2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第八章立體幾何初步8-1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖

,最新考綱,

1.認(rèn)識(shí)柱、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單

物體的結(jié)構(gòu).

2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方形、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖，能識(shí)

別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.

3.會(huì)用平行投影方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形

式.

?考向預(yù)測(cè)?

考情分析：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、空間幾何體的三視圖與直觀圖仍會(huì)是高考的熱點(diǎn)，多結(jié)

合幾何體的體積和表面積的計(jì)算進(jìn)行考查.命題形式主要以選擇題、填空題為主.

學(xué)科素養(yǎng)：通過三視圖的識(shí)別及應(yīng)用考查直觀想象的核心素養(yǎng).

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端

一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱______??_______________?_______________??______

??

D'

卷

圖形

ABABAB

底面互相一且一多邊形互相一

相交于一J

側(cè)棱延長(zhǎng)線交于____

—但不一定相等

側(cè)面

形狀———

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

?

您

圖形

II

I

互相平行且相

母線相交于一延長(zhǎng)線交于—

等，于底面

軸截面全等的_全等的_全等的—____

側(cè)面

展開圖———

［提醒］臺(tái)體是由錐體截得的，注意截面與底面平行且側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn).

3.直觀圖

(1)畫法：常用.

(2)規(guī)則：

①原圖形中X軸，y軸，z軸兩兩垂直，直觀圖中，V軸，V軸的夾角為45。(或135。)，/

軸與V軸(或了軸).

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍.平行于X軸和Z軸的線段在直觀

圖中保持原長(zhǎng)度，平行于y軸的線段的長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼?

4.三視圖

(1)幾何體的三視圖包括視圖、視圖、視圖，分別是從幾何體的

正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

(2)三視圖的畫法

①基本要求：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等.

②畫法規(guī)則：一樣高，一樣長(zhǎng)，一樣寬，看不到的線畫虛線.

二、必明3個(gè)常用結(jié)論

1.常見幾何體的三視圖類型及其幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)三視圖為三個(gè)三角形，一般對(duì)應(yīng)三棱錐；

(2)三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，一般對(duì)應(yīng)四棱錐；

(3)三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)圓，一般對(duì)應(yīng)圓錐；

(4)三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，一般對(duì)應(yīng)三棱柱；

(5)三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓，一般對(duì)應(yīng)圓柱.

2.斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”

坐標(biāo)軸的夾角改變，

(1)“三變《與V軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?/p>

的一半，圖形改變.

平行性不變，

(2)“三不變”［與1軸和Z軸平行的線段的長(zhǎng)度

不改變，相對(duì)位置不變.

3.原圖形與直觀圖面積的關(guān)系

按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形的面積的關(guān)系：(I)S直觀圖=fs峻留胎

4

(2)5is??≈2√r25直觀Rt

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“，”或"X").

(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()

(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()

(3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.()

(4)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱.()

(5)上下底面是兩個(gè)平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái).()

(二)教材改編

2.卜必修2?P8習(xí)題Tl改編］下列說法不正確的是（）

A.棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等

B.棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等

C.三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形

D.有的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等

3.［必修2?P8習(xí)題Tl改編］在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為（填寫所有正確

的序號(hào)）

⑤

（三）易錯(cuò)易混

正視圖

俯視圖

4.（三個(gè)視圖間的關(guān)系不清）將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的

幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為（）

5.（斜二測(cè)畫法的規(guī)則不清）利用斜二測(cè)畫法得到的：

①三角形的直觀圖一定是三角形；

②正方形的直觀圖一定是菱形；

③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；

④菱形的直觀圖一定是菱形.

以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是.

（四）走進(jìn)高考

6.∣2021?全國(guó)乙卷］以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，

組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫出符合要求

的一組答案即可）.

圖④圖⑤

提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征I基礎(chǔ)性］

1.下列結(jié)論正確的是（）

A.側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐

B.六條棱長(zhǎng)均相等的四面體是正四面體

C.有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

D.用一個(gè)平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺(tái)

2.下列說法中正確的是（）

①棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形；

②三棱柱的側(cè)面為三角形；

③四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面；

④棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)都相等.

