2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第八章 8-6幾何法求空間角

§8.6幾何法求空間角

【考試要求】以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點(diǎn).理解異面直線所成角、直線

和平面所成角和二面角的定義，并會(huì)求值.

-落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.異面直線所成的角

(1)定義：已知兩條異面直線α,h,經(jīng)過空間任一點(diǎn)。分別作直線//a,h'//h,把直線

a'與Z√所成的銳比(或直角)叫做異面直線α與匕所成的角(或夾角).

⑵范圍：(0,f]-

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的螃所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的

角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是9(Γ;一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它

們所成的角是0°.

⑵范圍:0.5.

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①OG/；

②OAUa,OBCβ?

③OAL/,OBLl,則二面角a-IT的平面角是/AOA

(3)二面角的平面角α的范圍：[0,π].

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)若直線/1,/2與同一個(gè)平面所成的角相等，則∕∣“∕2?(X)

π

(2)異面直線所成角的范圍為［θ,2J?(×)

(3)如果平面ɑ〃平面ɑ∣,平面夕〃平面小，那么平面α與平面夕所成的二面角和平面內(nèi)與平

面向所成的二面角相等或互補(bǔ).(√)

TT

(4)線面角的范圍為0,2，二面角的范圍為［O,π］.(√)

【教材改編題1

1.如圖所示，在正方體ABCD-AIBeQl中，E,尸分別是A8,4。的中點(diǎn)，則異面直線BC

與EF所成角的大小為()

C.60oD.90°

答案C

解析連接B∣D∣,O∣C(圖略)，則BχDy//EF,故NDIBlC即為所求的角或其補(bǔ)角.又BQl

o

=β∣C=DlC,.?.Z?BQC為等邊三角形，ΛZD,B∣C=60.

2.如圖所示，AB是。。的直徑，%_1。0所在的平面，C是圓上一點(diǎn)，且乙4BC=30。，PA

=AB,則直線PC和平面ABC所成角的正切值為.

答案2

解析因?yàn)橐?，平面ABC,所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以NPCA即為PC

11PA

和平面ABC所成的角.在Rt中，因?yàn)锳C=5A8=7/汛所以tan/PCA=XK=2.

ZZ/1

3.如圖，在正方體ABCZ)—A'B'C'D1中:

①二面角D'一48一。的大小為

②二面角4一A8一。的大小為

答案①45。②90。

解析①在正方體ABCD-A1B'C1D'中，ABl.平面ADD'A',所以AB±AD',

AB±AD,因此ND'AO為二面角D1-AB—。的平面角.在Rt△￡>'DA中，ZD'AD=

45°,所以二面角。'-AB-O的大小為45。.

②因?yàn)锳Bj_平面AD￡)'4',所以ABlAA',因此NA'AO為二面角4'一48一力的平

面角，又NA'AD=90o,所以二面角A'—A3-。的大小為90。.

■探究核心題型

題型一異面直線所成的角

例1(1)在長(zhǎng)方體ABCD-A181Goi中，AB=BC=?,AA∣=√5,則異面直線Aol與Z)Bl所成

角的余弦值為()

答案C

解析如圖，連接BD1,交于0,取AB的中點(diǎn)M,連接。M,OM.易知。為BA的中

點(diǎn)，所以ADx//OM,則NM。。為異面直線AD1與DBl所成角或其補(bǔ)角.因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體

ABCD-43CQl中，AB=BC=I,AAι=√3,

AD∣=√AD2+DDT=2,

DM=-?JAD2+GA=坐,

DBI=√AB2+Af>2+BBτ=√5.

所以O(shè)Af=TAZ)I=1,OD=3DBi=坐,

于是在aDMO中，由余弦定理,

=亞

得

cos/MOQ=5，

2X1X專

即異面直線An與。Bl所成角的余弦值為坐.

延伸探究若將本例（1）中題干條件''A4=√5''變?yōu)?異面直線A山與AoI所成角的余弦值

9

為15”.試求A4的值.

解設(shè)Λ4ι=/,?ΛAB=BC=↑,

ΛA∣Cι=√2,48=BCI=W+1.

2

.z4rλ,AiB+BC]-A^

..cosZAlBCι2×A?B×BC?

r2+l+r2+l-29

-2×√Z2+l×?√∕2+l-1°,

解得f=3,則AAl=3.

