2023年河南省洛陽市洛龍區(qū)部分學(xué)校中考數(shù)學(xué)一模試卷（含答案）

2023年河南省洛陽市洛龍區(qū)部分學(xué)校中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.（3分）如圖，被墨跡污染的數(shù)可能是（）

-LOJ?~1~~L→-

-1012

?

A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱

3.（3分）世衛(wèi)組織宣布冠狀病毒最大直徑約為0.00000012,〃，“0.00000012”用科學(xué)記數(shù)法

可表示為（）

A.12×10'8B.0.12×IO'6C.I.2×IO-7D.1.2×IO-6

4.（3分）將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則NI的度數(shù)為（）

Y

A.70oB.750C.80°D.85°

5.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a+a=aB.3a-4a=-a

C.（a-3）2=cι2-9D.a3a4=ai2

6.（3分）若事件“關(guān)于X的一元二次方程0r2+4χ-1=0有實(shí)數(shù)根”是必然事件，則。的取

值范圍是（）

A.a<4B.a>-4C.心-4且“W0D.a≤-4且"WO

7.（3分）端午節(jié)又稱端陽節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國(guó)各地都有吃粽子的習(xí)俗.某

超市以9元每袋的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批粽子，售價(jià)定為每袋15元，每天可售出200袋，則可多

售出70袋，問此種粽子售價(jià)降低多少元時(shí)，則可列方程為()

A.(15-%-9)(200+70x)=1360

B.(15-χ)(200+70x)=1360

C.(15-%-9)(200-70%)=1360

D.(15-χ)(200-70%)=1360

8.(3分)在2022年北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大

同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫.如圖(邊長(zhǎng)為4的正六邊形

ABCDEQ放在平面直角坐標(biāo)系中，若A8與X軸垂直(2,-3),則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

A.(2√3-2,3)B.(2-2√3,3)c.(2-√3,3)

D.(2-2√3,2+√3)

9.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABoC的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，∕BOC=60°,

頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,3)K的圖象與菱形對(duì)角線AO交于點(diǎn)。，連接Bzxk的值是()

C.-4√3D.-6√3

10.(3分)老師布置了任務(wù)：過直線AB上一點(diǎn)C作AB的垂線.在沒有直角尺的情況下，

嘉嘉和淇淇利用手頭的學(xué)習(xí)工具給出了如圖所示的兩種方案，下列判斷正確的是()

方案I方案Il

取一根筆直的木棒，在木棒上標(biāo)出M,N兩

①利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD

點(diǎn)

=30c∕n.

①使點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)

②分別以C,C為圓心，以50αn和40c以為

記為點(diǎn)Q.

半徑畫圓弧

②保持點(diǎn)N不動(dòng)，將木棒繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)

③作直線CE,CE即為所求的垂線.

M落在AB上

③將RQ延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截取線段QS=

MN,得到點(diǎn)S.

④作直線SC,SC即為所求直線.

A.I可行、H不可行B.I不可行、I［可行

C.I、∏都不可行D.I、∏都可行

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.（3分）若代數(shù)式√χ-2023有意義,則X的取值范圍是.

12.（3分）分解因式：3川-12=.

13.（3分）如圖是小明的健康綠碼示意圖，用黑白打印機(jī)打印于邊長(zhǎng)為2c“的正方形區(qū)域

內(nèi)，為了估計(jì)圖中黑色部分的總面積，經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率

穩(wěn)定在0.6左右cm2.