A.①@B.①③C.②③D.②④

3.

［2020?全國(guó)卷I］埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱

錐.以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三

角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）

A√5-l,√5-l

A.-------rB.---

42

C√5+lC√5+l

C?------L）.---------

42

4.［2019?全國(guó)卷∏］中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多

為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖

1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)

稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此

正方體的棱長(zhǎng)為L(zhǎng)則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長(zhǎng)為.

圖1

反思感悟空間幾何體概念的辨析方法

1緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不］

也省變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加:

;線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定

反贏X通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一

J―/:個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可

考點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖［綜合性］

I例1］已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,那么AABC的直觀圖夕C的面積為

聽課筆記：

一題多變

若例1中將“正三角形44BC的邊長(zhǎng)為2”改為“正C的邊長(zhǎng)為2"，則AABC的

面積為.

反思感悟原圖與直觀圖中的“三變”與“三不變”

I坐標(biāo)軸的夾角改變

(1)“三變”與)軸平行的線段的長(zhǎng)度改變(減半)

I圖形改變

，平行性不變

(2)“三不變”<與j?軸平行的線段長(zhǎng)度不變

相對(duì)位置不變

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.以下關(guān)于斜二測(cè)直觀圖的結(jié)論，

①角的水平放置的直觀圖一定是角；

②相等的角在直觀圖中仍然相等；

③相等的線段在直觀圖中仍然相等；

④若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.OB.1C.2D.3

2.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來

的圖形是（）

HO)C

有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所示）,

NABC=45。，AB=AD^1,DCLBC,則這塊菜地的面積為.

考點(diǎn)三空間幾何體的三視圖［綜合性］

角度1已知幾何體，識(shí)別三視圖

［例2］如圖，四面體ABCZ）的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)（長(zhǎng)方體是虛擬圖形，起輔

助作用），則四面體ABCD的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是（用①②③④⑤⑥代表圖形）（）

A.①②⑥B.①②③

C.④⑤⑥D(zhuǎn).③④⑤

聽課筆記：

反思感悟已知幾何體，識(shí)別三視圖的步驟

(1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；

(2)根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖；

(3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個(gè)物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，

對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置.

角度2已知三視圖還原幾何體

[例3][2020?全國(guó)卷∏]如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正

視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為例，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為()

A.EB.FC.GD.H

聽課筆記：

反思感悟由三視圖確定幾何體的步驟

定底面根據(jù)俯視圖判斷出底面形狀'：

,0,________________

定棱及側(cè)面H根據(jù)正、側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)藍(lán)Z側(cè)面的薛征:

0

定形狀，注意三視圖中虛線和」薪變化,確定幾何體形狀:

_____________________\_______________________________________________________________________________f

角度3已知三視圖中的部分視圖，判斷其他視圖.

[例4](l)[2021?全國(guó)甲卷]

正視圖

在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G該正方體截去三棱錐A-EFG

后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

ABCD

（2）把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得平面ABD_L平面CBD,形成的

三棱錐C-AB。的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為（）

聽課筆記:

反思感悟由幾何體的部分視圖確定剩余視圖的方法

解決此類問題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找

其剩下的部分視圖的可能形式，當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入檢驗(yàn).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.[2022?山西省八校高三聯(lián)考]己知某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)

為2的正三角形,

俯視圖

A.2B.3√2

C.3D.2√2

2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最大面的面積是（）

H-2-H

第八章立體幾何初步

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖

積累必備知識(shí)

行

L平相等平行平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形

垂

直一點(diǎn)一點(diǎn)矩形等腰三角形等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)

2.α

闌:測(cè)畫法(垂直平行于坐標(biāo)軸不變一半

3.02)

4.證側(cè)俯⑵正側(cè)正俯側(cè)俯

三

、

L案

答

：(D×(2)×(3)√(4)X⑸X

2.解析：根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)不一定都相等.

答案：B

3.解析：由棱柱的定義可判斷③⑤屬于棱柱.

