2023年高考數(shù)學一輪復習習題：第八章第2節(jié)　空間幾何體的表面積和體積

第2節(jié)空間幾何體的表面積和體積

考綱要求了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.

知識分類落實回扣知識?夯實基礎

知識梳理

1.多面體的表（側(cè)）面積

多面體的各個面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與

底面面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

77?

/`

側(cè)面展開圖2昌/?j?//2τ∏?

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2兀/7STOW=πr∕S圓臺側(cè)=π(rι+n)/

3.空間幾何體的表面積與體積公式

幾何小表面積體積

柱體

S表面積=S例+2S底V=S^h

（棱柱和圓柱）

錐體

V=∣S?Λ

S表面枳=S（W+S底

（棱錐和圓錐）

臺體

V=；(S上+Sκ+y∣S1.5?)h

S表面積=S側(cè)+S上+S下

（棱臺和圓臺）

-4^^'-

球S=4πR2V=^πR3

?—常用結(jié)論與微點提醒

1.正方體與球的切、接常用結(jié)論正方體的棱長為a,球的半徑為R

（1）若球為正方體的外接球，則2R=√54;

（2）若球為正方體的內(nèi)切球，則2R=α;

（3）若球與正方體的各棱相切，則2/?=血&

2.長方體的共頂點的三條棱長分別為α,h,c,外接球的半徑為R,則2R=7足+F+c2.

3.正四面體的外接球的半徑R=乎”，內(nèi)切球的半徑r=*α,其半徑R：r=3：l（α為該正

四面體的棱長）.

診斷自測

?■思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)錐體的體積等于底面面積與高之積.()

(2)兩個球的體積之比等于它們的半徑比的平方.()

(3)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.()

(4)已知球。的半徑為凡其內(nèi)接正方體的邊長為“,則R=坐外()

答案(I)X(2)×(3)√(4)√

解析(1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確.

(2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確.

〉教材衍化

2.已知圓錐的表面積等于12πcmz,其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()

A.1cmB.2cm

3

C.3cmD.2Cm

答案B

解析設圓錐的底面圓的半徑為r,母線長為/,因為側(cè)面展開圖是一個半圓，所以兀/=2”,

即∕=2r,所以πτ2+τrH=πr2+7tr?2r=3πr2=127r,解得r=2.

3.如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下

的幾何體體積的比為.

答案1：47

解析設長方體的相鄰三條棱長分別為α,b,c,它截出棱錐的體積為0=；XBX)X3義

5=表4bc,剩下的幾何體的體積V2=abc—^abc=^α%c.所以V∣:V2=\:47.

＞考題體驗

4.(2020.天津卷)若棱長為2小的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()

A.12πB.24πC.36πD.144π

答案C

解析設球的半徑為R,由題意知球的直徑2R=-(2小y+(2√5)2+(2√5)2,得R=3,該球

的表面積S=4TΓR2=36兀.故選C.

5.（2020?全國III卷）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+4√2B.4+4√2

C.6+2√3D.4+2√3

答案C

解析由三視圖知，該幾何體為從同一點出發(fā)的三條棱兩兩垂直的三棱錐P-ABC,其中PA

，平面ABC,ABLAC,AB=AC=AP=2,所以PB=PC=BC=2巾,故其表面積S=SAMB

+5Δ∕?C÷5?Λβc+SΔPBC=35ΔΛIB+SΔPBC=3×(IX2X2)+^X2Λ∕^XX^^=6+2小.故選

C.

6.（2020?浙江卷）已知圓錐的側(cè)面積（單位：cπ?）為2兀，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這

個圓錐的底面半徑（單位：cm）是

答案1

解析如圖，設圓錐的母線長為/,底面半徑為r,則圓錐的側(cè)面積S制=πr∕=2π,即r?∕=2.

由于側(cè)面展開圖為半圓,

可知亍t∕2=2π,可得/=2,

因此r=1.

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一空間幾何體的表面積與側(cè)面積自主演練

1.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。ι,。2,過直線0102的平面截該圓柱所得的截面

是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12√2πB.12πC.8-?∕2πD.10π

答案B

解析由題意知，圓柱的軸截面是一個面積為8的正方形，則圓柱的高與底面直徑均為2√1

設圓柱的底面半徑為r,則2r=2也，得r=√l

所以圓柱的表面積卷汕兀乂豆乂兀+兀=兀.