14.（3分）如圖1所示，半圓O的直徑A8長(zhǎng)度為6,半徑。CLAB,則所得圖形中重疊部

分的面積為

15.（3分）如圖，∕AOB=30°,點(diǎn)尸在OA上，且CIP=J5，在。8上找點(diǎn)N,以PM為

三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（8分）計(jì)算:

（1）∣-3∣-√16+（-l）20235

22

（2）化簡(jiǎn)求值：（且」1_2）.三二上，其中a從-2,-?,θ,1

aa

17.（9分）“此生無悔入華夏，來世再做中國(guó)人！”自疫情暴發(fā)以來，我國(guó)成功地研發(fā)出了

多種“新冠”疫苗，某小區(qū)管理人員對(duì)小區(qū)居民進(jìn)行了抽樣調(diào)查，按接種情況可分如下

四類：A類一一接種了只需要注射一針的疫苗，且二針之間要間隔一定時(shí)間的疫苗；C

類一一接種了要注射三針；。類一一還沒有接種.圖1與圖2是根據(jù)此次調(diào)查得到的統(tǒng)

計(jì)圖（不完整），請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答下列問題：

接種新冠疫苗

人數(shù)情況的條形統(tǒng)計(jì)圖

（1）此次抽樣調(diào)查的人數(shù)是人;

（2）m=；n=；

（3）為了繼續(xù)宣傳新冠疫苗接種的重要性，小區(qū)管理部門準(zhǔn)備在已經(jīng)接種疫苗的居民中

征集2名志愿宣傳者，現(xiàn)有3男2女共5名居民報(bào)名，求恰好抽到一男和一女的概率是

多少？

18.（9分）在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小敏將兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC和OE尸拼

在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)F重合（如圖1）,其中NACB=NQFE=90°,BC=EF=6cm,并

進(jìn)行如下研究活動(dòng)，將圖1中的紙片。EF沿AC方向平移，BO（如圖2）,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C

重合時(shí)停止平移.

（1）圖2中的四邊形ABCE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由.

（2）當(dāng)紙片OE尸平移到某一位置時(shí)，小敏發(fā)現(xiàn)四邊形ABCE為矩形（如圖3）,求AF

的長(zhǎng).

19.（9分）桔梯俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1,是我國(guó)古代農(nóng)用工具（墨子?備城門），是一

種利用杠桿原理的取水機(jī)械.如圖2所示的是桔椽示意圖，OM是垂直于水平地面的支

撐桿，且AB=5.4米，0A：OB=2：1.當(dāng)點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)A從最高點(diǎn)逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)54.5。到達(dá)最低點(diǎn)4,求此時(shí)水桶B上升的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin37o≈0.6,sin17.5o=O.3,tan37°-0.8）

圖1

20.（9分）如圖，在BC中，AB=AC,過點(diǎn)。作。Ej_4C于點(diǎn)E.

（1）求證：OE是。。的切線；

（2）若A8=AC=6,tan/BAC萼，求OE的長(zhǎng).

21.（9分）2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，任務(wù)取得圓滿成功.航

模店看準(zhǔn)商機(jī)，同樣花費(fèi)320元，購(gòu)進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多4個(gè).

（1）“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？

（2）該航模店計(jì)劃購(gòu)買兩種模型共100個(gè)，且每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為35元，“天宮”

模型的售價(jià)為25元.設(shè)購(gòu)買“神舟”模型0個(gè)

①求w?與"的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出“的取值范圍）；

②若購(gòu)進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的一半，則購(gòu)進(jìn)“神舟”模型多

少個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

22.（10分）如圖，是某水上樂園為親子游樂區(qū)新設(shè)滑梯的示意圖，其中線段南是豎直高

度為6米的平臺(tái)，滑道分為兩部分，其中AB段是雙曲線y」2,BCO段是拋物線的一

X

部分，兩滑道的連接點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，滑道與水平面的交點(diǎn)D距PO的水平距離為

8米，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，距直線P。的水平距離為x?

（1）請(qǐng)求出滑道BCz）段y與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)滑行者滑到C點(diǎn)時(shí)，距地面的距離為1米，求滑行者此時(shí)距滑道起點(diǎn)A的水平

距離；

(3)在建模實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，為保證滑行者的安全，滑道BCO落地點(diǎn)。與最高點(diǎn)8連線與

(1)王老師給愛好學(xué)習(xí)的小明和小穎提出這樣一個(gè)問題：如圖①，在aABC中，AB=

AC,過點(diǎn)P作PD_L48,PELAC,E,過點(diǎn)C作CEIAB,垂足為F.求證：PD+PE=

CF.