（2）（2022?衡水檢測(cè)）如圖，在圓錐SO中，AB,CD為底面圓的兩條直徑，A8∩8=0,且

ABLCD,SO=OB=3,SE=%B,則異面直線SC與。E所成角的正切值為（）

迤近

AMcnD

a?2a-3J6LZ3

答案D

解析如圖，過點(diǎn)S作"〃OE,交AB于點(diǎn)F,連接CE則∕CSF（或其補(bǔ)角）為異面直線SC

與OE所成的角.

"：SE=^SB,.".SE=^BE.

又0B=3,.,.OF=^OB=I.

?'SO±OC,So=OC=3,

ΛSC=3√2.

,：SOA.OF,：.SF=√SC>2+OF2=√10.

,：OCVOF,：.CF=√10.

.?.在等腰ascF中,

【教師備選1

（2022?鄭州模擬）如圖，在直三棱柱ABC-AIBIG中,AC=BC=4,ACLBC,Cel=5,D,E

分別是AB,SG的中點(diǎn)，則異面直線BE與CZ）所成的角的余弦值為（）

答案C

解析如圖，取AICl的中點(diǎn)F,連接。F,EF,CF.

易知E尸是A4∣8ιCl的中位線，

所以EF∕∕A↑B↑且EF=^AiBl.

又A3〃4囪且AB=AIB。為AB的中點(diǎn)，

所以BD//AiB↑且BD=^A↑Bl,

所以EF//BD且EF=BD.

所以四邊形BoFE是平行四邊形，

所以DF//BE,

所以NQ）F就是異面直線BE與CO所成的角或其補(bǔ)角.

因?yàn)锳C=BC=4,AC±BC,CC,=5,D,E,F分別是A8,B1Ci,AICl的中點(diǎn),

所以C∣F=%ιG=2,

BtE=∕Cι=2且CD±AB.

由勾股定理得AB=］再不=4√5,

由勾股定理得CF=√藥，DF=BE=啊

在ACZ)P中，由余弦定理得

思維升華求異面直線所成的角的三個(gè)步驟

(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角.

(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角或其補(bǔ)角.

(3)三求：解三角形，求出所作的角.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2021?全國(guó)乙卷)在正方體ABCr)—4以CQl中，P為BQI的中點(diǎn)，則直線PB

與Aol所成的角為()

答案D

解析方法一如圖，連接GP,因?yàn)锳BCO-A∕∣CQ∣是正方體，且P為BIA的中點(diǎn)，所

以GP又ClPLBBi,所以CIP_L平面B山P.又BPU平面8∣BP,所以CIPJ_BP.連接

BCi,則AD↑∕∕BC↑,所以NPBG為直線PB與AD↑所成的角.設(shè)正方體ABCD-A↑B↑CiDt

的棱長(zhǎng)為2,則在RtaC∣PB中，ClP=消Dl=巾,BC1=2√2,SinNPBG=5云=],

TT

所以/PBG=不.

方法二

如圖所示，連接8G,AiB,AtP,PCi,則易知AQ所以直線PB與ADl所成的角等

于直線PB與BCl所成的角.根據(jù)P為正方形4B∣CιD∣的對(duì)角線BQl的中點(diǎn)，易知A∣,P,

Cl三點(diǎn)共線，且P為AIG的中點(diǎn).易知A∣B=8G=4G,所以4A∣8C∣為等邊三角形，所

以NAIBCl昔又P為4G的中點(diǎn)，所以可得NPBGK/4BG=全

(2)如圖，已知圓柱的軸截面A8B∣4是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，Cl是圓柱上底

面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為

答案√2

解析如圖，取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)。，連接C∣O,AD,

因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，

所以4O〃BC,

所以直線AG與AQ所成的角等于異面直線Ac與BC所成的角.

因?yàn)镃l是圓柱上底面弧4B∣的中點(diǎn)，

所以CQL圓柱下底面，所以CQLAD

因?yàn)閳A柱的軸截面ABBiAi是正方形，

所以CID=@AD,

所以直線AG與A。所成角的正切值為小，

所以異面直線AG與BC所成角的正切值為√Σ

題型二直線與平面所成的角

例2如圖，在長(zhǎng)方體4BCO-4B∣G。中，E,尸分別為BC,CCl的中點(diǎn)，AB=AD=2,

AAI=3.

