)A，B處分別建設(shè)東車站與北車站，其中東車站A建于鐵路OM上，且OA＝6km，北車站B建于鐵路ON上，同時(shí)在兩站之間建設(shè)一條貨運(yùn)公路，使直線AB經(jīng)過(guò)貨物中轉(zhuǎn)站Q，已知Q站與鐵路線OM，ON的垂直距離分別為2km，eq\f(7\r(10),5)km.現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OM為x軸的正半軸，建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系．圖3(1)若一貨運(yùn)汽車以36eq\r(2)km/h的速度從車站A開往車站B，不計(jì)途中裝卸貨物時(shí)間，則需多長(zhǎng)時(shí)間？(2)若在中轉(zhuǎn)站Q的正北方向6km有一個(gè)工廠P，為了節(jié)省開支，產(chǎn)品不經(jīng)中轉(zhuǎn)站而運(yùn)至公路上C處，讓貨車直接運(yùn)走，試確定點(diǎn)C的最佳位置．[解](1)由已知得A(6,0)，直線ON的方程為y＝－3x，設(shè)Q(x0,2)(x0>0)，由eq\f(|3x0＋2|,\r(10))＝eq\f(7\r(10),5)及x0>0得x0＝4，∴Q(4,2).5分∴直線AQ的方程為y＝－(x－6)，即x＋y－6＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－3x，,x＋y－6＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝9，))即B(－3,9)，∴AB＝eq\r(－3－62＋92)＝9eq\r(2)，從而t＝eq\f(9\r(2),36\r(2))＝eq\f(1,4)h.即貨運(yùn)汽車需要15分鐘時(shí)間.8分(2)點(diǎn)P到直線AB的垂直距離最近，則垂足為C.由(1)知直線AB的方程為x＋y－6＝0，12分∵P(4,8)，則直線PC的方程為x－y＋4＝0，聯(lián)立上述兩式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5，))即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,5).16分熱點(diǎn)探究訓(xùn)練(五)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1．一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172257】－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)[由已知，得點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2，－3)，由入射光線與反射光線的對(duì)稱性，知反射光線一定過(guò)點(diǎn)(2，－3)．設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切，則有d＝eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).]2．若圓x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0關(guān)于直線y＝x＋2b成軸對(duì)稱圖形，則a－b(－∞，4)[圓的方程可變?yōu)?x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a可知圓心(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.∵圓關(guān)于直線y＝x＋2b對(duì)稱，∴點(diǎn)(1，－3)在直線上，則b＝－2.∴a－b＝2＋a<4.]3．已知m，n為正整數(shù)，且直線2x＋(n－1)y－2＝0與直線mx＋ny＋3＝0互相平行，則2m＋n9[直線2x＋(n－1)y－2＝0與直線mx＋ny＋3＝0互相平行，∴2n＝m(n－1)，∴m＋2n＝mn，又m>0，n>0，得eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝1.∴2m＋n＝(2m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)＋\f(1,n)))＝5＋eq\f(2n,m)＋eq\f(2m,n)≥5＋2eq\r(\f(2n,m)·\f(2m,n))＝9.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2n,m)＝eq\f(2m,n)時(shí)取等號(hào)．∴2m＋n的最小值為9.]4．過(guò)點(diǎn)P(－eq\r(3)，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))[因l與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則l的斜率存在，設(shè)斜率為k，所以直線l的方程為y＋1＝k(x＋eq\r(3))，即kx－y＋eq\r(3)k－1＝0，則圓心到l的距離d＝eq\f(|\r(3)k－1|,\r(1＋k2)).依題意，得eq\f(|\r(3)k－1|,\r(1＋k2))≤1，解得0≤k≤eq\r(3).故直線l的傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).]5．若圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有兩點(diǎn)到直線2x＋y＋c＝0(c>0)的距離等于1，則c的取值范圍為________．(eq\r(5)，3eq\r(5))[圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圓心為(1，－2)，半徑r＝2，要使圓上恰有兩點(diǎn)到直線2x＋y＋c＝0(c>0)的距離為1，則1<eq\f(|2－2＋c|,\r(4＋1))<3，解得eq\r(5)<c<3eq\r(5)或－3eq\r(5)<c<－eq\r(5)，又c>0，故c的取值范圍為(eq\r(5)，3eq\r(5))．]6．過(guò)點(diǎn)M(1,2)的直線l與圓C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，直線l的方程為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172258】x－2y＋3＝0[當(dāng)CM⊥l，即弦長(zhǎng)最短時(shí)，∠ACB最小，kCM＝－2，∴kl·kCM＝－1，∴kl＝eq\f(1,2)，∴l(xiāng)的方程為：x－2y＋3＝0.]7．在圓x2＋y2＝4上與直線l：4x＋3y－12＝0的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(6,5)))[過(guò)圓(0,0)與直線l垂直的直線方程為3x－4y＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝0，,x2＋y2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(6,5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(8,5)，,y＝－\f(6,5).))結(jié)合圖象(圖略)可知所求點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(6,5))).]8．已知兩點(diǎn)A(－1,0)，B(0,2)，點(diǎn)P是圓(x－1)2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，則△PAB面積的最大值與最小值分別是________．2＋eq\f(\r(5),2)，2－eq\f(\r(5),2)[如圖，圓心(1,0)到直線AB：2x－y＋2＝0的距離為d＝eq\f(4,\r(5))，故圓上的點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值是eq\f(4,\r(5))＋1，最小值是eq\f(4,\r(5))－1，又AB＝eq\r(5)，故△PAB面積的最大值和最小值分別是2＋eq\f(\r(5),2)，2－eq\f(\r(5),2).]9．若圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，則ab的最大值為________．2[圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．化為：(x－a)2＋y2＝9，圓心坐標(biāo)為(a,0)，半徑為3.圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化為x2＋(y＋b)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－b)，半徑為1.