小明的證明思路是：

如圖①，連接AP,由4A5P與AACP面積之和等于AABC的面積可以證得：PD+PE=

CF.

小穎的證明思路是:

如圖②，過點(diǎn)尸作PGLCF,垂足為G,PE=CG,貝∣JPD+PE=CF.請(qǐng)你選擇小明、小

穎兩種證明思路中的任意一種

［變式探究］

(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí),問題情境中，求證：PD-PE=CF.

①②

③

④⑤

［結(jié)論運(yùn)用］

(3)如圖④，將矩形ABC。沿E/折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)8上，點(diǎn)P為折痕EF上的任一

點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PGLBE,垂足分別為G,H,若AO=18,求PG+P”的值.

［遷移拓展I

(4)圖⑤是一個(gè)機(jī)器模型的截面示意圖，在四邊形48Cn中，E為AB邊上的一點(diǎn)，EC

VCB,垂足分別為。，C,ΛB=√41c∕n,BD=√26cir，M.N分別為AE,BE的中點(diǎn)，

CN,請(qǐng)直接寫出與ACEN的周長(zhǎng)之和.

2023年河南省洛陽市洛龍區(qū)部分學(xué)校中考數(shù)學(xué)一模試卷

（參考答案）

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.（3分）如圖，被墨跡污染的數(shù)可能是（）

_LQJ__I__

-1012

A.1.5B.0.5C.-1.5D.-0.5

【解答】解：根據(jù)圖示，被墨跡污染的數(shù)大于-1且小于0,

V6.5>0,

???選項(xiàng)A不符合題意；

V4.5>0,

選項(xiàng)B不符合題意;

V-5.5<-1,

?,?選項(xiàng)C不符合題意;

V-4<-0,5<4,

???選項(xiàng)D符合題意.

故選：D,

2.（3分）根據(jù)圖中三視圖可知該幾何體是（）

Δ

A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱

【解答】解：根據(jù)圖中三視圖可知該幾何體是三棱柱.

故選：B.

3.（3分）世衛(wèi)組織宣布冠狀病毒最大直徑約為0.（X）000012機(jī)，“0.00000012”用科學(xué)記數(shù)法

可表示為（）

A.12×108B.0.12×106C.1.2×107D.1.2×10'6

【解答】解：0.00000012=1.7XlO-7.

故選：C.

4.（3分）將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則/1的度數(shù)為（）

C.80°D.85°

VZ2=90o-30°=60°,

.?.∕3=18O°-45°-60°=75°,

'：a//b,

.?.N7=∕3=75°,

故選：B.

5.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a2+a—aiB.3a-4a=-a

C.（α-3）2=a2-9D./d="2

【解答】解：A.因?yàn)椤?與〃不是同類項(xiàng),不能合并計(jì)算，故A選項(xiàng)不符合題意;

B.因?yàn)?α-4α=-α,故B選項(xiàng)符合題意；

C.因?yàn)椋é?3）2=∕-6α+9,所以C選項(xiàng)算不正確；

D.因?yàn)镴./=/,所以D選項(xiàng)計(jì)算不正確，故。選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

6.（3分）若事件“關(guān)于X的一元二次方程0v2+4χ-1=0有實(shí)數(shù)根”是必然事件，則。的取

值范圍是()

A.a<4B.a>-4C.心-4且“WOD.心-4且它0

【解答】解：根據(jù)題意得a≠O且A=4‘-4aX(-1)》2,

解得4且a≠O.

故選：C.

7.(3分)端午節(jié)又稱端陽節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國(guó)各地都有吃粽子的習(xí)俗.某

超市以9元每袋的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批粽子，售價(jià)定為每袋15元，每天可售出200袋，則可多

售出70袋，問此種粽子售價(jià)降低多少元時(shí)，則可列方程為()

A.(15-X-9)(200+70Λ?)=1360

B.(15-x)(200+70.r)=1360

C.(15-%-9)(200-70%)=1360

D.(15-χ)(200-70%)=1360

【解答】解：根據(jù)題意得：每袋粽子的銷售利潤(rùn)為(15-X-9),每天可售出(200+70x)

袋，

超市每天售出此種粽子的利潤(rùn)(15-Λ-9)(200+70x)=1360.

