《5.7三角函數(shù)的應用》教案與導學案

《第五章三角函數(shù)》《5.7三角函數(shù)的應用》教案【教材分析】本節(jié)課是在學習了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的前提下來學習三角函數(shù)模型的簡單應用，進一步突出函數(shù)來源于生活應用于生活的思想，讓學生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學“建?！彼枷?從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力.【教學目標與核心素養(yǎng)】課程目標1.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會用三角函數(shù)模型解決一些簡單的實際問題．2．實際問題抽象為三角函數(shù)模型．數(shù)學學科素養(yǎng)1.邏輯抽象：實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題；2.數(shù)據(jù)分析：分析、整理、利用信息，從實際問題中抽取基本的數(shù)學關(guān)系來建立數(shù)學模型；3.數(shù)學運算：實際問題求解；4.數(shù)學建模：體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學建模思想，提高學生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.【教學重難點】重點：了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會用三角函數(shù)模型解決一些簡單的實際問題；難點：實際問題抽象為三角函數(shù)模型.【教學方法】：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練?！窘虒W過程】一、情景導入生活中普遍存在著周期性變化規(guī)律的現(xiàn)象，晝夜交替四季輪回，潮漲潮散、云卷云舒，情緒的起起落落，庭前的花開花謝，一切都逃不過數(shù)學的眼睛！這節(jié)課我們就來學習如何用數(shù)學的眼睛洞察我們身邊存在的周期現(xiàn)象-----5.7三角函數(shù)模型的簡單應用。要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本242-245頁，思考并完成以下問題1.解三角函數(shù)應用題的基本步驟？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1．三角函數(shù)可以作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型．其基本模型可化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．2．解三角函數(shù)應用題的基本步驟：(1)審清題意；(2)搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學模型；(3)討論變量關(guān)系，求解數(shù)學模型；(4)檢驗，作出結(jié)論．四、典例分析、舉一反三題型一三角函數(shù)模型在物理學中的應用例1已知彈簧上掛著的小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時間t(s)的變化規(guī)律為s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．(1)用“五點法”作出這個函數(shù)的簡圖；(2)小球在開始振動(t＝0)時的位移是多少？(3)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是多少？(4)經(jīng)過多長時間小球往復振動一次？【答案】（1）略（2）2eq\r(3)cm.（3）小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是4cm和－4cm.（4）πs.【解析】(1)列表如下：t－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2t＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))010－10s040－40描點、連線，圖象如圖所示．(2)將t＝0代入s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3)，所以小球開始振動時的位移是2eq\r(3)cm.(3)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是4cm和－4cm.(4)因為振動的周期是π，所以小球往復振動一次所用的時間是πs.解題技巧：（處理物理學問題的策略）處理物理學問題的策略(1)常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等，其共同的特點是具有周期性．(2)明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數(shù)知識結(jié)合解題．跟蹤訓練一1．單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的距離s(單位：cm)和時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))).(1)當單擺開始擺動(t＝0)時，離開平衡位置的距離是多少？(2)當單擺擺動到最右邊時，離開平衡位置的距離是多少？(3)單擺來回擺動一次需多長時間？【答案】(1)3cm；(2)6cm；(3)1s.【解析】(1)由s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))得t＝0時，s＝6sineq\f(π,6)＝3(cm)，所以單擺開始擺動時，離開平衡位置的距離是3cm；(2)由解析式知，振幅為6，∴單擺擺動到最右邊時，離開平衡位置的距離是6cm；(3)T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2π)＝1，即單擺來回擺動一次需1s.題型二三角函數(shù)模型的實際應用例2如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)．（1）求這一天6～14時的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式【答案】（1）；（2）∴?！窘馕觥浚?）由圖可知：這段時間的最大溫差是；（2）從圖可以看出：從6～14是的半個周期的圖象，∴∴∵，∴又∵∴∴將點代入得：，∴，∴，取，∴。解題技巧：(解三角函數(shù)應用問題的基本步驟)解三角函數(shù)應用問題的基本步驟提醒：關(guān)注實際意義求準定義域．跟蹤訓練二1.已知某海濱浴場的海浪高度y(m)是時間t(h)的函數(shù)，其中0≤t≤24，記y＝f(t)，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的圖象可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b的圖象．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)根據(jù)規(guī)定，當海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？【答案】(1)T＝12，振幅為eq\f(1,2)，函數(shù)解析式為y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(2)在規(guī)定時間內(nèi)只有6個小時沖浪愛好者可以進行活動，即9＜t＜15.【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)可知，T＝12，∴ω＝eq\f(π,6).又t＝0時，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3時，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅為eq\f(1,2)，函數(shù)解析式為y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(2)∵y＞1時，才對沖浪愛好者開放，∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1＞1，coseq\f(π,6)t＞0，2kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(π,6)t＜2kπ＋eq\f(π,2)，即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在規(guī)定時間內(nèi)只有6個小時沖浪愛好者可以進行活動，即9＜t＜15.五、課堂小結(jié)讓學生總結(jié)本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設計5.7三角函數(shù)的應用5.7三角函數(shù)的應用1.解題步驟例1例2七、作業(yè)課本249頁習題5.7.【教學反思】以問題引導教學，讓學生聽有所思，思有所獲，獲有所感。問題串的設計，使學習內(nèi)容在難度和強度上循序漸進而又螺旋上升，并通過互動逐一達成教學目標，突出重點，突破難點，較好的提高了課堂教學的有效性?！?.7三角函數(shù)的應用》導學案【學習目標】知識目標1.