《5.1.2 弧度制》教學設(shè)計、導學案、同步練習

第五章三角函數(shù)《5.1.2弧度制》教學設(shè)計【教材分析】本節(jié)課是普通高中教科書人教A版必修第一冊第五章第一節(jié)第二課，本節(jié)課起著承上啟下的作用:在前面學生在初中已經(jīng)學過角的度量單位“度”，并且上節(jié)課學了任意角的概念,將角的概念推廣到了任意角;本節(jié)課作為三角函數(shù)的第二課時,該課的知識還是后繼學習任意角的三角函數(shù)等知識的理論準備,因此本節(jié)課還起著啟下的作用。通過本節(jié)弧度制的學習,我們知道實數(shù)與角之間一一對應(yīng)的關(guān)系，而且在弧度制下的弧長公式與扇形面積公式有了更為簡單形式。另外弧度制為今后學習三角函數(shù)帶很大方便。【教學目標與核心素養(yǎng)】課程目標學科素養(yǎng)A.理解角集與實數(shù)集的一一對應(yīng)，熟練掌握角度制與弧度制間的互相轉(zhuǎn)化；B.能靈活運用弧長公式、扇形面積公式解決問題；C.找出弧度與角度換算的方法，領(lǐng)悟從特殊到一般的思想方法。1.數(shù)學抽象：角集與實數(shù)集間的一一對應(yīng)；2.邏輯推理：弧長公式及扇形的面積公式；3.數(shù)學運算：求扇形的弧長和面積；4.直觀想象：由函數(shù)的圖象表示函數(shù)；5.數(shù)學模型：由實際問題構(gòu)造合理的函數(shù)模型。【教學重難點】1.教學重點：角度制與弧度制間的互相轉(zhuǎn)化，弧長公式及扇形的面積公式的推導與證明；2.教學難點：能靈活運用弧長公式、扇形面積公式解決問題?！窘虒W過程】教學過程教學設(shè)計意圖一、復習回顧，溫故知新1.在平面幾何里，度量角的大小用什么單位？【答案】角度制的單位有：度、分、秒。2.1°的角是如何定義的？【答案】規(guī)定：圓周1/360的圓心角稱作1°角。這種用度做單位來度量角的制度叫做角度制.日常生活中，度量長度可用不同的單位，如：一張課桌長80厘米，也可以說長0.8米，顯然兩種結(jié)果出現(xiàn)了不同的數(shù)值。在數(shù)學和其他科學研究中還經(jīng)常用到另一種度量角的制度—弧度制，它是如何定義呢？二、探索新知探究：在圓內(nèi)，圓心角的大小和半徑大小有關(guān)系嗎？角度為300、600的圓心角，半徑r=1,2,3時，（1）分別計算相對應(yīng)的弧長l（2）分別計算對應(yīng)弧長與半徑之比思考：通過上面的計算，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【答案】①.圓心角不變，比值不變；比值的大小與所取的圓的半徑大小無關(guān)；②圓心角改變，比值改變；比值的大小只與圓心角的大小有關(guān)；1.弧度的概念把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度(radian)的角.弧度制：這種以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制，它的單位是弧度，單位符號是rad.約定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為0.思考1:圓的半徑為r,弧長分別為2r、-3r,則它們所對圓心角的弧度數(shù)是多少?【答案】2rad,-3rad.思考2：如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值如何計算？【答案】結(jié)論：圓心角AOB的弧度數(shù)等于它所對的弧的長與半徑長的比的絕對值。2.角度與弧度的換算思考3：一個周角以度為單位度量是多少度，以弧度為單位度量是多少弧度？由此可得角度與弧度有怎樣的換算關(guān)系？【答案】360o，。思考4：根據(jù)上述關(guān)系，1°等于多少弧度，1rad等于多少度？【答案】把67°30′化成弧度?！窘馕觥恳驗樗?。把下列各角的弧度化為度數(shù)?！窘馕觥浚?）注：角度制與弧度制互化時要抓住180°=rad這個關(guān)鍵。注:常規(guī)寫法①用弧度數(shù)表示角時，常常把弧度數(shù)寫成多少的形式，不必寫成小數(shù)．②用弧度制表示角時,“弧度”二字或“rad”通常略去不寫,面只寫該角所對應(yīng)的弧度數(shù).③弧度與角度不能混用．即不能出現(xiàn)這樣的形式:。填寫下列表中特殊角的弧度數(shù)或度數(shù)。角度00300600120013502700弧度角的概念推廣后，角與實數(shù)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，任意角的集合實數(shù)集R例3.利用弧度制證明下列扇形的公式：（1）。（其中R是扇形的半徑，是弧長，，S是扇形的面積）。通過復習初中所學角的單位及定義，類比長度的不同度量制，用類比的方法、聯(lián)系的觀點引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力。通過探究與思考，尋找弧長、半徑與圓心角之間的關(guān)系，進而得弧度的定義，提高學生的解決問題、分析問題的能力。通過思考，進一步鞏固弧度制的定義，提高學生分析問題、概括能力。通過思考，歸納弧度與角度的互化。提高學生分析問題、概括能力。通過例題學會角度與弧度的轉(zhuǎn)化，提高學生解決問題的能力。通過例題總結(jié)弧度制下的扇形的弧長公式、扇形的面積公式，提高學生的觀察、概括能力。三、達標檢測1．正確表示終邊落在第一象限的角的范圍的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)【解析】B中k＝1時為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))顯然不正確；因為第一象限角不含終邊在坐標軸的角故C、D均錯，只有A正確．【答案】A2．