SlH=2∕+2π=2π（√^+226=4812

2.（2020.北京卷）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為

（）

m□

H-I→H-1-H

正視圖惻視圖

俯視圖

A.6+√3B.6+2√3

C.12+√3D.12+2√3

答案D

解析由三視圖知該幾何體為正棱柱，且底面是邊長為2的正三角形，高為2,則表面積為

S=2S底+Sw∣=2X坐X22+3X22=2√5+12.故選D.

3.（2021.成都診斷）如圖，四面體各個面都是邊長為1的正三角形，其三個頂點在一個圓柱

的下底面圓周上，另一個頂點是上底面圓心,圓柱的側(cè)面積是（）

A?SB.叫C,平兀D,冬

答案C

解析如圖所示，過點P作PEL平面ABC,E為垂足，點E為等邊三角形ABC的中心,

連接AE并延長，交BC于點D

H

AE=^ADfAO=半，

??AE=gX?—?,

.,.PEKa2_AE2=普.

√3

設圓柱底面半徑為r,則r=AE=竽，

/.圓柱的側(cè)面積S=2πr?PE=2τrX坐X率=打譬.

感悟升華空間幾何體表面積的求法

(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應用，并弄清底面半徑、母線長與對

應側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.

(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

(3)以三視圖為載體的需確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.

考點二空間幾何體的體積多維探究

角度1簡單幾何體的體積

【例1】(1)祖唯是我國南北朝時代的偉大科學家，他提出的“寨勢既同，則積不容異”稱

為祖晅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式y(tǒng)∣"*=s∕j,其中S是柱體的底面積，〃是

柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該柱體的體積(單位：cm3)是()

俯視圖

A.158B.162C.182D.324

(2)(2019?天津卷)已知四棱錐的底面是邊長為限的正方形，側(cè)棱長均為小.若圓柱的一個底面

的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體

積為.

答案(I)B(2)J

解析(1)由三視圖可知，該柱體是一個直五棱柱，如圖，棱柱的高為6,底面可以看作由兩

個直角梯形組合而成，其中一個上底為4,下底為6,高為3,另一個的上底為2,下底為6,

高為3.

4

則底面面積S=-^-X3+=-X3=27.

因此，該柱體的體積U=27X6=162.

(2)由題意知圓柱的高恰為四棱錐的高的一半，圓柱的底面直徑恰為四棱錐的底面正方形對

角線的一半.因為四棱錐的底面正方形的邊長為戲，所以底面正方形對角線長為2,所以圓

柱的底面半徑為去

又因為四棱錐的側(cè)棱長均為小，所以四棱錐的高為N(小A—J=2,所以圓柱的高為1.

所以圓柱的體積V=π({j2×l≈J.

感悟升華1.求規(guī)則幾何體的體積，主要利用“直接法”代入體積公式計算.第(2)題求解的

關(guān)鍵在于兩點：(1)圓柱的高恰為圓錐高的一半；(2)圓柱的底面圓的直徑恰是四棱錐底面正

方形對角線的一半.

2.若已知三視圖求體積，應注意三視圖中的垂直關(guān)系在幾何體中的位置，確定幾何體中的

線面垂直等關(guān)系，進而利用公式求解.

【訓練1】⑴(2019?江蘇卷)如圖，長方體ABCD-ABlelDl的體積是120,E為Cel的中

點，則三棱錐E-BCD的體積是.

(2)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

答案⑴10(2)?pr

解析(1)設長方體中BC=mCD=b,CCι=c,貝IJahC=I20,

VE-BCD=整于b×1c=τabc=10.

（2）由三視圖可知，該幾何體是一個圓柱挖去了一個同底等高的圓錐，其體積為πX22χ2

—∣π×22×2=?yπ.

角度2不規(guī)則幾何體的體積

【例2】如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABC。是邊長為1的正方形，且AAOE,

△BCF均為正三角形，EF//AB,EF=2,則該多面體的體積為

答案當

解析如圖，分別過點4,8作EF的垂線，垂足分別為G,H,連接。G,CH.