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會用三角函數(shù)模型解決一些簡單的實際問題．2．實際問題抽象為三角函數(shù)模型．核心素養(yǎng)1.邏輯抽象：實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題；2.數(shù)據(jù)分析：分析、整理、利用信息，從實際問題中抽取基本的數(shù)學關(guān)系來建立數(shù)學模型；3.數(shù)學運算：實際問題求解；4.數(shù)學建模：體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學建模思想，提高學生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.【重點與難點】重點：了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會用三角函數(shù)模型解決一些簡單的實際問題；難點：實際問題抽象為三角函數(shù)模型.【學習過程】一、預習導入閱讀課本242-245頁，填寫。1．三角函數(shù)可以作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型．其基本模型可化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．2．解三角函數(shù)應用題的基本步驟：(1)審清題意；(2)搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學模型；(3)討論變量關(guān)系，求解數(shù)學模型；(4)檢驗，作出結(jié)論．【小試牛刀】1．電流I(A)隨時間t(s)變化的關(guān)系是I＝2sin100πt，t∈(0，＋∞)，則電流I變化的周期是()A．eq\f(1,100)B．100C．eq\f(1,50)D．502.如圖所示，一個單擺以OA為始邊，OB為終邊的角θ(－π＜θ＜π)與時間t(s)滿足函數(shù)關(guān)系式θ＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,2)))，則當t＝0時，角θ的大小及單擺頻率是()A．eq\f(1,2)，eq\f(1,π)B．2，eq\f(1,π)C.eq\f(1,2)，πD．2，π3．如圖為某簡諧運動的圖象，則這個簡諧運動需要________s往返一次．4．如圖所示的圖象顯示的是相對于平均海平面的某海灣的水面高度y(m)在某天24h內(nèi)的變化情況，則水面高度y關(guān)于從夜間0時開始的時間x的函數(shù)關(guān)系式為________________．【自主探究】題型一三角函數(shù)模型在物理學中的應用例1已知彈簧上掛著的小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時間t(s)的變化規(guī)律為s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．(1)用“五點法”作出這個函數(shù)的簡圖；(2)小球在開始振動(t＝0)時的位移是多少？(3)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是多少？(4)經(jīng)過多長時間小球往復振動一次？跟蹤訓練一1．單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的距離s(單位：cm)和時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))).(1)當單擺開始擺動(t＝0)時，離開平衡位置的距離是多少？(2)當單擺擺動到最右邊時，離開平衡位置的距離是多少？(3)單擺來回擺動一次需多長時間？題型二三角函數(shù)模型的實際應用例2如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)．（1）求這一天6～14時的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式跟蹤訓練二1.已知某海濱浴場的海浪高度y(m)是時間t(h)的函數(shù)，其中0≤t≤24，記y＝f(t)，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的圖象可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b的圖象．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)根據(jù)規(guī)定，當海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？【課堂檢測】1．與圖中曲線對應的函數(shù)解析式是()A．y＝|sinx| B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx|2．某人的血壓滿足函數(shù)式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)為血壓，t為時間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為()A．60B．70C．80D．903．一彈簧振子的位移y與時間t的函數(shù)關(guān)系式為y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若彈簧振子運動的振幅為3，周期為eq\f(2π,7)，初相為eq\f(π,6)，則這個函數(shù)的解析式為________．4．一根長lcm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時離開平衡位置的位移s(cm)與時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g(shù)是重力加速度，當小球擺動的周期是1s時，線長l＝________cm.5．如圖，某動物種群數(shù)量1月1日低至700，7月1日高至900，其總量在此兩值之間依正弦型曲線變化．(1)求出動物種群數(shù)量y關(guān)于時間t的函數(shù)表達式；(其中t以年初以來的月為計量單位)(2)估計當年3月1日動物種群數(shù)量．答案小試牛刀1．C2.A3．0.8.4．y＝－6sineq\f(π,6)x.自主探究例1【答案】（1）略（2）2eq\r(3)cm.（3）小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是4cm和－4cm.（4）πs.【解析】(1)列表如下：t－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2t＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))010－10s040－40描點、連線，圖象如圖所示．(2)將t＝0代入s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3)，所以小球開始振動時的位移是2eq\r(3)cm.(3)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是4cm和－4cm.(4)因為振動的周期是π，所以小球往復振動一次所用的時間是πs.跟蹤訓練一1．【答案】(1)3cm；(2)6cm；(3)1s.【解析】(1)由s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))得t＝0時，s＝6sineq\f(π,6)＝3(cm)，所以單擺開始擺動時，離開平衡位置的距離是3cm；(2)由解析式知，振幅為6，∴單擺擺動到最右邊時，離開平衡位置的距離是6cm；(3)T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2π)＝1，即單擺來回擺動一次需1s.例2【答案】（1）；（2）∴。【解析】（1）由圖可知：這段時間的最大溫差是；（2）從圖可以看出：從6～14是的半個周期的圖象，∴∴∵，∴又∵∴∴將點代入得：，∴，∴，取，∴。跟蹤訓練二1.【答案】(1)T＝12，振幅為eq\f(1,2)，函數(shù)解析式為y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(2)在規(guī)定時間內(nèi)只有6個小時沖浪愛好者可以進行活動，即9＜t＜15.【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)可知，T＝12，∴ω＝eq\f(π,6).又t＝0時，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3時，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅為eq\f(1,2)，函數(shù)解析式為y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(2)∵y＞1時，才對沖浪愛好者開放，∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1＞1，coseq\f(π,6)t＞0，2kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(π,6)t＜2kπ＋eq\f(π,2)，即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)