(1)證明：EF〃平面4ADO|；

(2)求直線AC,與平面AiADDi所成角的正弦值.

⑴證明如圖，連接BC∣,ADi,由E,F分別為BC,CCI的中點(diǎn)，可得EF//BG,

在長(zhǎng)方體ABCD-48∣GQ∣中，

AB/∕ClD∣,AB=C1D1,

因此四邊形ABGA為平行四邊形，

所以BC1//ADi,

所以EF//AD1,

又ERI平面AIADA,AAU平面AIA

所以EF〃平面A∣AOO∣.

(2)解在長(zhǎng)方體ABCO-A山∣C∣D∣中，

因?yàn)槠矫?4。。，

所以4G在平面AlAQA中的射影為AO∣,

所以∕GAZλ(或其補(bǔ)角)為直線AC∣與平面A1ADD1所成的角，

由題意知4G=√22+22+32=√I7,

在Rt?ADιCι中，SinNCjAZ)I==^?j?^=,

即直線AC1與平面A1ADD1所成角的正弦值為喟.

【教師備選】

如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為正方形，PD=BC=I,二面角P-Cc-A為直

二面角.

(1)若E為線段PC的中點(diǎn)，求證：DELPB-,

(2)若PC=√5,求PC與平面∕?B所成角的正弦值.

⑴證明：PQ=QC=I,且E為Pe的中點(diǎn)，

：.DElPC,

又Y二面角P-CD-A為直二面角，

，平面PCQ_L平面ABC。，

VBCVCD,平面PCf>∩平面ABCO=CD,

.?.BCLL平面PCD,

：.BCLDE.

：BCu平面PBC,PCU平面PBC,8CΓ?PC=C,

；.OE_L平面PBC,

又：PBu平面PBC,

.?DE±PB.

⑵解若PC=#,

由余弦定理可求得NPOC=120。，

過點(diǎn)P作P”,C。的延長(zhǎng)線于“，如圖，

可得P”_L平面ABCD,

在RtAPWD中，

PH=PDsin60。=咨

過“點(diǎn)作“G〃D4,且HG與24的延長(zhǎng)線交于G點(diǎn).

可得HG-LAB,從而PGj_AB.

_________∏j

在RtZkPHG中，PG=y∣PH2+HG2??-,

.v=乂PH=LX1義亞=亞

??yP-ABC—3?AABC,產(chǎn)H—?^2^2—12'

設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h,

則三棱錐C-必B的體積

,7Ic,U業(yè)√3

V=^S?AHP-h=^×2×2l^i2,

解得/1=音，設(shè)PC與平面BAB所成的角為仇

.__h__亞

SinθaPC7，

S

即尸C與平面∕?B所成角的正弦值為年.

思維升華求線面角的三個(gè)步驟

一作（找）角，二證明，三計(jì)算，其中作（找）角是關(guān)鍵，先找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作

垂線，找垂足，然后把線面角轉(zhuǎn)化到三角形中求解.

跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖,在直三棱柱ABC—4向Cl中,。為AC的中點(diǎn).若AB=BC=BBl,ZABC

_7t

=2'則CC,與平面BCiD所成角的正弦值為.

答案坐

解析過點(diǎn)C作C4LG。于點(diǎn)H,

：三棱柱ABC-A1BiCi為直三棱柱,

.?.CG?L平面ABC.

U平面ABC,

：.CCiIBD.

'：AB=BC,。為AC的中點(diǎn),

：.BDA.AC,

XCC1∩AC=C,CG,ACU平面ACG,

L平面ACG,

VCHc-sPWACC↑,

C.BDLCH.

又C”J_G。，GDCBD=D,CtD,BoU平面BCQ,

...C4_L平面BCD

：.NCC\D為Cel與平面8G。所成的角,

設(shè)AB=2a,

則CD=巾a,CιD=yβa,

../RRR.CDyf2a√3

..SinZCClD-C|D-^-?.

(2)(2022?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)如圖，在長(zhǎng)方體ABCQ-ABiCIA中，AB=AD=I,Λ4l=2,

點(diǎn)P為。。的中點(diǎn).

