數(shù)學(xué)九年級上冊知識點(diǎn)總結(jié)

初中數(shù)學(xué)九上知識點(diǎn)總結(jié)二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與y=ax2+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次函數(shù)的概念

1.二次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c為常數(shù)）的函數(shù)是二次函數(shù).若b=0，則y=ax2+c；若c=0，則y=ax2+bx；若b=c=0，則y=ax2.以上三種形式都是二次函數(shù)的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函數(shù)的一般式.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要點(diǎn)詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時(shí)就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時(shí)都為零．a(chǎn)的絕對值越大，拋物線的開口越小.2.二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：（，，為常數(shù)，）；2.頂點(diǎn)式：（，，為常數(shù)，）；3.兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）（或稱交點(diǎn)式）.要點(diǎn)詮釋：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二次函數(shù)y=a（x-h)2+k(a≠0)的圖象與性質(zhì)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、函數(shù)與函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.函數(shù)的圖象與性質(zhì)的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．2.函數(shù)的圖象與性質(zhì)的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．要點(diǎn)詮釋：二次函數(shù)的圖象常與直線、三角形、面積問題結(jié)合在一起，借助它的圖象與性質(zhì)．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想解決問題．要點(diǎn)二、二次函數(shù)的平移1.平移步驟：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．要點(diǎn)詮釋：⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）⑵沿x軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系1.頂點(diǎn)式化成一般式

從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(diǎn)(h，k)，所以我們稱為頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)式去括號，合并同類項(xiàng)就可化成一般式．2.一般式化成頂點(diǎn)式．對照，可知，．∴拋物線的對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．要點(diǎn)詮釋：1．拋物線的對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，可以當(dāng)作公式加以記憶和運(yùn)用．2．求拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．

要點(diǎn)二、二次函數(shù)的圖象的畫法1.一般方法：列表、描點(diǎn)、連線；2.簡易畫法：五點(diǎn)定形法.其步驟為：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸，在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對稱軸．(2)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個交點(diǎn)A、B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)D，將A、B、C、D及M這五個點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來．要點(diǎn)詮釋：當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點(diǎn)或無交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對稱點(diǎn)D，由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點(diǎn)A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖象，要點(diǎn)三、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．簡記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，2.二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號之間的關(guān)系項(xiàng)目字母字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號)對稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a，b異號)對稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過原點(diǎn)c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)b2-4ac＞0與x軸有兩個交點(diǎn)b2-4ac＜0與x軸沒有交點(diǎn)要點(diǎn)四、求二次函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ㄈ绻宰兞康娜≈捣秶侨w實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大（或最?。┲?，即當(dāng)時(shí)，．要點(diǎn)詮釋：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時(shí)，；當(dāng)x＝x1時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x1時(shí)，；當(dāng)x＝x2時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時(shí)y值的情況．待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1.二次函數(shù)解析式常見有以下幾種形式：(1)一般式：(a，b，c為常數(shù)，a≠0)；(2)頂點(diǎn)式：(a，h，k為常數(shù)，a≠0)；(3)交點(diǎn)式：(，為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0)．2.確定二次函數(shù)解析式常用待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的步驟如下第一步，設(shè)：先設(shè)出二次函數(shù)的解析式，如或，或，其中a≠0；第二步，代：根據(jù)題中所給條件，代入二次函數(shù)的解析式中，得到關(guān)于解析式中待定系數(shù)的方程(組)；第三步，解：解此方程或方程組，求待定系數(shù)；第四步，還原：將求出的待定系數(shù)還原到解析式中．要點(diǎn)詮釋：在設(shè)函數(shù)的解析式時(shí)，一定要根據(jù)題中所給條件選擇合適的形式：①當(dāng)已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為；②當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最大值、最小值時(shí)．可設(shè)函數(shù)的解析式為；③當(dāng)已知拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為．用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況

求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時(shí)二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且，此時(shí)稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實(shí)數(shù)根）要點(diǎn)詮釋：

二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)由的值來確定的.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個不相等的實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個相等的實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，，方程沒有實(shí)根.