故選：A.

8.(3分)在2022年北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大

同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫.如圖(邊長(zhǎng)為4的正六邊形

ABCDEQ放在平面直角坐標(biāo)系中，若A8與X軸垂直(2,-3),則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

A.(2√3-2,3)B.(2-2√3,3)c.(2-√3,3)

D.(2-2√3,2+√3)

【解答】解：如圖，連接B。交C尸于點(diǎn)1),

在RtZXBCM中，BC=4^-×120°=60°,

2

CM=4c=2^BC=2愿,

62

二點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-(4√3-2)=2-2√3,

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2-2愿，3）,

9.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABOC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，NBOC=60°,

；頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（“，3）,

.9.OE=-afCE=3,

OC=—^.―=5√3,

cos60

「菱形ABOC中，NBoC=60°,

ΛOB=(9C=2√5,ZBOD=A,

2

軸，

ΛZ)B=(9β?tan30o=5愿X?=2,

3

??.點(diǎn)力的坐標(biāo)為：(-2√E,2),

???反比例函數(shù)y=K的圖象與菱形對(duì)角線A。交于點(diǎn)D,

X

.?k=xy=-4Λ∕4.

故選：C.

10.（3分）老師布置了任務(wù)：過直線AB上一點(diǎn)C作A8的垂線.在沒有直角尺的情況下,

嘉嘉和淇淇利用手頭的學(xué)習(xí)工具給出了如圖所示的兩種方案，下列判斷正確的是（）

方案I方案Il

∣E

AD(

CB

N兩

①利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD

點(diǎn)

=30cm.

②分別以Q，C為圓心，以50所和40加為①使點(diǎn)”與點(diǎn)C重合’點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)

記為點(diǎn)Q.

半徑畫圓弧

③作直線CE,CE即為所求的垂線.②保持點(diǎn)N不動(dòng)’將木棒繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)’使點(diǎn)

M落在AB上

③將RQ延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截取線段QS=

MN,得到點(diǎn)S.

④作直線SC,SC即為所求直線.

A.I可行、∏不可行B.I不可行、II可行

C.I、H都不可行D?I、H都可行

【解答】解：方案I：?.?C02+CE2=3O3+4O2=5（）2=OE7,

二△（?￡>￡是直角三角形；

故方案I可行；

方案H：由作圖得：Q是SR的中點(diǎn)，且CQ=O.5AS,

ΛZACS=90°,

...△8E是直角三角形,

故選：D.

二、填空題(本大題共5小題，共15.0分)

11.(3分)若代數(shù)式√χ-2023有意義,則X的取值范圍是G2023.

【解答】解：由題意得：χ-2023?0,

解得：x≥2023,

故答案為：x22023?

12.(3分)分解因式：3“P-12=3(〃L2)(W+2).

【解答】解：3W2-12

=8Gn2-4)

—2(w-2)(/7?+2).

故答案為：6(m-2)(∕n+2).

13.(3分)如圖是小明的健康綠碼示意圖，用黑白打印機(jī)打印于邊長(zhǎng)為2cm的正方形區(qū)域

內(nèi)，為了估計(jì)圖中黑色部分的總面積，經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率

【解答】解：???經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0?6左右,

，點(diǎn)落入黑色部分的概率為6.6,

；邊長(zhǎng)為2cm的正方形的面積為2cm2,

設(shè)黑色部分的面積為S,

則S=4.6,

4

解得S=2.7Ccm2).

,估計(jì)黑色部分的總面積約為2Acm2.

故答案為：2.3.

