中職數(shù)學(xué)平面向量習(xí)題及答案數(shù)學(xué)向量專項訓(xùn)練套試題分步訓(xùn)練含答案

向量第一套：向量的概念、表示和線性運算第二套：向量的加法與減法第三套：向量的坐標表示、數(shù)量積和應(yīng)用第四套：平面向量的坐標表示經(jīng)典例題第五套：實數(shù)和向量的積經(jīng)典例題第六套：向量綜合練習(xí)題專題三《向量的概念、表示和線性運算》綜合檢測一、選擇題，本大題共10小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.下列命題正確的是（）A.單位向量都相等B.長度相等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量C.若a，b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>bD.對于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|當|a|=|b|≠0且a、b不共線時，a+b與a－b的關(guān)系是（）A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.相等3．下列命題中正確的是()A．若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合B．模相等的兩個平行向量是相等向量C．若a和b都是單位向量，則a＝bD．兩個相等向量的模相等4．已知A、B、C三點不共線，O是△ABC內(nèi)的一點，若++=0，則O是△ABC的（）A.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心若||=8，||=5，則||的取值范圍是（）A.［3，8］ B.（3，8）C.［3，13］ D.（3，13）已知AM是△ABC的BC邊上的中線，若=a,=b，則等于（）A.(a-b)B.(b-a) C.(a+b) D.(a+b)已知=a，=b,=c,=d,且四邊形ABCD為平行四邊形，則（）A.a+b+c+d=0 B.a－b+c－d=0C.a+b－c－d=0 D.a－b－c+d=08．已知O是平行四邊形ABCD對角線的交點，則下面結(jié)論中不正確的是()A.B.C.D.09．下列各式結(jié)果是的是()A.B.C.D.10．在四邊形ABCD中，若，則此四邊形是()A．平行四邊形B．菱形C．梯形D．矩形二、填空題,本大題共4小題，每小題3分，滿分12分，把正確的答案寫在題中橫線上.11．化簡：（1）（）－()=.（2）.12．已知：D為△ABC的邊BC上的中點，E是AD上的一點，且=3，若=a，則++=_____________.（用a表示）13．若a、b是不共線向量，p＝2a－3b，q＝－a＋5b，x，y∈R，xp＋yq＝2a－b，則x＝.14．如圖，設(shè)點P、Q是線段AB的三等分點，若＝a，＝b，則＝，OAPQBab＝(用OAPQBab三、解答題,本大題共4小題，每小題12分，共48分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟.15.(本題滿分12分)已知在矩形ABCD中，寬為2，長為,a,b,c,試作出向量a+b+c，并求出其模的大小.AABCDabc16．(本題滿分12分)已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點分別為E、F，求證：.17．(本題滿分14分)向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3，問a能否表示a＝b＋c的形式？若能，寫出表達式；若不能，說明理由.18．(本題滿分14分)設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線，如果=2e1+3e2，=6e1+23e2,=4e1－8e2，求證：A、B、D三點共線．專題三《向量的概念、表示和線性運算》綜合檢測參考答案一、選擇題題號12345678910答案DBDACDAABC二、填空題11.(1)0(2)12.a13.14.,三、解答題15.816.略17.18.略向量的加法與減法綜合訓(xùn)練卷（120分鐘，滿分150分）一、選擇題（每題5分，共60分）1．下列命題中，正確的是（）A．B．C．D．若且，則2．化簡以下各式：（1）；（2）；（3）；（4）。結(jié)果為零向量的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．43．若，且，則的值是（）A．必小于5B．必大于10C．有可能為0D．不可能為04．若，，則的取值范圍是（）A．[3，8]B．（3，8）C．[3，13]D．（3，13）5．在平行四邊形ABCD中，若，則必有（）A．ABCD是菱形B．ABCD是梯形C．ABCD是正方形D．ABCD是矩形6．把所有單位向量的起點平移到同一點P，各向量終點的集合構(gòu)成什么圖形（）A．點PB．過點P的一條直線C．過點P的一條射線D．以點P為圓心，1為半徑的圓7．下列有關(guān)零向量的說法正確的是（）A．零向量是無長度，無方向的向量B．零向量是無長度，有方向的向量C．零向量是有長度，無方向的向量D．零向量是有長度，有方向的向量8．已知，，則的取值范圍是（）A．[2，12]B．（2，12）C．[2，7]D．（2，7）9．“”是“A，B，C是三角形三個頂點的”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件10．