2.拋物線與直線的交點(diǎn)問題拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)就是拋物線與直線的交點(diǎn)問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點(diǎn)和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點(diǎn)是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點(diǎn)個數(shù)由方程組的解的個數(shù)決定．當(dāng)方程組有兩組不同的解時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)；當(dāng)方程組有兩組相同的解時(shí)兩函數(shù)圖象只有一個交點(diǎn)；當(dāng)方程組無解時(shí)兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)．總之，探究直線與拋物線的交點(diǎn)的問題，最終是討論方程(組)的解的問題．要點(diǎn)詮釋：求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題或者將求方程組的解的問題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點(diǎn)問題．要點(diǎn)二、利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解

用圖象法解一元二次方程的步驟：

1.作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點(diǎn)個數(shù)，即方程解的個數(shù)；

2.確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大致范圍；

3.在(2)確定的范圍內(nèi)，用計(jì)算器進(jìn)行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應(yīng)的y值．

4.確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對應(yīng)的x值即是一元二次方的近似根．

要點(diǎn)詮釋：

求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）：

(1)直接作出函數(shù)的圖象，則圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；

(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺?biāo)系中畫出拋物線和直線圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；

(3)將方程化為，移項(xiàng)后得，設(shè)和，在同一坐標(biāo)系中畫出拋物線和直線的圖象，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根.要點(diǎn)三、拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)之間的距離公式當(dāng)△＞0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，．∴即（△＞0）要點(diǎn)四、拋物線與不等式的關(guān)系二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關(guān)系如下：判別式拋物線與x軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無解△＜0全體實(shí)數(shù)無解注：a＜0的情況請同學(xué)們自己完成．要點(diǎn)詮釋：拋物線在x軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為負(fù)，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果帶有等號，其解集也相應(yīng)帶有等號．實(shí)際問題與二次函數(shù)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、列二次函數(shù)解應(yīng)用題

列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式．對于應(yīng)用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)．(2)設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確．(3)列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題。(5)檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問題的答案．(6)寫出答案．要點(diǎn)詮釋：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實(shí)際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

要點(diǎn)二、建立二次函數(shù)模型求解實(shí)際問題一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題．要點(diǎn)詮釋：(1)利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.(2)對于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到高處理好如下三個方面的問題：