14.(3分)如圖1所示，半圓O的直徑A8長(zhǎng)度為6,半徑OCJ則所得圖形中重疊部

分的面積為^π-l√3

-4一4

?.?OE=OB=IODf

.?ZOED=30o,

ΛZEOB=GOo,

2

_60KX(f)_3

?*?S扇形=--------------=—π,

3602

在直角aOOE中，DE=duE2_0D2=^^-HoDE=ZX3?????,

22328

則弧BE和BD以及DE圍成的陰影部分的面積是：旦n-生叵，

88

15.（3分）如圖，NAoB=30°,點(diǎn)P在。4上，且OP=我，在OB上找點(diǎn)N,以PM為

【解答】解：如圖1,正方形PMDN以MN為對(duì)角線,

VZOPTV=90o,NAOB=30°√3.

.?.PM=PN=OP?tan3(Γ=√^X近=3,

3

?：∕MPN=90°,

MN={pM+PN2=462+]7=企；

當(dāng)正方形PM'D'N以M'N為對(duì)角線，且點(diǎn)M在點(diǎn)尸的右側(cè)時(shí)&；

如圖4,正方形PMNC以PN為對(duì)角線，

；NOMN=90°,ZAOB=30o,

：.NoNM=60°,

.?.OM=MN?tan60°=MMN,

'：MP=MN,

：*MMN+MN=氓,

解得MN=昱退?；

7

如圖3,正方形PMNC以PN為對(duì)角線,

OM=MMN,

：.遍MN-MN=M,

解得MN=,

2_

綜上所述，MN的長(zhǎng)為√5或工也或立叵，

22

OMPA

圖2

D

0MPM,A

圖1

三、解答題(本大題共8小題，共75.()分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(8分)計(jì)算：

∣-3∣-√16+(-l)2023≡

22

(2)化簡(jiǎn)求值：(M!l-2)÷三二工，其中〃從-2,-1,0,1

aa

【解答】解：(1)原式=3-4-3

=-2；

2

(2)原式=a+7-2a——a——

a(a+1)(a-3)

=(a-l)2.a

a(a+7)(a-l)

根據(jù)分式有意義的條件可得“≠0,a≠±l,

當(dāng)a=5時(shí)，原式=2二L=2

2+13

17.(9分)“此生無悔入華夏，來世再做中國(guó)人！”自疫情暴發(fā)以來，我國(guó)成功地研發(fā)出了

多種“新冠”疫苗，某小區(qū)管理人員對(duì)小區(qū)居民進(jìn)行了抽樣調(diào)查，按接種情況可分如下

四類：A類一一接種了只需要注射一針的疫苗，且二針之間要間隔一定時(shí)間的疫苗；C

類一一接種了要注射三針；。類一一還沒有接種.圖1與圖2是根據(jù)此次調(diào)查得到的統(tǒng)

計(jì)圖(不完整)，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答下列問題：

接種新冠疫苗

人數(shù)情況的條形統(tǒng)計(jì)圖

(1)此次抽樣調(diào)查的人數(shù)是200人:

(2)m=40；n=30；

(3)為了繼續(xù)宣傳新冠疫苗接種的重要性，小區(qū)管理部門準(zhǔn)備在已經(jīng)接種疫苗的居民中

征集2名志愿宣傳者，現(xiàn)有3男2女共5名居民報(bào)名，求恰好抽到一男和一女的概率是

多少？

【解答】解：(1)20÷10%=200(人)，

故答案為：200；

(2)80÷200=40%,

.?.%=40,

200X15%=30,

Λn=30,

故答案為：40,30；

(3)列表如下：

共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽到一男和一女的有12種,

恰好抽到一男一女的概率為」2=3.

205

7j名

第AK

男1男2男3女1女2

X

男1男2,男1男3,男1女1，男女2,男1

X

男2男1,男2男3,男2女1，男2

;女2,男2

男3男1,男3男2,男3女1，男3女2,男3

X

女1男1，女1男2,女1男3,女1女2,女1

N

男3,女2

女2男1,女2男2,女2女1，女2

∣8.（9分）在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小敏將兩個(gè)全等的直角三角形紙片A8C和。Ef拼

在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)F重合（如圖1）,其中NACB=NOFE=90°,BC=EF=6cm,并

進(jìn)行如下研究活動(dòng)，將圖I中的紙片?！?沿AC方向平移，8。（如圖2）,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C

重合時(shí)停止平移.