已知兩個向量，，則下列說法正確的是（）A．向量可以比較大小B．向量不可以比較大小，但是模可以比較大小C．當，是共線向量時，可以比較大小D．當，兩個向量中，有一個是零向量時，可以比較大小11．一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為2km/h。則船實際航行速度大小和方向（用與流速間的夾角表示）A．大小為4km/h，方向與流速夾角為60°B．大小為，方向與流速夾角為60°C．大小為4km/4，方向垂直于對岸D．大小為，方向垂直于對岸12．已知向量，，則下列有關(guān)與的說法正確的是（）A．兩者必不相等B．>C．兩者可能相等D．無法比較大小二、填空題（每題4分，共16分）13．如圖5—5，在ABCD中，已知=，，則=_______，=_______。14．已知為與的和向量，且=，則=______，=________。15．把平行于直線l的所有向量的起點移到l上的點P，則所有向量的終點構(gòu)成圖形_______。16．已知，是非零向量，則=時，應(yīng)滿足條件________。三、解答題（共74分）17．一輛火車向東行駛400km后，改變方向向北行駛400km，求火車行駛的路程及兩次位移之和。（10分）18．飛機按東偏北25°從甲地飛行300km到達乙地，再從乙地按北偏西25°飛行400km到達丙地，求甲丙兩地之間的距離。（12分）19．一艘船以7km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為3km/h。求航船實際航行速度大小和方向。（12分）20．飛機從A地按北偏西75°的飛向飛行400km后到達B地，然后向C地飛行。已知C地從A地西偏南30°的方向處，且A，C兩地相距為，求飛機從B地向C地飛行的方向，及B，C兩地的距離。（12分）21．已知O為△ABC的外心，H為垂心，求證：。（14分）22．在傾角為30°的斜面上有一塊堅直放置的擋板，在擋板和斜面之間有一個重為20N的光滑圓球，求這個球?qū)π泵娴膲毫蛯醢宓膲毫?。?4分）參考答案一、1．C2．D3．D4．C5．D6．D7．D8．A9．B10．B11A．12．C二、13．—，2—14．15．直線l16．與反向三、17．火車兩次行駛路程為800km，因為位移是向量，則兩次位移之和為，方向是東偏北45°。18．500km，甲、乙兩地的連線與乙、丙兩地連線垂直。19．航船實際航速為。方向與河岸夾角為。20．B地飛向C地方向為東偏南60°，距離為。21．略22．球?qū)π泵鎵毫?，對擋板的壓力為[解題點撥]1．選項D中：當=時，對任意向量（非零），，都有∥，∥但此時與不一定平行。3．當A，B，C，D四點位置如圖5—29所示時，>5，排除A。當A，B，C，D四點如圖5—30時：<10，排除B。假設(shè)=0，則A、D兩點重合，由∴4．∵當，同向時，=8-5=3；當，反向時，=8+5=13；，當，不平行時，3<<13。結(jié)上可知3≤|BC|≤13∴應(yīng)選C注意：本題要根據(jù)問題的實際作好分類討論，作到分類不漏不重。7．零向量是特殊向量，符合向量的定義，零向量的長度為0，零向量的方向是任意的。8．（1）若與共線：①與同向時：②與反向時：（2）若與不共線，則由向量的可平移性及向量的三角形法則知：11．速度是向量，利用向量加法的平行四邊形法則或三角形法則求解。12．分“與共線與不共線”兩種情況進行討論，與共線時又分同向與異向進行討論。當與共線且同向時：若≥，則=。以下16題類似求解。14．利用向量加、減法的三角形法則求解。20．準確畫出圖形后，經(jīng)分析、計算知：△ACB是等腰直角三角形，故21．由圖形可知，與，，之間不存在表面上的聯(lián)系，要借助圓來找到它們的內(nèi)在聯(lián)系，由三角形法則可知=+，而H總是△ABC的垂心，說明AH與BC垂直，利用這一關(guān)系來尋找與，間的聯(lián)系。△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，可連接OB并延長它交圓于D點，由圓的知識可知DC與BC垂直，則與的方向相同。同時由圖可知與的方向相同，四個點A，H，D，C可以構(gòu)成平行四邊形，與方向相同，大小相等是相等向量，而=—，向量與方向相反，大小相等是相反向量，=+。通過圖形的分析，可以找出四個向量之間的聯(lián)系，可以解決問題。本題在分析圖形的基礎(chǔ)上，借助向量的方法，解決幾何問題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，是向量考查中的一個難點。22．本題考查向量加法、減法在實際物理問題中的運用。力是一個既有大小又有方向的量，它是一個向量。力的分解也就是向量的分解。已知了重力，即已知了兩個向量的和，利用直角三角形求兩個向量的大小。先畫出草圖，利用平面幾何的知識分析直角三角形的內(nèi)角，再要求直角三角形中斜邊與直角邊的關(guān)系，求出兩個分力的大小。高考在考查向量加、減法的運算中，一般不會直接考查，會借助一些實際的應(yīng)用問題來考查向量的加、減法。專題四《向量的坐標表示、數(shù)量積和應(yīng)用》綜合檢測一、選擇題，本大題共10小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知兩點，，，則P點坐標是（）A．B．C．D．2.若i=(1,0),j=(0,1)，則與2i+3j垂直的向量是()A．3i+2j B．－2i+3j C．－3i+2j D．2i－3j3．