答案：③⑤

4.解析：由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖，如圖所示.則該

幾何體的側(cè)視圖為B.

答案：B

5.解析：由斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知①正確；②錯(cuò)誤，正方形的直觀圖是一般的平行四邊

形；③錯(cuò)誤，因?yàn)樾倍y(cè)畫法平行關(guān)系不變，所以等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；

而菱形的直觀圖也不一定是菱形，故④也錯(cuò)誤.

答案：1

6.解析：根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”及圖中數(shù)據(jù)，可知圖②③只能是側(cè)視圖，圖

④⑤只能是俯視圖，則組成某個(gè)三棱錐的三視圖，所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次是③④或

②⑤.若是③④，則原幾何體如圖1所示；若是②⑤，則原幾何體如圖2所示.

圖1

答案：③④（答案不唯一，②⑤也可）

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

1.解析：底面是等邊三角形，且各側(cè)面三角形全等，這樣的三棱錐才是正三棱錐，A錯(cuò)；

斜四棱柱也有可能兩個(gè)側(cè)面是矩形，所以C錯(cuò)；截面平行于底面時(shí)，底面與截面之間的部分

才叫圓臺(tái)，D錯(cuò).

答案：B

2.解析：由棱錐的定義可知，棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形，①正確；由棱錐的定義可知，

棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，②錯(cuò)誤；③正確；棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)可以相等，也可以不相等，但

各側(cè)棱必須有一個(gè)公共頂點(diǎn)，④錯(cuò)誤.故選B.

答案：B

3.解析：如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)BC=a,側(cè)面等腰三角形底邊上的高PM=/7,

則正四棱錐的高P。=∣h2-v,

.?.以IPoI為邊長(zhǎng)的正方形面積為h2--,

4

側(cè)面三角形面積為）兒

42

.*.4Λ2—2a〃-a?=0,

2

兩邊同除以“2可得娛）-2?^-l=0,

解得口=竽，

a4

又?d>o,.H=d.

aa4

答案：C

4.解析：依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個(gè)面都在正方體的

表面上，且該半正多面體的表面由18個(gè)正方形，8個(gè)正三角形組成，因此題中的半正多面體

共有26個(gè)面.注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個(gè)正八邊形，設(shè)題中的半正多面體的

棱長(zhǎng)為X,則爭(zhēng)+x+爭(zhēng)=1,解得x=√∑—1,故題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為√Σ—1.

答案：26V2—1

考點(diǎn)二

例1解析：如圖，圖①，圖②所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖.從圖②可知，A1B'=

AB=2,

0,CVoC=*S=OCSin45。4×X

所以S?A,β,c,=~A'B'?CD'=^^2X-^=-^.

一題多變

解析：如圖，圖①，圖②所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖.從圖②可知，4B=AE=2,

在aOTTC中，由正弦定理，得.°’，「尸筆,

s?nzO'A'C's?n45°

所以σc=≡^×2=√6.

所以aABC的高OC=2O'C=2瓜

所以S?Afic=∣×2×2√6=2√6.

答案：2√6

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：角的水平放置的直觀圖一定是角，①正確；相等的角在直觀圖中不一定相等,

例如在正方體ABCD-EFG。的直觀圖中/AOCW/D48,故②錯(cuò)誤；相等的線段在直觀圖中

不一定相等，例如在正方體ABCQ-EFG。的直觀圖中AC=?）。,故③錯(cuò)誤；若兩條線段平行，

則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行，故④正確.綜上所述，正確的個(gè)數(shù)為2.

答案：C

2.解析：由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為√Σ,所以原圖形為

平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)為2√Σ

答案：A

3.

解析：如圖，在直觀圖中，過點(diǎn)A作AELBC,垂足為E.

在RtZ?ABE中，AB=I,NABE=45。，：.BE=當(dāng).

而四邊形AEC。為矩形，AO=I,

AEC=AD=I,：.BC=BE+EC=—+\.

2

由此可還原原圖形如圖.

在原圖形中，A'D'=1,