（1）圖2中的四邊形ABoE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由.

（2）當(dāng)紙片。EF平移到某一位置時(shí)，小敏發(fā)現(xiàn)四邊形ABQE為矩形（如圖3）,求AF

的長(zhǎng).

【解答】解：（1）四邊形ABcE是平行四邊形.

證明：V?AβC=?DEF,

ΛAB=DE,ZBAC=ZEDF,

J.AB//DE,

四邊形ABDE是平行四邊形;

(2)如圖1,連接BE交4。于點(diǎn)O,

圖1

???四邊形ABOE為矩形，

...OA=OD=OB=OE,

設(shè)AF=-則OA=OE=I(x+8)，

.7

,eOF=0A-AF=4彳X,

在Rt△OFE中，O盧+EF5=θW,

λ(4-∣-χ)2+62=y(x+8)2，

乙O

解得：χQ?,

X2

?9

??AFWC九

19.(9分)桔棒俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1,是我國(guó)古代農(nóng)用工具(墨子?備城門)，是一

種利用杠桿原理的取水機(jī)械.如圖2所示的是桔梯示意圖，OM是垂直于水平地面的支

撐桿，且AB=5.4米，OA：OB=2:1.當(dāng)點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)A從最高點(diǎn)逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)54.5°到達(dá)最低點(diǎn)4,求此時(shí)水桶B上升的高度.

(參考數(shù)據(jù)：sin37oQO.6,sin17.5°"0.3,tan37°?=0.8)

圖1

【解答】解：過。作EFLOM,過B作BCLEF于CI作Bi。，EF于。，如圖所示:

則NEOM=90°,

；NAOM=127°,NAoA2=54.5°,

：.NBoC=/AOE=127°-90°=37o,NBIoQ=NA4θE=54.5°-37°=17.5°，

?.?AB=8.4米，。4OB=A6,

；.OAl=OA=3.7（米），OBl=OB=1.3（米）,

BIDBC

VsinZBiOD=-!-,SinNBoC=2,

OB7OB

ABiD=OBi×sin17.4°?=1.8X6.3=0.54（米），BC=O8Xsin37°g2.8X0.4=1.08（米）,

ΛBiD+BC=8.54+1.08=?1.8（米）,

20.(9分)如圖，在BC中，AB=AC,過點(diǎn)。作￡)E_LAC于點(diǎn)E.

(1)求證：DE是Oo的切線;

（2）若AB=AC=6,tanZBAC=?-求。E的長(zhǎng).

4

E.C

【解答】(1)證明：如圖，連接。￡),

「AB是。。的直徑,

ΛZ∕1DB=90°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),

"：AC=AB,

點(diǎn)。是BC的中點(diǎn),

J.OD//AC,

'：DELAC,

.'.OD±DE,

:oo是半徑，

.?.OE是Oo的切線；

(2)解：設(shè)AC與。。交于點(diǎn)凡連接8片

=AB是。。直徑,

ΛZBM=90o,

7tanZBACBL3,

AF4

，不妨設(shè)B/=6Z,AF=4k,

?.?A3=6,

???7&=6,

解得kJ，BF-^^?

OD

9

:DELAC9BFLAC,

:?CD〃BF.

???點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

???E為CT的中點(diǎn)，

,OE是△(?尸8的中位線，

?DE-∣?

21.(9分)2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，任務(wù)取得圓滿成功.航

模店看準(zhǔn)商機(jī)，同樣花費(fèi)320元，購(gòu)進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多4個(gè).