a(chǎn)，b，則向量a在向量b方向上的投影長度為（）A．B．C．D．4.設(shè)a，b,且a//b，則銳角為（）A．B．C．D．5.已知a2，b2，(a－b)·a=0，則a與b的夾角是（）A．B．C．D．6．已知a，b，當a+2b與2a－b共線時，值為（）A．1B．2C．D．7．O為平面中一定點，動點P在A、B、C三點確定的平面內(nèi)且滿足（）·（）=0，則點P的軌跡一定過△ABC的（）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心8．向量與向量c ()A．一定平行但不相等 B．一定垂直C．一定平行且相等 D．無法判定9．己知P1(2,－1)、P2(0,5)且點P在P1P2的延長線上,,則P點坐標為()A．(－2,11) B．( C．(,3) D．(2,－7)9．已知A(0,3)、B(2,0)、C(－1,3)與方向相反的單位向量是 ()A．(0,1) B．(0,－1) C．(－1,1) D．(1,－1)二、填空題,本大題共小題，每小題3分，滿分12分，把正確的答案寫在題中橫線上.11．若a，b，c，且c=ma+nb，則，.12.在中，O為中線上一個動點，若，則的最小值是.13.己知,把向量繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),得到向量,則向量14．在中，有命題：①；②0；③若，則為等腰三角形；④若，則為銳角三角形.其中正確的命題序號是.（把你認為正確的命題序號都填上）三、解答題,本大題共4小題，每小題12分，共48分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟.15.已知(1)求；(2)當k為何實數(shù)時,ka－b與a+3b平行,平行時它們是同向還是反向？16.已知a、b、c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a.若，且c//a，求c的坐標；若b且a+2b與a-2b垂直，求a與b的夾角.17.已知a與b的夾角為,若向量2a+kb與a+b垂直,求實數(shù)k的值.18.如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2+c2=5a2,BE、CF分別為AC邊與AB邊上的中線,求證：BE⊥CF.（請用所學(xué)過的向量知識加以證明）.專題四《向量的坐標表示、數(shù)量積和應(yīng)用》綜合檢測參考答案一、選擇題題號12345678910答案BCBCCDDBAA二、填空題11.2,512.－213.(－2,1)14.②③三、解答題15.(1)(2),反向16.(1)(2,4)或(－2，－4)(2)17.－518.略平面向量的坐標表示【基礎(chǔ)知識精講】1.平面向量的坐標表示：在平面直角坐標系內(nèi)，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量、作為基底，對任一向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)(x,y)，使得=x+y,則實數(shù)對(x,y)叫做向量的直角坐標(簡稱坐標)，記作=(x,y)，其中x和y分別稱為向量的x軸上的坐標與y軸上的坐標，而=(x,y)稱為向量的坐標表示.相等的向量其坐標相同.同樣，坐標相同的向量是相等的向量.顯然=(1,0),=(0,1),=(0,0)2.平面向量的坐標運算：(1)兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差：±=(x1±x2,y1±y2)(其中=(x1,y2)、=(x2,y2)).(2)一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標.如果A(x1，y1)、(x2,y2)，則=(x1-x2,y1-y2)(3)實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘以原來向量的相應(yīng)坐標.若=(x,y),則λ=(λx,λy)3.向量平行的坐標表示已知向量、(≠)，則∥的充要條件為存在實數(shù)λ，使=λ.如果=(x1,y1),=(x2,y2)(≠)則∥的充要條件為：x1y2-x2y1=0.平面向量的坐標表示，實際是向量的代數(shù)表示，此入向量的坐標表示以后，可以使向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來，這樣很多的幾何問題的證明，就可以轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的數(shù)量的運算.兩個向量相加減，是這兩個向量的對應(yīng)坐標相加減，這個結(jié)論可以推廣到有限個向量相加減.【重點難點解析】1.向量的坐標與表示該向量的有向線段的起始點的具體位置沒有關(guān)系，只與其相對位置有關(guān)系，即兩個向量不論它們的起始點坐標是否相同，只要這兩個向量的坐標相同，那么它們就是相等向量.兩個向量如果是相等的，那么它們的坐標也應(yīng)該是相同的.2.向量的坐標是終點的坐標減去始點的對應(yīng)坐標，而不是始點的坐標減去終點的坐標.3.實數(shù)λ與向量的積的運算時，λ應(yīng)與的相應(yīng)坐標相乘，以下的結(jié)論都是錯誤的.設(shè)λ∈R，=(x,y)λ=λ(x,y)=(λx,y)或λ=λ(x,y)=(x,λy)例1若向量=(x+3,x2-3x-4)與相等，其中A(1，2)，B(3，2)，則x=例2已知=(3x+4y,-2x-y),=(2x-3y+1,-3x+y+3)，若2=3,試求x與y的值.