則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱.

依題意，三棱錐E-ADG的高EG==直三棱柱AGO-BHC的高AB=I.

則AG=NAE2-EG2=?JjQ>=坐

取4。的中點M,則MG=勺，

所以SZkAGO=EX?，

?,?V多面體=VE-AOG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG÷VAGD-BHC

UX坐只χ2+(XI=當

感悟升華1.求不規(guī)則幾何體的體積：當一個幾何體的形狀不規(guī)則時，常通過分割或者補形

的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€或幾個規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計算.

2.本題利用“割”的方法把幾何體分割成易求體積的三棱錐、三棱柱（也可分割成四棱

錐）.另外，經(jīng)?？紤]把棱錐補成棱柱，把臺體補成錐體，把三棱錐補成四棱錐，把三棱柱

補成四棱柱，把不規(guī)則幾何體補成規(guī)則幾何體，補一個同樣的幾何體等.

【訓練2]（2020?浙江卷）某幾何體的三視圖（單位：Cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位:

Cm3）是（）

14

A.∣B.^yC.3D.6

答案A

解析由三視圖可知，該幾何體是由一個三棱柱和一個三棱錐組成的組合體，它們的公共面

是等腰直角三角形，如圖所示.

由三視圖知，三棱柱ABC-A'

三棱錐「一A'B'C的高為1,

又S^ABC=2X2X1=1,

所以該幾何體體積V=V≤K?P-A,BC+vABC-A'BC

=∣×1×1+1×2=^(cm3).

考點三多面體與球的切、接問題典例遷移

【例31(經(jīng)典母題)(2021?長沙檢測)在封閉的直三棱柱ABC—4BJCl內(nèi)有一個體積為丫的

球.AB±BC,AB=6,BC=S,A4∣=3,則丫的最大值是.

9

答案7π

解析由AB_LBC,AB=6,BC=S,得AC=10.

要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側(cè)面相切，設底面AABC

的內(nèi)切圓的半徑為r.

則T><6X8=Tx(6+8+10)?r,所以r=2.

2r=4>3,不合題意.

球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大.

3

由2R=3,即R=/

z

故球的最大體積V=∣πR3=*t.

【遷移】本例中若將“直三棱柱”改為“棱長為4的正方體”，則此正方體外接球和內(nèi)切

球的體積各是多少？

解由題意可知，此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內(nèi)切球

的直徑.設該正方體外接球的半徑為R,內(nèi)切球的半徑為匚

又正方體的棱長為4,故其體對角線長為4小，

從而V漳玳=泰K'=^πX（2√3）5≈32√3π,

,,4a4-a32兀

V內(nèi)切林=WTIr=WTtX2'=-?-.

感悟升華1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是

作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、”接

點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.

2.若球面上四點P,A,B,C中朋，PB,PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可

構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.

【訓練3】（1）（2020?全國Ill卷）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最

大的球的體積為.

（2）（2021?濟南質(zhì)檢）己知球。是三棱錐P—ABC的外接球，PA=AB=PB=AC=I,CP=2√2,

點。是PB的中點，且CD=幣,則球。的表面積為（）

,28πC14π

A.亍B.—

28√∑lπ16兀

C.D.

273

答案⑴華(2)A

解析（1）當球為圓錐的內(nèi)切球時，球的半徑最大.

如圖為圓錐內(nèi)球半徑最大時的軸截面圖.

其中球心為O,設其半徑為r,AC=3,O∣C=I,

22

：.AOi=y∣AC~OlC=2y∣2.

<OO[=OM=r,AO=AOi—OoI=2y∣2—r,

又TΔAM0^?Λ01C,

.OMAO即￡=《，，解得r=喙?

,,砧=Xe

該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積V=:兀X閨3=等.

(2)依題意，由以=AC=2,CP=2√2,得AP_LAC.

連接AO,由點。是P8的中點且∕?=AB=PB=2,得AD=yβ,

又CD=巾,AC=I,可知AO_LAC,

又APCAO=A,APU平面RW,4。U平面∕?B,所以AeI.平面RW.

以aaiB為底面，AC為側(cè)棱補成一個直三棱柱，則球O是該三棱柱的外接球，球心。到底

面△/?B的距離J=∣AC=1.