與30°角終邊相同的角的集合是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝k·360°＋\f(π,6)))，k∈Z))B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,6)，))k∈Z))【解析】∵30°＝30×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,6)rad，∴與30°終邊相同的所有角可表示為α＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，故選D．【答案】D3．在半徑為10的圓中，240°的圓心角所對弧長為()A．eq\f(40,3)πB．eq\f(20,3)πC．eq\f(200,3)πD．eq\f(400,3)π【解析】240°＝240×eq\f(π,180)rad＝eq\f(4,3)πrad，∴弧長l＝|α|·r＝eq\f(4,3)π×10＝eq\f(40,3)π，選A．【答案】A4．將－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式為_______．【解析】由－1485°＝－5×360°＋315°，所以－1485°可以表示為－10π＋eq\f(7,4)π.【答案】－10π＋eq\f(7,4)π5．一個扇形的面積為1，周長為4，求該扇形圓心角的弧度數(shù)．【解析】設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，圓心角為α，則2R＋l＝4.①由扇形的面積公式S＝eq\f(1,2)lR，得eq\f(1,2)lR＝1.②由①②得R＝1，l＝2，∴α＝eq\f(l,R)＝2rad.∴扇形的圓心角為2rad.通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學思想，增強學生的應(yīng)用意識。四、小結(jié)1.1弧度角的定義；2.角度制與弧度制的聯(lián)系與區(qū)別；3.弧長公式與扇形的面積公式;五、作業(yè)習題5.15.（2）、（4）,6.（1）,9題通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力,提高學生的數(shù)學運算能力和邏輯推理能力?！窘虒W反思】由于弧度制是一個新的角單位制的概念,主要是讓學生理解弧度制的意義,重點是讓學生能正確進行弧度制與角度制的換算,并理解任意角的集合與實數(shù)集之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系,關(guān)鍵是讓學生學會類比思想,并讓學生學會在弧度制下的弧長公式,及扇形的面積公式。學生在學習弧度制的時候主要是對弧度制理解的不夠透徹,可能是因為新的概念,所以有大部分學生還不夠熟悉,在講解習題的時候我就逐層深入的講解,所以學生反映還是不錯。只是學生的作業(yè)還是做得不太好。所以在講解作業(yè)的時候要繼續(xù)加強弧度制的定義的理解?！?.1.2弧度制》導學案【學習目標】1.理解角的集合與實數(shù)集間的一一對應(yīng)；2.熟練掌握角度制與弧度制間的互相轉(zhuǎn)化；3、能靈活運用弧長公式、扇形的面積公式?！局攸c難點】1.教學重點：角度與弧度的互相轉(zhuǎn)化，弧長公式及扇形的面積公式的推導與運用；2.教學難點：用扇形的弧長公式、扇形的面積公式解決問題?！局R梳理】1.規(guī)定：叫做1弧度的角。2.一般地，正角的弧度數(shù)是一個，負角的弧度數(shù)是一個，零角的弧度數(shù)是。3.弧度與角度的轉(zhuǎn)化：1°=rad;1rad=。4.扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：。【學習過程】一、探索新知探究：在圓內(nèi)，圓心角的大小和半徑大小有關(guān)系嗎？角度為300、600的圓心角，半徑r=1,2,3時，（1）分別計算相對應(yīng)的弧長l。（2）分別計算對應(yīng)弧長與半徑之比。思考：通過上面的計算，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？1.弧度的概念把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度(radian)的角.弧度制：這種以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制，它的單位是弧度，單位符號是rad.約定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為0.思考1:圓的半徑為r,弧長分別為2r、-3r,則它們所對圓心角的弧度數(shù)是多少?思考2：如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值如何計算？結(jié)論：圓心角AOB的弧度數(shù)等于它所對的弧的長與半徑長的比的絕對值。2.角度與弧度的換算思考3：一個周角以度為單位度量是多少度，以弧度為單位度量是多少弧度？由此可得角度與弧度有怎樣的換算關(guān)系？思考4：根據(jù)上述關(guān)系，1°等于多少弧度，1rad等于多少度？把67°30′化成弧度。把下列各角的弧度化為度數(shù)。注：角度制與弧度制互化時要抓住180°=rad這個關(guān)鍵。注:常規(guī)寫法①用弧度數(shù)表示角時，常常把弧度數(shù)寫成多少的形式，不必寫成小數(shù)．②用弧度制表示角時,“弧度”二字或“rad”通常略去不寫,面只寫該角所對應(yīng)的弧度數(shù).③弧度與角度不能混用．即不能出現(xiàn)這樣的形式:。練習：填寫下列表中特殊角的弧度數(shù)或度數(shù)。