例3已知平行四邊形三個頂點是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，求第四個頂點的坐標.解：如圖，設(shè)=(3,-2),=(5,-2),=(-1,4),=(x,y)依題意，=或=或=由=，可得：-=-即(5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y)(2,4)=(-1-x,4-y)∴D(-3，0)同理，若=可得：(-4，6)=(5-x,2-y).∴x=9,y=-4,∴D(9,-4)若=可得：(2，4)=(x+1,y-4)∴x=1,y=8.∴D(1,8)∴點D的坐標為(-3，0)或(9，-4)或(1，8)例4已知｜｜=10,=(3,-4),且∥,求.例5已知=(3,2),=(-2,1),=(7,-4),用，表示.例6如圖，已知凸四邊形ABCD中，E、F分別是AB與CD的中點，試證：2=+【難題巧解點拔】例1已知：點A(2，3)、B(5，4)，C(7，10)若=+λ·(λ∈R),試求λ為何值時，點P在一、三象限角平分線上?點P在第三象限內(nèi)?例2如圖已知=,=,=,求證A、B、C三點在一條直線上的充要條件是：有不全為0的實數(shù)m,n,l，使得l+m+n=0且l+m+n=0【典型熱點考題】例1若向量=(1,2),=(x,1),=+2,=2-,且∥，則x=.解：=(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4)=2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3)由∥,一定存在λ∈R，使=λ則有(2x+1,4)=((2-x)λ,3λ)解得：∴應(yīng)填.例2若點A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)，且=2-3，則點D的坐標為.例3若A、B、C三點的坐標分別為(2，-4)，(0，6)，(-8，10)，則+2，-的坐標分別為、.例4已知≠，≠,不平行于,求證：+不平行于-.實數(shù)和向量的積【基礎(chǔ)知識精講】1.實數(shù)與向量的積的定義實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記λ，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)｜λ｜=｜λ｜·｜｜;(2)當λ＞0時，λ的方向與的方向相同；當λ＜0時，λ的方向與的方向相反；當λ=0時，λ=,方向是任意的.2.實數(shù)和向量的積的運算律設(shè)λ、μ為實數(shù)，那么：(1)λ(μa)=λμ(2)(λ+μ)=λ+μ(3)λ(+)=λ+λ3.兩個向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得=λ.4.平面向量基本定理如果，，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使：=λ1+λ2其中不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.注意：(1)平面內(nèi)的任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式.(2)上面分解是唯一的.向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的混合運算稱為向量的線性運算，也叫做向量的初步運算.任一平面直線型圖形都可以表示為某些向量的線性組合.【重點難點解析】1.實數(shù)與向量的積的運算律與實數(shù)乘法的運算律很相似，只是實數(shù)與向量相乘的分配律有兩種不同形式.(λ+μ)=λ+μ和λ(+)=λ+λ；實數(shù)與向量相乘的運算中的關(guān)鍵是等式兩邊向量的模相等的同時，方向也必須相同.2.掌握實數(shù)與向量積的概念，運算及兩個向量共線的充要條件.例1化簡［(4-3)+-(6-7)］=.例2設(shè)，是不共線的兩個向量，已知=2+k，=+,=-2，若A、B、D三點共線，求k的值.例4已知□ABCD，E、F分別是DC和AB的中點，判斷、是否平行?分析：要判斷、是否平行，就是判斷能否用表示出來.解：設(shè)=,=因為E、F分別是DC和AB的中點所以===例5求向量,:【難題巧解點拔】例1設(shè)M為△ABC的重心，證明對任意一點O，有=(++)例2如圖，已知在△ABC中，D是BC上的一點，且=λ.試證：=例3若O、A、B三點不共線，已知=m·+n·,m·n∈R,且m+n=1,那么P點位置如何?請說明理由.例4求證：平行四邊形一頂點和對邊中點的連線三等分此平行四邊形的一條對角線(如圖)【典型熱點考題】例1若=3,=-5且｜｜=｜｜,則四邊形ABCD是()A.平行四邊形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰的梯形例2已知λ，u∈R，則在以下各命題中，正確的命題共有()(1)λ＜0，≠時，λ與的方向一定相反(2)λ＞0，≠時，λ與的方向一定相同(3)λ≠0，≠時，λ與是共線向量(4)λu＞0，≠時，λ與u的方向一定相同(5)λu＜0，≠時，λ與u的方向一定相反A.2個B.3個C.4個D.5個例3梯形ABCD，AB∥CD，且，M、N分別是DC和AB的中點，如圖，若=,=，試用，表示和，則=.高