PA2

由正弦定理得ABAB的外接圓半徑八

-2sin60O-√3,

所以球。

oo

故球O的表面積S=4πR2=弩7.r

核心素養(yǎng)/空間幾何體的實際應用

“強調(diào)應用”也是高考卷命題的指導思想，體現(xiàn)了新課標的“在玩中學，在學中思，在思中

得”的嶄新理念，既有利于培養(yǎng)考生的探究意識和創(chuàng)新精神，又能夠很好地提升考生的數(shù)學

綜合素養(yǎng)，因而成為高考試卷中的一道亮麗的風景線.如全國HI卷第16題是以學生到工廠

勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型為背景創(chuàng)設的與空間幾何體的體積有關(guān)的問題.考查

運用空間幾何求解實際問題的能力.

【典例】(2019?全國Ill卷)學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模

型為長方體A8CD-A∣5GO∣挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體.其中。為長方體的

中心，E,F,G,“分別為所在棱的中點，AB=BC=Gcm,AAl=4cm.3D打印所用原料密

度為0.9g∕c∏?,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

答案118.8

解析由題意得，四棱錐。一EFGH的底面積為4X6—4xgx2X3=12(cm2),其高為點。

到底面E/G，的距離，為3cm,則此四棱錐的體積為H=；X12X3=12(cm3).

3

又長方體ABCo—4山|GQl的體積為V2=4×6×6=144(cm),

所以該模型的體積V=V2—Vl=I44-12=132(cn?),

因此模型所需原材料的質(zhì)量為0.9X132=118.8(g).

素養(yǎng)升華1.題目以“3D打印”技術(shù)制作模型為背景考查數(shù)學應用，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)

新意識.

2.掌握長方體、四棱錐的結(jié)構(gòu)與體積公式是解題的基礎，題目突出數(shù)學建模，直觀想象與

數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

【訓練】(2021?濰坊聯(lián)考)如圖所示，直三棱柱ABC-AlBiCl是一塊石材，測量得NABC

=90。，AB=6,BC=8,AAl=I3.若將該石材切削、打磨，加工成幾個大小相同的健身手球，

則一個加工所得的健身手球的最大體積及此時加工成的健身手球的個數(shù)分別為()

AI

32兀,C9TtC

Aa.-y,4B.3

32π

C.6π.4D.-?-,3

答案D

解析依題意知，當健身手球與直三棱柱的三個側(cè)面均相切時，健身手球的體積最大.

易知AC=y∣AB2+BC2=10.

設健身手球的最大半徑為R,

則g><(6+8+10)XR=gx6X8,解得R=2,

則健身手球的最大直徑為4.

因為A4∣=13,所以最多可加工3個健身手球.

于是一個健身手球的最大體積V=∣4πΛ3=∣4π×23=23y9π.

課后鞏固作業(yè)分層訓練?提升能力

A級基礎鞏固

一、選擇題

1.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

32

A.12πB.奇■兀C.8πD.4兀

答案A

解析設正方體的棱長為α,則/=8,解得a=2.設球的半徑為R,貝∣J2R=√5α,即R=√l

所以球的表面積5=4π∕？2=12π.

2.（2021?鄭州調(diào)研）現(xiàn)有同底等高的圓錐和圓柱，已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，

則圓錐的側(cè)面積為（）

A.3πB.?C.D.y∣5π

答案D

解析設底面圓的半徑為R,圓柱的高為力，

依題意2R=h=2,.?.R=1.

二圓錐的母線l=y∣h2+R2=y∣21+1=y[5,

因此S圓錐例=TLR/=1Tt=

3.如圖所示，正三棱柱ABC—4SC的底面邊長為2,側(cè)棱長為√L。為BC中點，則三棱

錐A—8。G的體積為（）

3

A.3B.2

C.1D.坐

答案C

解析由題意可知，AO_L平面3QCι,

即AO為三棱錐A—8。G的高，且40=竽X2=√5,

易求得SABioci=T><2X√5=√5,

所以VA-B∣DCI=3×Λ∕3×??∕3=1.