角度00300600120013502700弧度角的概念推廣后，角與實數(shù)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，任意角的集合實數(shù)集R例3.利用弧度制證明下列扇形的公式：（1）。（其中R是扇形的半徑，是弧長，，S是扇形的面積）?！具_標檢測】1．正確表示終邊落在第一象限的角的范圍的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)2．與30°角終邊相同的角的集合是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝k·360°＋\f(π,6)))，k∈Z))B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,6)，))k∈Z))3．在半徑為10的圓中，240°的圓心角所對弧長為()A．eq\f(40,3)π B．eq\f(20,3)πC．eq\f(200,3)π D．eq\f(400,3)π4．將－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式為_______．5．一個扇形的面積為1，周長為4，求該扇形圓心角的弧度數(shù)．參考答案：探究：規(guī)律：①.圓心角不變，比值不變；比值的大小與所取的圓的半徑大小無關(guān)；②圓心角改變，比值改變；比值的大小只與圓心角的大小有關(guān)；思考1.2rad,-3rad.思考2.思考3.360o，。思考4例1.因為所以。例2.（1）練習：角度00300450600900120013501500180027003600弧度0例3.解析見教材達標檢測1.【解析】B中k＝1時為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))顯然不正確；因為第一象限角不含終邊在坐標軸的角故C、D均錯，只有A正確．【答案】A【解析】∵30°＝30×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,6)rad，2.∴與30°終邊相同的所有角可表示為α＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，故選D．【答案】D3.【解析】240°＝240×eq\f(π,180)rad＝eq\f(4,3)πrad，∴弧長l＝|α|·r＝eq\f(4,3)π×10＝eq\f(40,3)π，選A．【答案】A4.【解析】由－1485°＝－5×360°＋315°，所以－1485°可以表示為－10π＋eq\f(7,4)π.【答案】－10π＋eq\f(7,4)π5.【解析】設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，圓心角為α，則2R＋l＝4.①由扇形的面積公式S＝eq\f(1,2)lR，得eq\f(1,2)lR＝1.②由①②得R＝1，l＝2，∴α＝eq\f(l,R)＝2rad.∴扇形的圓心角為2rad.《5.1.2弧度制》同步練習一基礎(chǔ)鞏固1．已知扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的半徑為（）A．7 B．6 C．5 D．42．若是三角形的最小內(nèi)角，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．下列各角中，終邊相同的角是()A.和 B.和 C.和 D.和4．已知，則角的終邊在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是（）A.化成弧度是 B.化成角度是C.化成弧度是 D.化成角度是6．將化為形式為_____.7．若，且與的終邊互相垂直，則________.8．一個扇形OAB的面積是1cm2，它的周長是4cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長AB.能力提升9．中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊.一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時扇形的圓心角的弧度數(shù)為()A. B. C. D.10．若角的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角的取值范圍是（）A． B．C． D．11．走時精確的鐘表，中午時，分針與時針重合于表面上的位置，則當下一次分針與時針重合時，時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)的絕對值等于_______.12．已知．（1）寫出所有與終邊相同的角；（2）寫出在內(nèi)與終邊相同的角；（3）若角與終邊相同，則是第幾象限的角？素養(yǎng)達成13．扇形AOB的周長為8cm．（1）若這個扇形的面積為3cm2（2）求該扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB．5.1.2弧度制答案解析基礎(chǔ)鞏固1．已知扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的半徑為（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【解析】依題意為，所以．故選B.2．若是三角形的最小內(nèi)角，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)是三角形的最小內(nèi)角，則即，解得.故選：D.3．下列各角中，終邊相同的角是()A.和 B.和 C.和 D.和【答案】C【解析】對于A選項，，，不合乎要求；對于B選項，，，不合乎要求；對于C選項，，合乎要求；對于D選項，，，不合乎要求。故選：C。4．已知，則角的終邊在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】∵，∴，故角的終邊在第三象限．