∵圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，∴eq\r(a2＋b2)＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤eq\f(1,2)(a2＋b2)＝2.∴ab的最大值為2.]10．(2017·蘇州模擬)設(shè)曲線C的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直線l的方程為x－3y＋2＝0，則曲線上的點(diǎn)到直線l的距離為eq\f(7\r(10),10)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．2[由(x－2)2＋(y＋1)2＝9，得圓心坐標(biāo)為(2，－1)，半徑r＝3，圓心到直線l的距離d＝eq\f(|2＋3＋2|,\r(1＋－32))＝eq\f(7,\r(10))＝eq\f(7\r(10),10).要使曲線上的點(diǎn)到直線l的距離為eq\f(7\r(10),10)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直徑上，故有兩個(gè)點(diǎn)．]二、解答題11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)．記過(guò)三個(gè)交點(diǎn)的圓為圓C.(1)求圓C的方程；(2)圓C是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(與b的取值無(wú)關(guān))？證明你的結(jié)論.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172259】[解](1)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個(gè)方程，故D＝2，F(xiàn)＝b；令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一個(gè)根為b，代入得E＝－b－1，所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(2)圓C必過(guò)定點(diǎn)(0,1)，(－2,1)．證明如下：原方程轉(zhuǎn)化為(x2＋y2＋2x－y)＋b(1－y)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－y＝0，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))12．(2017·南京鹽城二模)如圖4，某城市有一塊半徑為1(單位：百米)的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路．最初規(guī)劃在拐角處(圖中陰影部分)只有一塊綠化地，后來(lái)有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路．規(guī)劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB.圖4問(wèn)：A，B兩點(diǎn)應(yīng)選在何處可使得小道AB最短？[解]如圖，分別由兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)A(a,0)，B(0，b)(0＜a＜1,0＜b＜1)，則直線AB的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0.因?yàn)锳B與圓C相切，所以eq\f(|b＋a－ab|,\r(b2＋a2))＝1.化簡(jiǎn)得ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2.因此AB＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(a＋b2－2ab)＝eq\r(a＋b2－4a＋b＋4)＝eq\r(a＋b－22).因?yàn)?＜a＜1,0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2，于是AB＝2－(a＋b)．又ab＝2(a＋b)－2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，解得0＜a＋b≤4－2eq\r(2)或a＋b≥4＋2eq\r(2).因?yàn)?＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－2eq\r(2)，所以AB＝2－(a＋b)≥2－(4－2eq\r(2))＝2eq\r(2)－2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2－eq\r(2)時(shí)取等號(hào)，所以AB的最小值為2eq\r(2)－2，此時(shí)a＝b＝2－eq\r(2).即當(dāng)A，B兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為2－eq\r(2)百米/時(shí)，小道AB最短．B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1．(2017·無(wú)錫模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋(y－3)2＝2，點(diǎn)A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的取值范圍是________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(14),3)，2\r(2)))[設(shè)∠PCA＝θ，所以PQ＝2eq\r(2)sinθ.又cosθ＝eq\f(\r(2),AC)，AC∈[3，＋∞)，所以cosθ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),3)))，所以cos2θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,9)))，sin2θ＝1－cos2θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，1))，所以sinθ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),3)，1))，所以PQ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(14),3)，2\r(2))).]2．已知點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,y≥x，,x≥1，))過(guò)點(diǎn)P的直線l與圓C：x2＋y2＝14相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的最小值為__________．4[作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．要使弦AB最短，只需弦心距最大，根據(jù)圖形知點(diǎn)P(1,3)到圓心的距離最大，則OP＝eq\r(10)，圓的半徑為eq\r(14).∴ABmin＝2eq\r(r2－OP2)＝2eq\r(14－10)＝4.]3．(2017·連云港、徐州、淮安、宿遷四市一調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－3,4)，B(9,0)，若C，D分別為線段OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AC＝BD.圖5(1)若AC＝4，求直線CD的方程；(2)證明：△OCD的外接圓恒過(guò)定點(diǎn)(異于原點(diǎn)O)．[解](1)因?yàn)锳(－3,4)，所以O(shè)A＝eq\r(－32＋42)＝5，又因?yàn)锳C＝4，所以O(shè)C＝1，所以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，由BD＝4，得D(5,0)，所以直線CD的斜率為eq\f(0－\f(4,5),5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))))＝－eq\f(1,7)，所以直線CD的方程為y＝－eq\f(1,7)(x－5)，即x＋7y－5＝0.(2)證明：設(shè)C(－3m,4m)(0<m≤1)，則OC＝則AC＝OA－OC＝5－5m，因?yàn)锳C＝BD，所以O(shè)D＝OB－BD＝5m＋4，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為(5m＋4,0)，又設(shè)△OCD的外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則有e