①求證：直線32〃平面B4C；

②求直線Br)I與平面ABC力所成角的正切值.

①證明如圖，設(shè)AC和8。交于點(diǎn)。，則。為8。的中點(diǎn),

連接PO,又是力。I的中點(diǎn)，故P0〃BDi,

又YPOu平面Λ4C,BON平面7?C,

直線BDl〃平面PAC.

②解在長(zhǎng)方體ABCD-AlBIC中，

平面ABCD,

：.NDlBD是直線BA與平面ABCD所成的角，

?.?OD∣=2,BD^AB2+AD2=√2,

?,?tan∕DιBD=1^=^?f^,

直線BDi與平面ABCD所成角的正切值為由.

題型三二面角

例3(2022.上海市延安中學(xué)模擬)如圖，在多面體ABCDE/中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的

菱形，ZBAD=60o,四邊形8。EF是正方形，平面BDERL平面ABCD

(1)證明：平面ACE_L平面3。Ea

(2)若點(diǎn)M是線段B尸上的一點(diǎn)，且滿足DMJL平面ACE,求二面角A-OM-B的正切值.

(1)證明：四邊形ABCD是菱形，

.".AC-LBD,

由四邊形BCEF是正方形有DEVBD,

又平面BDEFL平面ABCD,平面BDEFC平面ABCD=BD,DEU平面BDEF,

：.QEJ_平面ABCD,

又ACU平面ABCD,

：.DElAC,

又BDCDE=D,且BD,DEU平面BDEF,

...AC，平面Bz)EP,由ACU平面ACE,

平面ACE平面BDEF.

⑵解設(shè)。是AC,8。的交點(diǎn)，連接OE交OM于G,連接AG,如圖.

由Z)M_L平面ACE,AG,OEU平面ACE,

：.AG-LDM,OELDM,

/AG。是二面角A-DM-B的平面角，

由射影定理知，。。2=OGOE,00=1,DE=I,

則0E=yβ,OG=坐

ΛQ_

.*?tanNAGo=Cr="?∣15,

ULJ

二面角A-DM-B的正切值為仃.

【教師備選1

如圖，在正方體ABC。-AIBIGa中，點(diǎn)E在線段Cz)I上，CE=2EDl,點(diǎn)F為線段A8上的

動(dòng)點(diǎn)，AF=λFB,且EF〃平面AooIA1.

⑴求義的值；

(2)求二面角E—OP—C的余弦值.

解⑴過E作EGJ_D。于G,連接GA,如圖.

貝IJEG〃C。，而C。〃布，所以EG〃6V

因?yàn)镋F〃平面AoZ)IA1,EFU平面￡7豕7,

平面EGA尸C平面Ar)DIAl=GA,所以EFV/GA,

所以四邊形EGAF是平行四邊形，所以GE=AE

因?yàn)镃E=2ED?,

GED?E1

所以,

DC~D?C~y

所以箓=W,即黨=?所以2=，

(2)過E作EHLCD于H,過”作HMLDF于M,連接EM,如圖.

因?yàn)槠矫鍯DDlGj■平面ABCD,EHLCD,

所以E4_L平面ABCD.

因?yàn)?。尸U平面ABCD,所以EH±DF.

又HM工DF,HMCEH=H,

HM,EHU平面EMH,

所以Z)F_L平面EMH.

因?yàn)镋MU平面EMH,所以DFVEM.

所以NEM”是二面角E—DF-C的平面角.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3a,則EH=24

在Rt△￡>“尸中，DH=a,HF=3a,DF=√lθα,

DHHFa×3a__3_

所以HM=DFy[?0ay[↑C∣a

7

在Rt?E∕∕M中,求得EM=JEH?+HM2=常'

所以cosZEMH=^τj=τj,

ΓJ1V1/

所以二面角E一。F-C的余弦值為方

思維升華作二面角的平面角的方法

作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平

面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可

得二面角的平面角.

跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，APBC為

正三角形，M,N分別為P。，BC的中點(diǎn)，PNl.AB.

(1)求三棱錐P-AMN的體積；

(2)求二面角M-AN-D的正切值.