(1)“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？

(2)該航模店計(jì)劃購(gòu)買兩種模型共100個(gè)，且每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為35元，“天宮”

模型的售價(jià)為25元.設(shè)購(gòu)買“神舟”模型?個(gè)

①求W與α的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出”的取值范圍)；

②若購(gòu)進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的一半，則購(gòu)進(jìn)“神舟”模型多

少個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

【解答】解：(1)設(shè)“神舟”模型成本為每個(gè)X元，則“天宮”模型成本為每個(gè)(1-20%)

X=O.6X(元)，

根據(jù)題意得：%=注L-%

X0.8x

解得X=20,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的解，

0.8x=16(元),

答：“神舟”模型成本為每個(gè)20元，“天宮”模型成本為每個(gè)16元；

(2)①設(shè)購(gòu)買“神舟”模型。個(gè)，則購(gòu)買“天宮”模型(100-a)個(gè)，

貝IJW=(35-20)a+(25-16)(100-?)=24+900,

二卬與”的函數(shù)關(guān)系式為w=6α+900;

②Y購(gòu)進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天官”模型數(shù)量的一半,

Λα≤A(100-a),

8

解得α≤lθθ,

3

Vw=6α+900,7>0,

，當(dāng)X=33時(shí)，W最大,

答：購(gòu)進(jìn)“神舟”模型33個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤(rùn).

22.(10分)如圖，是某水上樂園為親子游樂區(qū)新設(shè)滑梯的示意圖，其中線段以是豎直高

度為6米的平臺(tái)，滑道分為兩部分，其中AB段是雙曲線y」2,BCD段是拋物線的一

X

部分，兩滑道的連接點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，滑道與水平面的交點(diǎn)D距PO的水平距離為

8米，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，距直線PO的水平距離為X.

(1)請(qǐng)求出滑道BCD段)，與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)滑行者滑到C點(diǎn)時(shí)，距地面的距離為1米，求滑行者此時(shí)距滑道起點(diǎn)A的水平

距離；

(3)在建模實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，為保證滑行者的安全，滑道BCQ落地點(diǎn)。與最高點(diǎn)8連線與

：.B(6,4),

為拋物線BCD的最高點(diǎn)，

則設(shè)拋物線BCO的解析式為y=α(χ-6)2+6頂點(diǎn)式，

根據(jù)題意得此時(shí)。(8,0)6+2=0,

解得：?=-1,

2

滑道BS段y與X之間函數(shù)關(guān)系式為)，=-A(X-6)2+5；

(2)令上式y(tǒng)=l時(shí)，則-γ2+2=4,

解得xι=6+V^,X2=6-√4(舍去)，

：.C(6÷√2,5),

將y=6代入y=」2中得x=2,

X

ΛA(4,6),

.?.6+√4-2=4+√3.

此時(shí)滑行者距滑道起點(diǎn)的水平距離為(4+√5)米；

(3)根據(jù)上面所得B(8,2),0)時(shí)?，

則。點(diǎn)不可往左，可往右，

又,.巫》工，

OD2

.?.OOW2OP=12,

Λ3≤OD≤12.

.?.OO長(zhǎng)度的取值范圍為8≤OD≤12.

23.(12分)［問題情境］

(1)王老師給愛好學(xué)習(xí)的小明和小穎提出這樣一個(gè)問題：如圖①，在AABC中，AB=

AC,過點(diǎn)P作PQ_LAB,PELAC,E,過點(diǎn)C作CF_LAB,垂足為F.求證：PD+PE=

CF.

小明的證明思路是：

如圖①，連接AP,由aABP與面積之和等于AABC的面積可以證得：PD+PE=

CF.

小穎的證明思路是：

如圖②，過點(diǎn)P作尸G_LCF,垂足為G,PE=CG,則尸。+PE=CF.請(qǐng)你選擇小明、小

穎兩種證明思路中的任意一種

［變式探究］

(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)尸在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，問題情境中，求證：PD-PE=CF.

AAA

E

①②

③

④⑤

［結(jié)論運(yùn)用］

（3）如圖④，將矩形ABC。沿EB折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)B上，點(diǎn)P為折痕EF上的任一

點(diǎn)，過點(diǎn)P作PGLBE,垂足分別為G,H,若AD=I8,求PG+P”的值.

［遷移拓展I

（4）圖⑤是一個(gè)機(jī)器模型的截面示意圖，在四邊形ABC。中，E為AB邊上的一點(diǎn)，EC

VCB,垂足分別為￡>,C,AB=√41c∕n,BD