選C．5．下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是（）A.化成弧度是 B.化成角度是C.化成弧度是 D.化成角度是【答案】C【解析】對于A,,正確;對于B,,正確;對于C,,錯誤;對于D,,正確.故選C6．將化為形式為_____.【答案】【解析】,.7．若，且與的終邊互相垂直，則________.【答案】【解析】因為與的終邊互相垂直，所以或.因為，所以令，可得或或或.故填：8．一個扇形OAB的面積是1cm2，它的周長是4cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長AB.【答案】22sin1【解析】設(shè)圓的半徑為rcm，弧長為lcm，則，解得∴圓心角α＝＝2.如圖，過O作OH⊥AB于H.則∠AOH＝1弧度．∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)．能力提升9．中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊.一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時扇形的圓心角的弧度數(shù)為()A. B. C. D.【答案】A【解析】與所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設(shè)與所在扇形圓心角分別為，則，又，解得10．若角的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】陰影部分的兩條邊界分別是角的終邊，所以的取值范圍是.故選：D.11．走時精確的鐘表，中午時，分針與時針重合于表面上的位置，則當下一次分針與時針重合時，時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)的絕對值等于_______.【答案】.【解析】設(shè)時針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)的絕對值為，由分針的角速度是時針角速度的倍，知分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)的絕對值為，由題意可知，，解得，因此，時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)的絕對值等于，故答案為：.12．已知．（1）寫出所有與終邊相同的角；（2）寫出在內(nèi)與終邊相同的角；（3）若角與終邊相同，則是第幾象限的角？【答案】略【解析】(1)所有與α終邊相同的角可表示為(2)由(1)令-4π＜2kπ+＜2π(k∈Z)，則有-2-＜k＜1-．又∵k∈Z，∴取k=-2，-1，0．故在(-4π，2π)內(nèi)與α終邊相同的角是(3)由(1)有β=2kπ+(k∈Z)，則，當k為偶數(shù)時，在第一象限，當k為奇數(shù)時，在第三象限．∴是第一、三象限的角．素養(yǎng)達成13．扇形AOB的周長為8cm．（1）若這個扇形的面積為3cm2（2）求該扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB．【答案】（1）23或6；（2）【解析】設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，（1）由題意知2r+l=812lr=3，解得：或，∴α＝＝或6；（2）∵2r+l＝8，∴S=1當且僅當2r＝l，即α＝＝2時，面積取得最大值4，∴r＝2，∴弦長AB＝2sin1×2＝4sin1．《5.1.2弧度制》同步練習二一、選擇題1．將分針撥慢分鐘，則分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是（）A．B．C．D．2．一段圓弧的長度等于其圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為A． B． C． D．3．若扇形的面積為、半徑為1，則扇形的圓心角為（）A． B． C． D．4．把化成的形式是（）A．B．C．D．5．下列說法正確的是（）A．弧度的圓心角所對的弧長等于半徑B．大圓中弧度的圓心角比小圓中弧度的圓心角大C．所有圓心角為弧度的角所對的弧長都相等D．用弧度表示的角都是正角6．已知一扇形的周長為40，當扇形的面積最大時,扇形的圓心角等于（）A．2B．3C．1D．4二、填空題7．的終邊位于第______象限.8．4弧度角的終邊在第______象限.9．設(shè)集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，則M∩N＝_____．10．圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，而所對弧長不變，則該弧所對圓心角是原來圓弧所對圓心角的_____倍.三、解答題11．把下列各角用另一種度量制表示出來：；；；.12．已知在半徑為的圓中，弦的長為.（1）求弦所對的圓心角的大??；（2）求圓心角所在的扇形弧長及弧所在的弓形的面積.5.1.2弧度制答案解析一、選擇題1．將分針撥慢分鐘，則分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分針撥慢分鐘，轉(zhuǎn)過的角度為周角的，角為正角，因此弧度數(shù)為.2．一段圓弧的長度等于其圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓的半徑為，利用余弦定理可以求得圓內(nèi)接三角形的邊長圓弧長度等于內(nèi)接正三角形邊長，則圓心角度數(shù)故選。3．若扇形的面積為、半徑為1，則扇形的圓心角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)扇