解(I)VPB=PC,

：.PNlBC,

又YPNLAB,ABHBC=B,

AB,BCc5FWABCD,

.?.PML平面ABCQ,

?：AB=BC=PB=PC=2,

：.PN=事,

M為PD的中點(diǎn)，Vp-AMN-YD-MdN=VM-ADNt

；??>-AMN=±V>-AZW=*p-ABeD="xgx4又小=坐.

⑵如圖，取ON的中點(diǎn)E,連接ME,

,/M,E分別為尸。，DN的中點(diǎn)，

：.ME//PN,

：PN，平面ABCQ,

.?.ME1,平面ABCD,

過E作EQLAM連接M。，

又ME_L4N,EQCME=E,EQ,MEU平面MEQ,

平面MEQ,

.?AN±MQ,

/MQE即為二面角M-AN-O的平面角,

tan/MQE=畏,

YPN=小,

：.ME=

?：AN=DN=#,AO=2,

??.QE=手，

Ian∕Λ∕QE=當(dāng)?.

即該二面角的正切值為華.

課時(shí)精練

區(qū)基礎(chǔ)保分練

1.（2020?新高考全國(guó)I）日皆是中國(guó)古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與愚面垂直的唇針投射到

號(hào)面的影子來測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球（球心記為0）,地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與

地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與。4垂直的平面.在點(diǎn)A處放置

一個(gè)日唇，若愚面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40。，則劈針與點(diǎn)4處的水平

面所成角為（）

A.20oB.40oC.50oD.90°

答案B

解析如圖所示，。。為赤道平面，。01為A點(diǎn)處的日署面所在的平面,

由點(diǎn)A處的緯度為北緯40?？芍狽oAOl=40。,

又點(diǎn)A處的水平面與OA垂直，唇針AC與。Oi所在的面垂直，

則署針AC與水平面所成角為40°.

2.如圖，∕?，圓。所在平面，AB是圓。的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，其中AC=3,PA=Ar,BC

=5,則PB與平面MC所成角的正弦值為（）

答案A

解析根據(jù)題意，48是圓。的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，則BCJ_AC,

又由孫，圓。所在平面，則∕?LBC,

因?yàn)槌觥?C=4,PA,ACU平面∕?C,

則BC，平面∕?C,故/8PC是PB與平面BAC所成的角，在aACB中,AC=3,8C=5,ACLBC,

則AB^y]AC2+BC2=√34,

在△外B中，Aβ=√34,PA=4,PAlAB,

則PB=y∣PA2+AB2=5√2,

在RtZV>C8中，BC=5,PB=5√2,

則SinNBPC=^^=彳.

FDZ

3.（2022?哈爾濱模擬）已知在直三棱柱ABe-AlBlG中，NABC=I20。，AB=2,BC=CCt=

1,則異面直線4B∣與BG所成角的余弦值為（）

√Tb

答案C

解析如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱ABCZ）—AIBlGOI,

則所求角為/BCQ,

VfiC∣=√2,BD=√22+1-2×2×1×cos60o=√3,ClD=ABI=小,易得GU=BD2+Bα,

即BCi±BD,

BC∣√2√Iθ

因此COSNBGn=

C0-√5-5-

4.在正四面體P-ABC中，點(diǎn)M是棱BC上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），記異面直線PM與AB所成

的角為。，直線PM與平面ABC所成的角為6，則（）

A.a>βB.a<β

C.a^βD.aWβ

答案C

解析根據(jù)題意，如圖，作尸0,底面A8C,連接OM,

則NPAYO是直線PM與平面4BC所成的角,

即NPMo=￡,

過點(diǎn)例作/平行于48,過點(diǎn)P作PNJJ,與/交于點(diǎn)N,/PMN是直線PM與A8所成的角,

即NPMN=a,在Rt△尸OM和RtAPMN中，有PN^PO,貝!∣sin?≥sinβ,則a^β.