①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；

②學(xué)會從實(shí)際問題中建立二次函數(shù)的模型；

③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實(shí)際問題.反比例函數(shù)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、反比例函數(shù)的定義如果兩個變量的每一組對應(yīng)值的乘積是一個不等于零的常數(shù)，那么就說這兩個變量成反比例.即，或表示為，其中是不等于零的常數(shù).一般地，形如(為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).要點(diǎn)詮釋：（1）在中，自變量是分式的分母，當(dāng)時(shí)，分式無意義，所以自變量的取值范圍是，函數(shù)的取值范圍是.故函數(shù)圖象與軸、軸無交點(diǎn).（2）()可以寫成()的形式，自變量的指數(shù)是－1，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)這一條件.（3）()也可以寫成的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)的比例系數(shù)，從而得到反比例函數(shù)的解析式.要點(diǎn)二、確定反比例函數(shù)的關(guān)系式確定反比例函數(shù)關(guān)系式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要知道一對的對應(yīng)值或圖象上的一個點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，從而確定其解析式.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式的一般步驟是：（1）設(shè)所求的反比例函數(shù)為：()；（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入關(guān)系式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；（3）解方程求出待定系數(shù)的值；（4）把求得的值代回所設(shè)的函數(shù)關(guān)系式中.要點(diǎn)三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1、反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，永遠(yuǎn)不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標(biāo)軸.要點(diǎn)詮釋：（1）若點(diǎn)()在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)()也在此圖象上，所以反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；（2）在反比例函數(shù)(為常數(shù)，)中，由于，所以兩個分支都無限接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到軸和軸．2、畫反比例函數(shù)的圖象的基本步驟：（1）列表：自變量的取值應(yīng)以O(shè)為中心，在0的兩側(cè)取三對（或三對以上）互為相反數(shù)的值，填寫值時(shí)，只需計(jì)算右側(cè)的函數(shù)值，相應(yīng)左側(cè)的函數(shù)值是與之對應(yīng)的相反數(shù)；（2）描點(diǎn)：描出一側(cè)的點(diǎn)后，另一側(cè)可根據(jù)中心對稱去描點(diǎn)；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點(diǎn)并延伸，連線時(shí)要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標(biāo)軸的趨勢，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交；（4）反比例函數(shù)圖象的分布是由的符號決定的：當(dāng)時(shí)，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)．3、反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；要點(diǎn)詮釋：反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù)的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出的符號.要點(diǎn)四：反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義過雙曲線()上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線()上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.要點(diǎn)詮釋：只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點(diǎn)的位置如何變化，這一點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的垂線和兩坐標(biāo)軸圍成的面積始終是不變的.實(shí)際問題與反比例函數(shù)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題基本思路：建立函數(shù)模型，即在實(shí)際問題中求得函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識解決問題.一般步驟如下：（1）審清題意，根據(jù)常量、變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示.（2）由題目中的已知條件，列出方程，求出待定系數(shù).（3）寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍.（4）利用函數(shù)解析式、函數(shù)的圖象和性質(zhì)等去解決問題.要點(diǎn)二、反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用當(dāng)圓柱體的體積一定時(shí)，圓柱的底面積是高的反比例函數(shù)；當(dāng)工程總量一定時(shí)，做工時(shí)間是做工速度的反比例函數(shù)；在使用杠桿時(shí)，如果阻力和阻力臂不變，則動力是動力臂的反比例函數(shù)；電壓一定，輸出功率是電路中電阻的反比例函數(shù).比例線段【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似形1.相似的圖形在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形.要點(diǎn)詮釋：

(1)相似的圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個圖形是全等形.2.相似多邊形一般地，兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊長度的比相等，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對應(yīng)邊長度的比叫做相似比或相似系數(shù).要點(diǎn)詮釋：相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．要點(diǎn)二、比例線段1.兩條線段的比：用同一個長度單位去度量兩條線段a，b，得到它們的長度，我們把這兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比.記作或a:b.2．成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段a，b的比等于另外兩條線段c，d的比，即，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．這時(shí)，線段叫做組成比例的項(xiàng)，線段叫做比例外項(xiàng)，線段叫做比例內(nèi)項(xiàng).如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的兩條線段是相等的，即之間有，那么線段b叫做線段的比例中項(xiàng).3．比例的性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)如果，那么（≠0）.反之也成立，即如果，那么（≠0）.（2）合比性質(zhì)如果（≠0）（3）等比性質(zhì)如果，≠0，那么.要點(diǎn)詮釋：（1）兩條線段的長度必須用同一長度單位表示，若單位長度不同，先化成同一單位，再求它們的比；（2）兩條線段的比，沒有長度單位，它與所采用的長度單位無關(guān)；（3）兩條線段的長度都是正數(shù)，所以兩條線段的比值總是正數(shù)．要點(diǎn)三、黃金分割1.定義：把一條線段分成兩部分，使其中較長線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)這樣的線段分割叫做黃金分割，分割點(diǎn)叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，比值叫做黃金數(shù).要點(diǎn)詮釋：≈0.618.2.作一條線段的黃金分割點(diǎn)：圖4－7如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：（1）經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個.平行線分三角形兩邊成比例【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)、平行線分線段成比例1.基本事實(shí)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.2.推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.要點(diǎn)詮釋：(1)主要的基本圖形：分A型和X型；A型X型（2）常用的比例式：.相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形的性質(zhì)1．相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對應(yīng)”兩個字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段.3.相似三角形周長的比等于相似比∽，則由比例性質(zhì)可得：4.相似三角形面積的比等于相似比的平方∽，則分別作出與的高和，則要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.要點(diǎn)二、相似三角形的應(yīng)用1.測量高度測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長的比例相等”的原理解決.要點(diǎn)詮釋：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法影子測量法手臂測量法標(biāo)桿測量法2.測量距離測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。

1．如甲圖所示，通?？上葴y量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長.2．如乙圖所示，可先測AC、DC及DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算AB的長.