4.已知直三棱柱ΛβC-AιBιC∣的6個頂點都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,ABLAC,

AAi=12,則球0的半徑為（）

A.B.2-?[lQC.?D.3Λ∕TO

答案C

解析將直三棱柱補形為長方體ABEC-ABlE∣G,

則球O是長方體ABfC-AlBiF1C,的外接球.

二體對角線BCI的長為球。的直徑.

___________________14

因此2Λ≈√32+42+122=13,則R=?y.

5.己知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的

體積為（）

C3兀一兀C兀

A.πB?不C.2D?W

答案B

解析如圖畫出圓柱的軸截面A8C。，。為球心.球半徑R=OA=I,球心到底面圓的距離

為OM=

二底面圓半徑r=y∣OA2-OM2=^,

故圓柱體積V=TrM√z=7τ（雪＞χI=竽.

6.（2020.全國Il卷）已知aABC是面積為乎的等邊三角形，且其頂點都在球。的球面上.若

球。的表面積為16兀，則O到平面ABC的距離為（）

A.??∕3B.IC.1D.坐

答案C

解析如圖所示，過球心。作OOi_L平面ABC,則Oi為等邊aABC的中心.

設aABC的邊長為",則坐層=與§,解得。=3（負值舍去）,

二ON=^X坐X3=小.

設球。的半徑為廣，則由4兀r2=16τι,得r=2,即04=2.

在RtZ?00∣A中，OOl=7。42-04=1,

即O到平面ABC的距離為1.

9

7.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是半徑為r的圓，若該兒何體的體積為

O

則它的表面積是（）

A9CC-45n54

A.］兀B.9πC.Z-兀D.N-兀

答案C

解析由三視圖可知該幾何體是一個圓柱挖去了一個半徑等于圓柱底面半徑的半球體，其中

圓柱的高等于半球的半徑r,所以該幾何體的體積v=π∕2×r-∣×∣πr1=∣πr3=∣π,/.r3=γ,

3I,,945

又知r>0,.」=1,.?.該幾何體的表面積S=7u?2+2πrXr+2X47∏2=5"~=5πXι=q^π.

8.（2021?安慶調(diào)研）已知在四面體PABC中，用=4,BC=2√6,PB=PC=9,平面

PBC,則四面體∕?BC的外接球的表面積是（）

A.160πB.128πC.40πD.32π

答案C

解析VPβ2+PC2=12+12=24=BC2,.?PBLPC,

又BA_L平面P8C,.'.PALPB,PALPC,

即∕?,PB,PC兩兩垂直，以以，PB,PC為從同一頂點出發(fā)的三條棱補成長方體，所以

該長方體的體對角線長為?√∕?2+PB2+pc2=V12+12+16=2d?,

故該四面體的外接球半徑為，而.

于是四面體P-ABC的外接球的表面積是4π（√Iδ）2=40π.

二、填空題

9.如圖，在圓柱0。2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱0。2的

體積為匕，球。的體積為丫2,則行的值是_______.

V2

3

答案2

解析設圓柱內(nèi)切球的半徑為R,

則由題設可得圓柱0∣02的底面圓的半徑為尺高為2R,

,,VπR2-2R3

F1K?

10.如圖，已知正方體ABCD-AtBlCiD↑的棱長為1,則四棱錐A1-BB1DiP的體積為

箕案?

U殺3

解析因為正方體ABCC-A/CQl的棱長為1,

所以矩形881。。的長和寬分別為√5,1,

因為四棱錐Ai-BBiDiD的高是正方形A1β1C,D1面對角線長的一半，即為坐.

故VJS?ftAl-BBIDlD=β×1×√2×"^zzzβ?

11.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cπ?）為

答案6

解析由三視圖可知，該幾何體是一個底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V

=∣×（l+2）×2×2≈6.

12.（2021?太原質(zhì)檢）已知圓錐的頂點為S,底面圓周上的兩點A、B滿足ASAB為等邊三角

形，且面積為4小，又知圓錐軸截面的面積為8,則圓錐的側(cè)面積為.

答案8√2π

解析設圓錐的母線長為/,由ASAB為等邊三角形，且面積為4√5,所以吳訪W=4√5,

解得1=4；

又設圓錐底面半徑為r,高