5.在長(zhǎng)方體ABS-AlBlGA中，4B=2,AO=AAl=1,則二面角G—AB—C為（）

C2兀

A,^B.—

Cπ

D4

答案D

解析由圖可知GB_LAB,CBLAB,

G

A1

C

所以/G2C是二面角C∣-AB—C的平面角,

tan∕C∣BC=簽=1,所以NGBC=今

6.在正方體ABC。-4B∣CQ∣中，下列說法不正確的是（）

A.A?C?VBD

B.Λ∣C1BD

C.BIC與BC所成的角為60。

D.AG與平面ABCO所成的角為45。

答案D

解析對(duì)于A,如圖，

由正方體性質(zhì)可知

βlD∣!Λ1Cι,

又因?yàn)?8|〃?！?gt;1,

且BBI=DDI,

所以四邊形BBlDQ為平行四邊形,

所以B1D1//BD,

所以A∣C∣L8C,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,如圖，

由正方體ABCf)-4BιCS可得CGl.平面ABCD,

8。U平面ABCD,

所以CCJBD,

由選項(xiàng)A可知AIel_LBD,又AIGnCG=C1,

A∣G,CClU平面AlClC,

所以平面AIGC,因?yàn)锳CU平面4C∣C,

所以8Z)LAιC,故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,如圖，

由選項(xiàng)A可知BD∕∕B↑D?,

所以/CBiQi為直線SC與直線20所成的角,

由正方體性質(zhì)可知ABiCQ為正三角形，

所以NCBIA=60。，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,如圖，

由CClJ.平面ABCD,

所以/GAC為直線AG與平面ABC。所成的角，

在正方體A5CC-A∣8∣C∣Q∣中，AC=y∣2CCl,

CCi√2

tanz_CAClAC2,

所以NCAGr45。，

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

4

7.在正四棱錐P-A88中，底面邊長(zhǎng)為2,四棱錐的體積為小則二面角P—A8-C的大小

為.

答案45°

依題意，PE_L平面ABCr>,

取AB的中點(diǎn)F,連接FE,FP,易知AB_LEF,ABLPF,

則NPFE為二面角P—A8—C的平面角，

14

又Vp^BCD=^×2×2×PE=y

故PE=I,；.PE=EF=I,

...△PEF為等腰直角三角形,

.,.ZPFE=450.

8.在三棱錐S-ABC中，Z?4BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，SA，平面ABC,且SA=2,則A8

與平面SBC所成角的正弦值為.

較口案e7?

解析如圖，取BC的中點(diǎn)。，連接AO,SD,過4作40LS3,交SD于點(diǎn)0,連接08,

S

：在三棱錐S-ABC中，AABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,

SA_L平面ABC,且SA=2,

：.AD±BC,SDLBC,SA±AD,

?'ADC?SD=D,AD,SoU平面S4。，

.?.BUL平面SAD,

：.BClAO,

AD=√4-1=√3,SD=N4+4-I=市,

?,^×SA×AD=^×SD×A0,

"：AOlSD,SDQBC=D,SD,BCU平面SBC,

；.A。，平面SBC,

：./A80是AB與平面SBC所成的角，

：.AB與平面SBC所成角的正弦值為

2幅

.3c_也__Z__叵

sinz-√AoC∕AB27,

9.如圖，己知在三棱錐A-BC。中，平面ABO_L平面ABC,AB1,AD,BC±AC,BD=3,AD

=1,AC=BC,M為線段A8的中點(diǎn).

C

(1)求證：BCJL平面AC。；

(2)求異面直線MD與BC所成角的余弦值；

(3)求直線MD與平面ACD所成角的余弦值.

(1)證明；平面A3。，平面ABC,平面ABQrI平面ABC=AB,AD±AB,A。U平面ABO,

...AD，平面ABC,.?ADA,BC,

又AULBC,ADHAC=A,AD,AeU平面AC。，

...Be,平面ACD

⑵解如圖，取AC的中點(diǎn)N,連接Λ∕MDN,

是AB的中點(diǎn)，

：.MN//BC,

.?.NNME）（或其補(bǔ)角）為異面直線MD與BC所成的角,

由（1）知BC_L平面ACD,

.?.MNJL平面ACE>,MNLND,

VBD=3,AD=?,AB±AD,

ΛAB=2√2,

XVAC=BC,ACLBC,：.AC=BC=2,

在RtZXMND中，MN=/C=1,

MD=√AD2+AM2=√3,

?∕flm,nMN√5

..COSZ∕VΛZL)-?,

即異面直線M。與BC所成角的余弦值為由.

(3)解由(2)知NM￡>N為直線MO與平面ACn所成的角，

在RtZYMND中，NDKMD2-AlM=也,

?W_蟹_啦—逅

..cosZMDN-md-^~3,

即直線MQ與平面ACO所成角的余弦值為博.