要點(diǎn)詮釋：1．比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實(shí)際距離;

2．太陽離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽光近似看成平行光線．在同一時(shí)刻，兩物體影子之比等于其對應(yīng)高的比;

3．視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時(shí)，視線與水平方向的夾角．

相似三角形的判定【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形我們把形狀相同的兩個三角形叫做相似三角形.如圖，與相似，記作“∽”.其中“∽”讀作“相似于”.對于∽，根據(jù)相似形的定義，應(yīng)該有我們把k叫做與的相似比，要點(diǎn)詮釋：

(1)書寫兩個三角形相似時(shí)，要注意對應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即∽，則說明點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是B′，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是C′；(2)對于相似比，要注意順序和對應(yīng)的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形的對應(yīng)邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個三角形全等.要點(diǎn)二、相似三角形的判定1.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，截得的三角形和原三角形相似.2．定理1如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似（可以簡單說成：兩角分別相等的兩個三角形相似）.3．定理2如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似.（可以簡單說成：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似）.要點(diǎn)詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.4．定理3如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似.（可以簡單說成：三邊成比例的兩個三角形相似）.5.如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.要點(diǎn)三、相似三角形的常見圖形及其變換：圖形的位似【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、位似多邊形1.位似多邊形定義:如果兩個相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個點(diǎn)O，且每組對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)O點(diǎn)的距離之比都等于一個定值k，例如，如下圖，OA′=k·OA（k≠0），那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)O叫做位似中心.要點(diǎn)詮釋：位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)相交于同一點(diǎn)，此點(diǎn)就是位似中心；

（2)位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.3.平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)和位似四種變換的異同：圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱的變換后，雖然對應(yīng)位置改變了，但大小和形狀沒有改變，即兩個圖形是全等的；而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的．4.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接各對應(yīng)點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位似中心不同的畫法.要點(diǎn)二、坐標(biāo)系中的位似圖形在平面直角坐標(biāo)系中，將一個多邊形每個頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘同一個數(shù)k(k≠0)，所對應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比為|k|.要點(diǎn)詮釋：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)等于原來點(diǎn)的坐標(biāo)乘以（或除以）k或-k.銳角三角函數(shù)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．

銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；．從正弦、余弦、正切的定義看到，任意給定一個銳角A，都有唯一的比值sinA（或cosA、tanA）與它對應(yīng)，因此我們把銳角的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱為銳角三角函數(shù).

要點(diǎn)詮釋：

(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化．(2)sinA，cosA，tanA分別是一個完整的數(shù)學(xué)符號，是一個整體，不能寫成，，

，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時(shí)習(xí)慣上省略∠A的角的記號“∠”，但對三個大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應(yīng)寫成“tan∠AEF”，不能寫成“tanAEF”；另外，、、常寫成、、．

(3)任何一個銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個角不在某個三角形中而不存在．

(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0°<∠A<90°間變化時(shí)，，，tanA＞0．要點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°要點(diǎn)詮釋：

(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個應(yīng)用就是：如果知道了一個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．

(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)：、、的值依次為、、，而、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)；②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．（3）在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半.

要點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°則存在以下關(guān)系：

(1)互余關(guān)系：，；

(2)平方關(guān)系：；

(3)倒數(shù)關(guān)系：或；

(4)商數(shù)關(guān)系：．

要點(diǎn)詮釋：

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中，計(jì)算時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡便．

解直角三角形及其應(yīng)用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、解直角三角形

設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：，，，

，，.

④，h為斜邊上的高.在直角三角形中，除直角外的5個元素（3條邊和2個銳角），只要知道其中的2個元素（至少有一個是邊），利用上述關(guān)系式，就可以求出其余的3個未知元素，這叫作解直角三角形.

要點(diǎn)詮釋：

(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可