10.如圖，在三棱錐A—BCD中，Z?ABZ)為等邊三角形，BC=BD,平面48￡>_L平面8CZ)且

BAlBC.

⑴求證：BCLAD-,

(2)求二面角A-CD-B的正切值.

⑴證明如圖，取BQ的中點(diǎn)E,連接AE,

則4E_LBD,因?yàn)槠矫鍭BO_L平面BCD,平面ABO∩平面8Cf>=8O,AEU平面AB。,

則AE，平面BCD,

所以AE_L8C,

又因?yàn)锳8_LBC,ABΠAE=A,

AB,AEU平面AB。，

則BCJ_平面ABO,因?yàn)锳OU平面AB。，

則BCLAD.

(2)解如圖，過點(diǎn)E作EF_LCO交C。于點(diǎn)尸，連接A凡

由(1)知AE_LC￡>,AE∏EF=E,AE,EFU平面AEF,

所以Cr)J_平面AEF,

因?yàn)锳Fu平面AEF,

則CDlAF,

所以NAFE為二面角A-CO-B的平面角.

因?yàn)锳ABO為等邊三角形，設(shè)BD=2,

則AE=√5,EF=號(hào)

ΔΓyfltL

則tan/AFE=EF=.

2

所以二面角A-CD-B的正切值為黃.

生技能提升練

11.在長(zhǎng)方體ABC。一AIBlCQl中，底面ABC。是正方形，異面直線AB與Ac所成角的大

小為余則該長(zhǎng)方體的側(cè)面積與表面積的比值是()

4一2啦R4∑3^

7B?4

c8~2√24-√2

D^8

答案C

解析如圖，連接8C,

因?yàn)锳B"Aι8∣,

所以/Bι4C是異面直線AB與AC所成的角,

JT

即ZBiAiC=J.

設(shè)AB=X,AA↑=y,

在AAiBiC中，BiC2=X2+/.AιC2=2x2+yi,

x2+2x2+y2-(x2+r)1

則CosZfiiAiC=

2x-y]2x2+y22,

整理得y-y{2x,

從而該長(zhǎng)方體的側(cè)面積Sι=4*y=4√∑r2,

該長(zhǎng)方體的表面積

S2=4xy+2x2=（46+2）Λ2,

劫54^X28-2也

故豆=（4啦+2）f=7-

12.某幾何體的三視圖如圖所示，記底面的中心為E,則PE與底面所成的角為（）

俯視圖

λπC兀

A?3B-4

一兀C兀

c?6D2

答案A

解析由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示，

ZPEA為PE與底面所成的角.

V∕?=√6,Af=√2,

tanZPE4≈?T7=-J3,

AZS

π

.*.NPEA=T

13.已知正四面體A—BCQ的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段BC上，則下面四

個(gè)命題中：

03F∈BC,EF//AC-,

②X∕F∈BC,CF≤√3;

03F∈BC,EF與AO不垂直；

④RFGBC,直線所與平面BCz）夾角正弦的最大值為坐.

所有不正確的命題序號(hào)為.

答案①③

解析如圖，

對(duì)X∕F∈BC,EF與AC異面或相交，故①錯(cuò)誤；

當(dāng)點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF為異面直線A。和Be的公垂線段，此時(shí)EF取得最小值，當(dāng)尸

與B,C重合時(shí)，E尸取得最大值小，故②正確；

因?yàn)锳C_LBE,ADLCE,BECCE=E,所以AQ_L平面BEC,故A￡>_LEF,故③錯(cuò)誤；

因?yàn)镋到平面BCO的距離為定值d,設(shè)直線M與平面BC。的夾角為仇則sinθ=??,當(dāng)F

L,Γ

為BC的中點(diǎn)時(shí)，易知EF為異面直線AQ和8C的公垂線段，此時(shí)EF取得最小值，sinO=蠱

tLr

有最大值，此時(shí)QF=√5,DE=I,故EF=73-1=巾,在Rt△￡："）中，EFDE=DFd,解

得d=嘩,所以Sine=急=坐，故④正確.

JL,ΓJ

14.如圖，在矩形A8C。中，AB=2,